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第 03 讲 分式的乘除
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的乘法和除法的运算法则，并能够在分式的乘除运
①分式的乘除法
算中熟练的应用。
②分式的乘除混合运算
2. 掌握分式的乘方运算法则，并能够在分式的乘方运算中熟练
③分式的乘方
应用。
知识点01 分式的乘除
1. 分式的乘法：
（1）乘法运算法则：
同分数的乘法运算法则，分子乘 分子 作为积的分子，分母乘 分母 作为积的分母。
A C AC
⋅ =
B D BD
即： 。
（2）具体步骤：
①对能 因式分解 的分子分母进行因式分解。
②分子分母有 公因式 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。
③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。2. 分式的除法：
（1）除法运算法则：
除以一个分式等于乘上这个分式的 倒数式 。变成乘法运算。
A C A D AD
÷ = ⋅¿¿
B D B C BC
即： ＝ 。
【即学即练1】
1．计算．
（1） （2） ．
【分析】（1）原式约分即可得到结果；
（2）原式变形后约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ • ＝﹣（2a﹣3）（a+3）＝﹣2a2﹣3a+9．
【即学即练2】
2．计算：
（1） ； （2） ．
【分析】两式将除法运算先转化为乘法，再根据乘法法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣ •
＝﹣ ；
（2）原式＝ •
＝
＝ ．
知识点02 分式的乘除混合运算
1. 分式的乘除混合运算：
分式的乘除混合运算，可以统一为 乘法 运算。最后的结果一定时 最简分式 或 整式 。
【即学即练1】3．计算：（1） ． （2） ．
【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分
即可得出答案．
（2）原式先计算除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）
＝ • ×（a+1）（a﹣1）
＝（a+2）（a+1）
＝a2+3a+2．
（2）原式＝ • • ＝﹣ ＝﹣ ．
知识点03 分式的乘方
1. 分式的乘方的运算法则：
( A ) n A A A A⋅A⋅...⋅A(n个) An
= ⋅ ⋅...⋅ (n个)= =
B B B B B⋅B⋅...⋅B(n个) Bn
n为正整数时， 。即把分式的分
一般地，当
子分母分别乘方运算。
【即学即练1】
5．计算：
（1） ＝ ． （2） ＝ ﹣ ．
【分析】（1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果；
（2）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝﹣ ．
故答案为： ；﹣ ．题型01 分式的乘除运算
【典例1】计算
（1） • （2） •
（3）（a﹣4）• （4） •（m2﹣4）• ．
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
【解答】解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ •
＝ ；
（3）原式＝（a﹣4）•
＝﹣4﹣a；
（4）原式＝ •（m+2）（m﹣2）•
＝ ．
【变式1】计算
（1） ÷ （2） ÷ ．
（3） （4） ．
【分析】（1）、（2）、（3）直接根据分式的除法法则进行计算即可；
（4）根据分式的乘法及除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝ •＝ ；
（2）原式＝ •
＝ ；
（3）原式＝﹣ •
＝﹣ ；
（4）原式＝x（y﹣x）• •
＝﹣y．
【变式2】计算：
（1） （2）
（3） （4） ．
【分析】将分子、分母分别因式分解，再将除法转化为乘法，然后再约分．
【解答】（1）解：原式＝ •
＝﹣ ；
（2）解：原式＝ •
＝3；
（3）解：原式＝ •
＝x；
（4）解：原式＝ • •
＝ ．
题型02 分式的乘方运算【典例1】化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝ ．
故选：B．
【变式1】（﹣ ）3＝ ．
【分析】在进行题中分式的乘方运算时，先确定其运算结果的符号为负号，再化简，最后进行乘方运算．
【解答】解： ＝﹣ ＝﹣ ．故答案为﹣ ．
【变式2】计算：
（1）（ ）3＝ ；（2）（ ）2＝ ；（3）（ ）3＝ ﹣ ．
【分析】（1）根据分式的乘方法则直接计算即可；
（2）根据分式的乘方法则直接计算即可；
（3）根据分式的乘方法则直接计算即可．
【解答】解：（1）（ ）3＝ ；
故答案为： ；
（2）（ ）2＝ ；
故答案为： ；
（3）（ ）3＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【变式3】（1）（ ）2＝ ；（ ﹣ ）3＝﹣ ；（2）（ ﹣ ）3＝﹣ ；（ ）3＝﹣ ．
【分析】根据分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，即可得到答案．
【解答】解：（1）（ ）2＝ ；（﹣ ）3＝﹣
（2）（﹣ ）3＝﹣ ；（ ）3＝﹣ ．
故答案为：（ ）；﹣ ；﹣ ； ．
题型03 分式的乘除与乘方的混合运算
【典例1】计算： ＝ ．
【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，
最后进行约分运算．
【解答】解：原式＝ ＝ ．故答案为 ．
【变式1】计算：（1）（ ）2•（ ）3•（a2﹣b2）；
（2）（ ）2÷（x+y）2•（ ）3．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果；
（2）原式第一项利用除法法则变形，约分后再计算乘法运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ • •（a+b）（a﹣b）
＝
＝ + ；
（2）原式＝ • •
＝＝ ．
【变式2】计算：
（1） ÷（ ÷ ）；
（2）（ ）2÷（a2+ab）3•（ ）2．
【分析】（1）根据分式除法的法则，将除法转化为乘法；将分子、分母分解因式，约分相乘即可；
（2）根据分式除法的法则，将除法转化为乘法；将分子、分母分解因式，约分相乘即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 原 式 ＝ ＝
；
（2）原式＝ ．
【变式3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） • ÷ ；
（4） ．
【分析】（1）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结
果；
（2）原式先计算乘方运算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分
即可得到结果；
（3）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果；
（4）原式先计算乘方运算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分
即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣ ×（﹣ ）×a3b3＝ a8b2；（2）原式＝ • • ＝1；
（3）原式＝ • • ＝ ；
（4）原式＝ • • ＝ ．
题型04 求分式乘除运算过程中的未知部分
【典例1】化简 的结果是x3，则“？”的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意列式计算即可
【解答】解：根据题意得：x？+1＝x3，
∴？+1＝3，
解得？＝2，
故选：B．
【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（ ）÷ ，通过查
看答案，答案为 ，则被污染的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据除式＝被除式÷商式，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
＝
＝ ，
∴被污染的代数式为 ，
故选：C．
【变式2】老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如下所示：
× ．（1）求被手遮住部分的代数式；
（2）等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由．
【分析】（1）根据分式的乘除法法则进行计算；
（2）根据题意列出代数式并求值．
【解答】解 （1）设被手遮住部分的代数式为A，
则A＝ ；
（2）等式左边代数式的值不能等于0，
若等式左边代数式的值为0，则 ＝0，即x+1＝0，
解得x＝﹣1，
当x＝﹣1时，x+1＝0，分式无意义，
∴等式左边代数式的值不能等于0．
【变式3】如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为
代数式A，若该题化简的结果为 ．
化简： 的结果为_____
（1）求代数式A；
（2）该题化简的结果 能等于 吗？为什么？
【分析】（1）先化简 ，再根据化简结果为 进行求解即可；
（2）若 ，可解得x＝4，得到A＝x﹣4＝0，此时 没有意义，由此即可得到结论．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ，
∵该题化简的结果为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）该题的化简结果不能等于 ，理由如下：
当 时，则x+3＝7，解得x＝4，经检验x＝4是方程 的解，
∵当x＝4时，A＝x﹣4＝0，即分式 ，此时 没有意义，
∴该题的化简结果不能等于 ．
1．计算（﹣ ）2• 的结果是（ ）
A． B．﹣m C． D．m
【分析】先算分式的乘方，再算分式的乘法即可．
【解答】解：（﹣ ）2•
＝
＝ ，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3m÷am＝a2m B．2a3•a2＝2a6
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．
【分析】利用同底数幂除法法则，单项式乘单项式法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a3m÷am＝a2m，则A符合题意；
2a3•a2＝2a5，则B不符合题意；
（﹣a2）3＝﹣a6，则C不符合题意；
＝ ，则D不符合题意；
故选：A．
3．若 计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B．x2﹣6 C．x2﹣6x D．x﹣6【分析】设“□”中的式子为M，把除法运算化乘法运算，约分得到原式＝ ，然后把各选项
的式子分别代入即可得到答案．
【解答】解：设“□”中的式子为M，
原式＝ •
＝ ，
所以当M＝x2﹣6x＝x（x﹣6）时，
原式＝ ＝1，结果为整式，
故选：C．
4．计算（﹣ ）2•（ ）2÷（﹣ ）的结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据分式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝ • •（﹣ ）
＝﹣ ，
故选：A．
5． ，则M等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的除法法则解决此题．
【解答】解：∵ ，
∴M＝
＝
＝ ．
故选：A．6．表格第一列是王江化简分式 的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入
的表格第二列内容的序号为（ ）
①x+2
原式＝
②x﹣2
＝
③（x﹣2）2
＝
④（x+2）2
＝﹣
A．④①② B．③①② C．③②① D．④②①
【分析】将原式利用分式乘法法则计算后即可求得答案．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ •
＝﹣ ，
那么在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为③②①，
故选：C．
7．使式子 ÷ 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠3且x≠﹣4 B．x≠3且x≠﹣2
C．x≠3且x≠﹣3 D．x≠﹣2，x≠3且x≠﹣4
【分析】直接利用分式的乘除运算法则结合分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵使式子 ÷ 有意义，
∴x﹣3≠0，x+4≠0且x+2≠0，
解得：x≠﹣2，x≠3且x≠﹣4．
故选：D．
8．老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到
前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自
己负责的一步出现错误的同学是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题目中的式子，可以写出各步之间的计算过程，从而可以解答本题．
【解答】解：老师到甲： ＝ ，故选项A不符合题意；
甲到乙： ＝﹣ ，故选项B符合题意；
乙到丙： ＝ ，故选项C不符合题意；
丙到丁： ＝ ，故选项D不符合题意；
故选：B．
9．若 的计算结果为正整数，则对a值的描述最准确的是（ ）
A．a为自然数 B．a为大于0的偶数
C．a为大于1的奇数 D．a为正整数
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
由于 是正整数，
所以a是大于1的奇数．
故选：C．
10．规定一种新的运算“JQx→+∞ ”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，
JQx→+∞ ＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞ 的值为A、B的最高次项的系数的商．当A
的次数大于B的次数时，JQx→+∞ 不存在．
例：JQx→+∞ ＝0，JQx→+∞ ．若 ，则JQx→+∞ 的值为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
【分析】先对 进行计算，然后再根据规定的新运算，解答即可．
【解答】解：
＝ ÷
＝ •
＝ ，
∴A的次数等于B的次数，
∴JQx→+∞ ＝ ，
故选：C．
11． 的结果是 ．
【分析】把分子分母分别乘方即可得出结果．
【解答】 ＝ ＝ ，
故答案为： ．
12．若 ÷ 的运算结果是整式，写出一个“（ ）”内可能的式子： a 2 + ab （答案不唯一）
．
【分析】根据题意，要使运算结果结果为整式，需在分式的运算中约去分母，因此得到分母中含有因式
a（a+b），即可得到结果．
【解答】解：
＝
＝a2﹣b2，
∵a2﹣b2是整式，∴（ ）内可能的式子是a2+ab．
故答案为：a2+ab（答案不唯一）．
13．若 ÷ 的值是5，则a＝ ．
【分析】先化简后，再解答即可．
【解答】解：原式＝
＝ ，
因为原式的值等于5，
可得： ，
解得：a＝ ，
故答案为： ．
14．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值与倒数均是它本身，n的相反数是它本身，则代数
式 的值为 ﹣ 4 ．
【分析】利用相反数，倒数的定义，以及绝对值的代数意义求出a+b，xy，m与n的值，代入原式计算
即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a+b＝0，xy＝1，m＝1，n＝0，
得b＝﹣a，
原式＝2a3+2（﹣a）3﹣9×（ ）2022﹣5×（﹣1）2023+02024
＝0﹣9﹣5×（﹣1）+0
＝﹣9+5
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．已知y ＝2x，y ＝ ，y ＝ ，…，y ＝ ，则y •y 的值为 2 ．
1 2 3 2006 1 2006
【分析】求出y ＝2x代入y ＝ ，得y ＝ ，同样得出y ＝2x，…，找出规律即可求出y 的值，进
1 2 2 3 2006
而得出结果．
【解答】解：先把y ＝2x代入y ＝ ，得y ＝ ，同样得出y ＝2x，…，得出规律当为奇数时值为
1 2 2 32x，当为偶数是值为 ，所以y ＝ ，
2006
所以y •y ＝2x• ＝2，
1 2006
故答案为：2．
16．计算与化简：
（1） • ；
（2） ÷ ；
（3）（x2﹣4y2）÷ • ．
【分析】（1）原式约分即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ • ＝ ；
（3）原式＝﹣（x+2y）（x﹣2y）• • ＝﹣y．
17．已知 ＝0，求 ÷（a﹣1）• 的值．
【分析】由已知的等式求出a的值，原式利用除法法则变形，约分后代入计算即可求出值．
【解答】解：由 ＝0，可得3a+1＝0，且a≠0，
解得：a＝﹣ ，
原式＝﹣ • • ＝﹣ ，
将a＝﹣ 代入原式＝3．
18．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为
49，中间的小正方形的面积为1．
求 的值．【分析】根据题意得到（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，根据完全平方公式求出a+b、ab，根据分式的乘
除法法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48，
∴ab＝12，
∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）× ×
＝
＝
＝14．
19．老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：
（
（1）求所捂部分化简后的结果；
（2）若x2﹣x﹣1＝0，求（1）所得代数式的值．
【分析】（1）根据被除数＝除数乘以商，列式计算即可；
（2）根据x2﹣x﹣1＝0，变形得x2＝x+1，整体代入解答即可．
【解答】解：（1）根据题意，得所捂部分为：
＝
＝
＝ ．
（2）根据x2﹣x﹣1＝0，变形得x2＝x+1，
故 ．
20．（1）计算：（a+2）（a2﹣2a+4）＝ a 3 + 8 .（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝ 8 x 3 + y 3 ．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含 a、b的字母表示：
（ a + b ）（ a 2 ﹣ a b + b 2 ）＝ a 3 + b 3 ；
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 A ．
A．（a+3）（a2+3a+9）
B．（2m+n）（2m2+2mn+n2）
C．（4﹣x）（16+4x﹣x）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式 ．
【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可；
（2）根据（1）中的结果确定答案；
（3）根据（2）发现的计算公式进行分析即可；
（4）逆运用新公式，把m3﹣n3变形为（m+n）（m2﹣mn+n2），再化简分式．
【解答】解：（1）（a+2）（ a2﹣2a+4）＝a3﹣2a2+4a+2a2﹣4a+8＝a3+8；
（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3﹣4x2y+2xy2+4x2y﹣2xy2+y3＝8x3+y3．
故答案为：a3+8，8x3+y3；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3．
故答案为：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．
（3）给出的各式，只有A符合新公式特点，能用发现的乘法公式计算．
故答案为：A．
（4）
＝ ×
＝m﹣n．
