初中数学同步8年级上册专题14.2乘法公式（45页）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_老课标资料_讲义

专题 14.2 乘法公式 目标导航 1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。 知识精讲 知识点01 平方差公式 知识点 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意 “-”的处理。 【知识拓展1】平方差公式的几何背景 例1．(2022·山东·昌乐七年级期末)下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个图象中的阴影部分的面积相等进行验证． 【详解】解：A、阴影部分的面积 =(a+b)(a-b)，是平方差公式，故本选项不符合题意； B、阴影部分的面积2a•2b=4ab= ，不是平方差公式，故本选项符合题意；C、阴影部分的面积 =(a+b)(a-b)，是平方差公式，故本选项不符合题意； D、阴影部分的面积 =(a+b)(a-b)，是平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了整式的乘法公式，用整式表示图形的面积是解题的关键． 【即学即练】 1．(2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形(如图所示)，那么通过 计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为( ) A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据两种方式求得阴影部分面积即可求解． 【详解】解：阴影部分面积面积可以表示大正方形的面积减去小正方形的面积即： ， 也可以表示为边长为 与 的长方形的面积，即 , ∴ ，故选B． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键． 2．(2022·安徽宣城·七年级期中)如图1所示，边长为 的正方形中有一个边长为 的小正方形，如图2是由 图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中的阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分 ，请直接用含 ， 的代数式表示 ， ；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式： (3)试利用这个公式计算： 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】(1)根据两个图形的面积相等，即可写出公式； (2)根据面积相等可得(a+b)(a-b)=a2-b2； (3)从左到右依次利用平方差公式即可求解． (1) 解：s= ， 1 s= ， 2 故答案为： ，； (2) 解：由题意，得 ， 故答案为： ； (3) 解：原式= == = = = =264-1+1 =264． 【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键． 【知识拓展2】平方差公式的基本运用 例2．(2022·安徽·合肥七年级期中)下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有( ) (1) (2) (3) (4) A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：能用平方差公式计算的有 ； ， 则能用平方差公式简便计算的有 个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构 是解题的关键． 【即学即练】 3．(2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中)利用乘法公式计算： ____________． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： = == =1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握 是解题的关键． 4．(2022·内蒙古通辽·八年级期末) 的结果是______． 【答案】 【分析】将原式变形为 ，再利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解： = = = = = = 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式． 知识点02 完全平方公式 知识点 (ab)2 a2 2abb2 完全平方和(差)公式： 完全平方和(差)公式：等于两式平方和加(减)2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 (ab)2 a2 2abb2 拓展：利用 可推导除一些变式 1 a2 b2 (ab)2 2ab(ab)2 2ab (ab)2 (ab)2   ① 2 1 2ab(ab)2   a2 b2   a2 b2 (ab)2  (ab)2 (ab)2   ② 2 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有 (ab)2 、 (ab)2 、a2b2 、ab等模块，都可以通过 (ab)2 (ab)2 与 相结合推导出来。 【知识拓展1】完全平方公式的几何背景 例1．(2022·福建·三明一中七年级阶段练习)如图所示，请完成下列问题： (1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______． (2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来． 【答案】(1)(a+b)2、a2+2ab+b2 (2)(a+b)2=a2+2ab+b2 【分析】(1)分别用大正方形的面积公式和四部分求可确定正方形的面积即可； (2)根据(1)的两个代数式表示同一块正方形的面积相等解答即可． (1)解：由正方形的面积公式可得：大正方形的面积为：(a+b)2； 由大正方形的面积由四部分组成，则大正方形的面积为：a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． 故答案为：(a+b)2、a2+2ab+b2． (2)解：由(1)的两个代数式表示同一块正方形的面积相等可得：(a+b)2=a2+2ab+b2 则这个重要的整式乘法公式为(a+b)2=a2+2ab+b2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的推导，用两种方法表示出大正方形的两个面积表达式成为解答本 题的关键．【即学即练1】 1．(2022·苏州市平江中学校七年级期中)如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图 形中阴影部分的面积关系得到的等式是( ) a2b2 abab a22abb2 ab2 A． B． a22abb2 ab2 ab2 -ab2 4ab C． D． 【答案】C 【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积， ab ab2 由图乙可知阴影部分是边长为 的正方形，从而可知其面积为 ，从而得出结论． 【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：a22abb2 ，图乙中阴影部分的面积为： ab2 ， a22abb2 ab2 所以 ，故选：C． 【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键． 2．(2022·吉林市第五中学八年级期末)如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是 长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形(a＞b)． (1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ； (2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为(2a+b)大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张． 【答案】(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张． 【分析】(1)根据两种计算图2面积的方法可得公式(a+b)2=a2+2ab+b2； (2)由计算(2a+b)2的结果可得此题结果． (1) 解：∵图2中正方形的面积可表示为：(a+b)2和a2+2ab+b2， ∴可得公式(a+b)2=a2+2ab+b2， 故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2； (2) 解：由计算(2a+b)2=4a2+4ab+b2可得， 需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式 得到相应的图形． 【知识拓展2】完全平方公式的基本运用 例2．(2022·陕西八年级开学考试)若 ，则 的值为( ) A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：(x-y)2+4xy-1=x2-2xy+y2+4xy-1=x2+2xy+y2-1=(x+y)2-1，当x+y=3时，原式=32-1=8．故选：C． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2． 【即学即练2】 3．(2022·福建月考)下列计算正确的是( ) (ab)2 a2 b2 (ab)2 a2 b2 (ab)2 a2 2abb2 (ab)2 a2 2abb2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式即可计算判断. ab2 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 【解析】A. ，故错误； B. ，故错误； ab2 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 C. 故错误； D. ，正确，故选D. 【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用. 4．(2022·沭阳县修远中学)先化简，再求值：(2x＋y)2＋5(x＋y)(x－y)，其中x＝2，y＝1 【答案】 ， 【分析】根据完全平方和平方差公式进行计算，再进行整式的加减运算，最后将字母的值代入求解即可 【详解】(2x＋y)2＋5(x＋y)(x－y) 当x＝2，y＝1时原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的运算是解题的关键． 【知识拓展3】完全平方公式的含参问题 例3．(2022·山东·宁阳八年级阶段练习)已知 是完全平方式，则m的值为( ) A．8 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出mx＝±2•2x•6，再求出m即可． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴mx＝±2•2x•6，解得：m＝±24，故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有 和两个． 【即学即练3】 3．(2022·山东·宁阳八年级阶段练习)当 __________时， 是完全平方公式． 【答案】4 【分析】根据乘积二倍项确定这两个数，再根据完全平方公式的特征即可求解． 【详解】解：∵ 是完全平方公式， ∴ ， ∴ ， 解得 故答案为：4 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【知识拓展4】完全平方公式的知二求二 (ab)2 9 ab18 a2b2 例4．(2022·湖南双峰·七年级期中)(1)已知 ， ，求 的值； 1 1 1 (2)已知a 3，求a2 和a4 的值． a a2 a4 【答案】(1)45；(2)47 【分析】(1)利用完全平方公式的变形，即可求解； 1  1 2 1  1  2 a 3 a  9 a2 7 a2  49 (2)由 a 得  a ，从而得到 a2 ，进而得到 a2  ，即可求解． 【详解】解：(1)因为 ab2 a2b22ab9 ，所以a2b2 92ab ab18 a2b2 92ab93645 又因为 ， ， 1  1 2 1 1 a 3 a  9 a22 9 a2 7 (2)由 a 得 a ，即 a2 ，所以 a2 ，由 a2 a 1 2 7 得    a2 a 1 2    2 49 ，即 a42 a 1 4 49 ，所以 a4 a 1 4 47 ． ab2 a2b22ab 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握 ，及其变形是解题的关键． 【即学即练4】 4．(2022·重庆七年级期中)已知(x+y)2＝5，(x﹣y)2＝1，则xy＝________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入，即可求出xy的值． 【详解】解：∵(x+y)2=5，(x-y)2=1，∴(x+y)2-(x-y)2=4xy，即5-1=4xy，则xy=1，故答案为：1． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 5．(2022·辽宁·丹东七年级期末)若 ，则 的值为 _______． 【答案】11040 【分析】利用完全平方公式列出关系式，把各自的值代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 知识点03 乘法公式拓展 知识点 = = +2(a+b)c+ = +2ab+2ac+2bc 同样，a、b、c可以通过换元。如令c=－c，得 = +2ab-2ac-2bc 立方和与立方差公式： ；完全立方和与完全立方差： = 【知识拓展1】三个数的完全平方公式 例1．(2022·山东威海·八年级期中)如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形． (1)若用不同的方法计算这个正方形的面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______(只要写出一个即 可)； (2)请利用(1)中的等式解答下列问题： ①若三个实数a，b，c满足 ， ，求 的值； ②若三个实数x，y，z满足 ， ，求 的值． 【答案】(1) ；(2)①45；②-12 【分析】(1)根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解； (2)①利用(1)中等式可将 直接平方然后变形，代入已知式子的值求解即可； ②利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到 ，然后将 平方，由(1)公式整理即可得 解． 【详解】解(1) ， 故答案为： ； (2)① ， 且 ，； ② ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，根据题意得到新等式，再利用新等式进行整理计算 是解题的关键． 【即学即练1】 1．(2022·福建)我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如： 就可以用如图所示的面积关系来说明． (1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算： (2)若 求 的值； (3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为 的100个立 方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?【答案】(1) ； (2) (3)1260元 【分析】(1)根据正方形的面积等于正方形里各个图形的面积之和即可解答；找到 与求出的代 数恒等式的对应字母：a=2x ，b= -y，c= -3，代入求出的代数恒等式即可.(2)根据(1)中求出的代数恒等式， 先求出 ，再把 整体代入即可求值.(3)先确定立方体的一个面 需要A型、B型、C型卡片各几张，需多少费用，再求1个，100个的费用. 【解析】 (1) (2) ∵ ∴ (3) 故立方体一面需A型卡片1张、B型卡片2张、C型卡片1张，需： 0.7+0.5×2+0.4=2.1元 100个小立方体需：2.1×6×100=1260元. 【点睛】本题考查的是多项式乘法的几何意义，将多项式的乘法用几何图形的面积进行说明，能用不同方 法表示图形的面积是关键. 【知识拓展2】立方公式 例2．(2022·广东·佛山市七年级阶段练习)(1)用两种不同方法计算同图形的面积，可以得到一个等式，如图 1，是用长为a，宽为b(a＞b)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正 方形)的面积，可以得到(a﹣b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式 ． (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分 割，可以得到等式： ． (3)利用上面所得的结论解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值． ②已知|a+b﹣5|+(ab﹣6)2＝0，求a3+b3的值．【答案】 ； = ； 或 ； 【分析】(1)利用面积相等推导公式；； (2)利用体积相等推导； (3)①应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；②先计算出 ， ，再由知识迁移 的等式可得结果． 【详解】(1)∵大正方形的边长为 ∴大正方形的面积为 ， ∵小正方形的边长为 ∴小正方形的面积为 ， ∵四个长方形的面积为： ，且小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴ ； (2)∵大正方体的棱长为 ， ∴大正方体的体积为 ， ∵大正方体的体积可以看成长方体和小正方体的体积和， ∴大正方体的体积为 ， ∴ = ， 故答案为： = ； (3)①∵ ， ， ， ∴ ，∴ 或 ， 当 ，得 ， ∴ ， 当 ，得 ∴ ， ∴ 或 ； ②∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ = ， ∴ = ∴ ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，能够由面积相等过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． 【即学即练2】 2．(2022·四川·金堂七年级期中)用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长 为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积， 可得到 、 、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正 方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．利用上面所得的结论解答： (1)已知xy，x+y=3，5xy= ，求x-y的值； (2)已知 ，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)． 【答案】 (1)2；(2)40 【分析】根据正方形的面积两种计算方法，一种是边长的平方，一种是大正方形减去四个长方形的面积， 即可得到等式； 根据正方体的体积的两种算法得到等式，一种是棱长的立方，一种是小正方体和长方体的和计算； (1)将条件代入等式计算即可； (2)中先从条件中得到a+b＝4，ab＝2，然后将其代入等式计算即可． 【详解】解：如图1，方法一：已知边长直接求面积为 ， 方法二：阴影部分面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积， 所以面积为 ， ∴等量关系式为： ； 故答案为： ． 如图2，方法一：已知棱长直接求体积为 ， 方法二：正方体的体积是长方体和小正方体的体积和，即 ，∴等量关系式为： ． 故答案为： ． (1)将x+y＝3，xy 代入 ， 得 ， ∵x＞y， ∴x﹣y＝2． (2)∵ ， ∴a+b＝4，ab＝2， 将其代入 ， 即 ， ∴ 64﹣6(a+b)＝64﹣24＝40． 【点睛】本题主要利用图象探究式的等量关系，要结合图象分析，后面是等量关系的应用，先分析适用于 等量关系的条件然后代入计算即可． 3．(2022·无锡市天一实验学校七年级期中)(知识生成)通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积， 可以得到一个恒等式． (1)如图1，根据图中阴影部分(4个完全相同的小长方形)的面积可以得到的等式是： ． (知识迁移)类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为 a+b的正方体，被如图所示的分割成8块． (2)用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为： ． a3b3 (3)已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求 的值．【答案】(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab；(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(3)18 【分析】(1)∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积 即：(a+b)2-(a-b)2，又∵阴影部分的面 积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab即可求得；(2)大正方体被切割成了8个小正方体或长方 体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；(3)由(2)的结论将已知代入即可求得值． 【详解】解：(1)∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积 即：(a+b)2-(a-b)2 又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab ∴(a+b)2-(a-b)2=4ab； (2)∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3 ∴(a+b)3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (3)∵由(2)可知(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b) 将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33-3×1×3=18故a3+b3的值为：18． 【点睛】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得． 能力拓展 考法01 整式乘法的归纳猜想问题 【典例1】(2022·河南南阳·八年级阶段练习)我国宋朝数学家杨辉 年的著作《详解九章算法》给出了在 ( 为非负整数)的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表(展开后每一项按 的次数由大到小 的顺序排列)．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“杨辉三角”找规律，可知 展开后 的系数为n，据此即可作答．【详解】 ， 项的系数为2； ， 项的系数为3； ， 项的系数为4； 以此类推， (其中 )展开后 的系数为n， 即 展开后， 的系数为2019，故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，运用“杨辉三角”得到 (其中 )展开后 的 系数为n，是解答本题的关键． 变式1．(2022·四川·宣汉县峰城中学七年级期中)探究应用： (1)计算： ＝ ； ＝ ； (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；(请用含a、b 的字母表示)． (3)直接用公式计算： ＝ ； ＝ ． 【答案】(1) ， (2) (3) ， 【分析】(1)两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； (2)归纳总结得到一般性规律，写出即可； (3)利用得出的公式计算即可． (1)解： = = ； = = 故答案为： ， ． (2)由(1)得故答案为： ． (3) = = ； = = ． 故答案为： ， ． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式及探索规律题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 变式2．(2022·福建宁德·七年级期中)你能求 的值吗？遇到这样的问 题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ① ； ② ； ③ ；… 你能求 的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入 手．先分别计算下列各式的值： ① ； ② ； ③ ；… (1)由此我们可以得到： ① _______； ② _______． (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ．【答案】(1)① ② (2) 【分析】(1)①根据题干中发现规律可直接得出结果；②应用①中的结论求解即可； (2)将原式变形，然后利用(1)中规律求解即可． (1) 解：①由规律可得： ； ② ； 故答案为：① ；② ； (2) =(x+1)2011-1． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及规律问题，理解题意，找出相应的规律是解题关键． 考法02 配方的运用 【典例2】(2022·河南·镇平九年级阶段练习)阅读材料 例：求代数式 的最小值． 解： ，可知x=-1时， 有最小值，最小值是-8， 根据上面的方法解决下列问题： (1)当x为何值时， 取得最大值？最大值是多少？(2)直接写出多项式 最小值是 ． 【答案】(1)当x＝1时，﹣3x2+6x﹣2有最大值，最大值是1 (2)5 【分析】(1)将多项式化成 ，利用配方法后可得结论； (2)将多项式重新分组，改写成 ，配方后可得结论； (1)解： ∴当x=1时， 有最大值，最大值是1； (2) ， 当a=2,b=-3时，多项式 有最小值，最小值是5， 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负 数的性质解答是解题的关键． 变式1．(2022·贵州遵义八年级阶段练习)阅读材料：若 ，求 、 的值． 解： ， ， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知 ，求 的值； (2)已知 的三边长 、 、 都是正整数，且满足 ，求 的最大边 的值； (3)已知 ， ，则 ． 【答案】(1) (2) 的最大边 的值为4或5或6(3)3 【分析】(1)根据题目所介绍的方法得到 ，再结合非负数的性质求出x、y的值，进而得 到2x+y的值；(2)根据题目所介绍的方法得到 ，再结合非负数的性质求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出△ABC的最大边c的值； (3)先将已知条件变形得到a=b+4，将其代入 ，再类比材料中的解法，结合完全平方公式 整理得到 ；接下来利用非负数的性质，即可求出b和c的值，将b的值代入a=b+4，即 可求出a的值，最后将a、b、c的值代入a+b+c中，计算可得答案． (1) ， ，且 ，解得： ， ，则 ； (2) ， 且 ，解得： ， ， 的三边长 、 、 都是正整数， ， 的最大边 的值为4或5或6； (3) ，即 ，代入得： ， 整理得： ， ，且 ，即 ， ， ， 则 ．故答案为：3 【点睛】本题考查了知识拓展类题目，用到了完全平方公式的变形求值，及三角形的三边关系，熟练掌握 完全平方公式是解题的关键． 变式2．(2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习)由 得， ；如果两个 正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号． 例如：已知 ，求式子 的最小值． 解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小 值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当 ，式子x + 的最小值为 ；(2)当 ，代数式 最大值为多少？并求出此时x的值； (3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个长方 形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 【答案】(1)4 (2)当x＜0时，代数式 最大值为-24，此时x的值为-3； (3)长为8米，宽为4米时，所用篱笆最短，最短篱笆为16米． 【分析】(1)根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时取到等号，即可得出答案； (2)根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时取到等号，即可得出答案； (3)若x＋2y最小，则x＋2y≥ ＝16，当且仅当x＝2y时取得等号，再根据xy＝32，分别解得x和y的 值，即可得出结论． (1)解：当x＞0时，x＋ ≥2 ＝4，x＋ 的最小值为4；(当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab,当且仅当a ＝b时取到等号)故答案为：4 (2)解：当x＜0时， ＝−[(−4x)＋(− )]≤−2 ＝−2×12＝−24， 当且仅当−4x＝− ，即x＝−3时取到等号， ∴当x＜0时，代数式 最大值为-24，此时x的值为-3； (3)解：设长为x，宽为y.则xy＝32，欲使x＋2y最小， ∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2 ＝2 ＝2 ＝2×8＝16， 当且仅当x＝2y时取得等号，由 ，解得，x＝8，y＝4， 即长为8，宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是运用题中a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时取到等号． 分层提分 题组A 基础过关练 1．(2022·汕头市八年级期末)若 ， ，则 的值为( ) A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据平方差公式计算即可得到答案 【详解】解：∵ ，∴ ，∴ ．故选B． 【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键． 2．(2022·隆昌市知行中学月考)下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是( ) A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b) 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同． 【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； D，后边提取负号得：-(a+b)(a+b)，故能运用完全平方公式进行运算．故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相． xa2  x2 10xb 3．(2022·绵阳市初二课时练习)如果 ，那么a、b的值分别为( ) A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25 【答案】D 【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．(2022·杭州市七年级期中)若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____． 【答案】10 【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案． 【详解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝(a+2b)(a﹣2b)＝5×2＝10．故答案为：10． 【点睛】此题考查了平法差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 5．(2022·四川甘孜·初二期末)已知 ，则 __________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式化简，然后将 代入计算即可得出结果。 【解析】解： 当 时，原式 ．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键． 6．(2022·上海市罗南中学七年级阶段练习)计算： _______________________ 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 7．(2022·山东·滨州市八年级期末)若代数式 是一个完全平方式，则 __． 【答案】±10 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵代数式 是一个完全平方式，∴ ， ∴k=±10． 故答案为：±10． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平 方公式对解题非常重要． 8．(2022·河北·原竞秀学校七年级期中)如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B(a＞b＞0)，现将B放 在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙． (1)若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______； (2)若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______(用含m，n的代数 式表示)． 【答案】 4 m＋n##n+m 【分析】(1)图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，根据面积公式可得答案； (2)先求出图乙中阴影部分的面积，可得 ，2ab=n，利用 = 求解即可． 【详解】解：(1)图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为 ， 当a＝5，b＝3时， = ． 故答案为：4； (2)∵图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为(a+b)的正方形面积中减去两个边长分别为a、b的正方形面 积，即 ， ∴2ab=n， 由(1)知， =m， ∴ = = m＋n，即正方形A，B的面积之和为m＋n， 故答案为：m＋n． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是正确解答的关键． 9．(2022·河南南阳·八年级阶段练习)已知 ， ．求： (1) 的值； (2) 的值． 【答案】(1)14 (2)12 【分析】(1)根据 求解即可； (2)根据 求解即可 (1) 解：∵ ， ∴ = ． (2) 解：∵ ， ∴ = ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 是解答本题的关键． 10．(2022·杭州市七年级期中)先化简，再求值：(m﹣4n)2﹣4n(3n﹣2m)﹣3(﹣2n+3m) (3m+2n)，其中13m2﹣8n2﹣6＝0． 【答案】﹣26m2+16n2，－12 【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案． 【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3(9m2﹣4n2) ＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2， ∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2(13m2﹣8n2)＝﹣2×6＝﹣12．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 11．(2022·福建·漳州市七年级阶段练习)运用整式乘法公式简便计算： ． 【答案】1 【分析】把原式第二部分变形为平方差公式计算即可得到解答． 【详解】原式= ． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的各种变式是解题关键． 题组B 能力提升练 1．(2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习)在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形 (a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的面积即可，根 据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解． 【详解】解：图甲阴影部分的面积为 ，图乙中阴影部分的面积等于两个图形中阴影部分的面积相等， 故选C． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键． 2．(2022·山东菏泽·七年级期末)如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形( )，把 剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=(a+b)(a-b)． 【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2 右边的图形的面积 =(a+b)(a-b)． ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键． 3．(2022·湖南岳阳·初一期末)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式， 例如利用如图1可以得到 ，那么利用如图2所得到的数学等式是( ). A． B． C． D．【答案】B 【分析】由图2可知，正方形的面积有两种求法,分别求解，即可得到等式. 【解析】图2的正方形面积第一种求法为 ；第二种求法是把它分割成9个图形的面积之和，为 故选B. 【点睛】此题主要考查乘法公式的几何验证，解题的关键是根据图形的面积求解. a b a2b24b62a 4．(2022·湖南双峰·七年级期中)无论 ， 为何值，代数式 的值总是( ) A．非负数 B．0 C．正数 D．负数 【答案】C 【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性 即可得出答案． 【详解】解：原式＝(a2﹣2a+1)+(b2+4b+4)+1＝(a﹣1)2+(b+2)2+1， ∵(a﹣1)2≥0，(b+2)2≥0，∴(a﹣1)2+(b+2)2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键． x2 4x3 5．(2022·广西兴业·月考)代数式 的最小值为( )． 1 0 3 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． x2 4x3 x2 4x41x22 1 【解析】代数式 ∵ x22 0 ∴ x22 11 即代数式x2 4x31故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质， 从而完成求解． 6．(2022·山东威海·七年级期中)如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完 全平方公式可求解． 【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，(x≥0) ∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，∴x为4，故选C 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键． 7．(2022·内蒙古七年级阶段练习)若 ，则 的值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案． 【详解】解： ， ．故选： D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键． x2 x1 1 4 x2  1 8．(2021·江门市第二中学初二月考)若 x ，则 x2 ________________. 【答案】8 2 x2 x1 1 1  1 【分析】先把 4 可化为 x 3 ，再将 x2  1 化为 x  1 ，然后代入即可解答。 x x x2  x 2 x2 x1 1 1  1 【解析】解：∵ 4 可化为 x 3 ， x2  1 化为 x  1 x x x2  x 2  1 x 1 ∴原式=  =32-1=8  x【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。 9．(2022·湖南永州·七年级期末)根据 ， ， ， …的规律，则可以得出 的末位数字是______． 【答案】7 【分析】先根据规律可得 ，再将 代入进行计算可得 ，然后根据 的末位数字的规律即可得． 【详解】解：由题中的规律可知， ， 将 代入得： ， 则 ， 因为 ， ， ， ， ， ， 所以 的末位数字是按 为一个循环的， 因为 ， 所以 的末位数字与 的末位数字相同，即为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了与多项式乘法相关的规律、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 10．(2022·四川·大竹县文星中学七年级期中)探究应用： (1)计算： ① ； ② ； (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______(请用含a，b的式子表示) (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是( ) A． B．C． D． (4)直接用公式写出计算结果： ______． 【答案】(1) ； (2) (3)C (4) 【分析】(1)按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得； (2)根据(1)中的计算进行总结即可； (3)根据(2)中总结的公式特点进行判断即可； (4)利用(2)中的公式进行计算即可． (1) 解： ； ． (2) 解：如 中， ， ， ， ∴发现的公式为： ． 故答案为：(3) 解：A、 ，不符合(2)中公式规律，故不符合题意； B、 ，不符合(2)中公式规律，故不符合题意； C、 ，符合(2)中公式规律，故符合题意； D、 ，不符合(2)中公式规律，故不符合题意． 故选：C (4) 解：根据公式，原式 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式 与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 11．(2022·四川射洪中学月考)已知 ，求代数式 的值． 【答案】12 【分析】将原式乘2，即可分成3个完全平方式，代入已知数据可求解． 【解析】原式= = = 原式 【点睛】本题考查求代数式的值，利用整体代入思想，把某代数式看作一个“整体”，即当成一个新的字 母，再求关于这个新字母的代数式的值，运用整体思想的关键是找准被看作整体的代数式．12．(2022·扬州七年级期中)阅读材料： 例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值． 解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0， ∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0， ∴(a﹣1)2+(2b﹣1)2＝0， ∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0， ∴a＝1，b＝ ． 参照上面材料，解决下列问题： (1)已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值； (2)已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值． 【答案】(1)x＝﹣4，y＝6；(2) 【分析】(1)先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解； (2)先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解. 【详解】解：(1)∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴(x2+8x+16)+(y2﹣12y+36)＝0， ∴(x+4)2+(y﹣6)2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0， 解得，x＝﹣4，y＝6，故答案为：x＝﹣4，y＝6； (2)2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，(x2+4y2+4xy)+(x2﹣2x+1)＝0，(x+2y)2+(x﹣1)2＝0， 则 ，解得 x+y＝1﹣ ＝ ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解 题的关键. 13.(2022·陕西咸阳·七年级期中)如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4 个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积； 方法1：______； 方法2：______； (2)由(1)写出 ， ，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (3)根据(2)中得到的等量关系，解答问题：若 ， ，求 ． 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】(1)一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面 积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示之． (2)(m+n)2，(m−n)2，mn分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积 =小正方形面积，可得它们之间的关系． (3)由(2)得出的关系式变形即可得结果． (1) 解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长方形面积来表示即为阴影部分面积，大正方形边长 为 ，则大正方形面积为 ，所以阴影部分面积为 ； 方法2：阴影部分为正方形，边长为 ，故面积可表示为 ； 故答案为： ； ． (2)∵ 与 都表示同一个图形面积， ∴ －4 ． 故答案为： －4 ． (3) ∵2a+b=6，ab=4， ∴ 【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的 关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到． 14．(2022·江苏·七年级期中)【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的 方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： (1)写出图1中所表示的数学等式_________． (2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数 学等式是________． (3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝ ，求x﹣y的值； (4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的 正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______． 【答案】(1) (2)(3) (4)13 【分析】(1)根据大正方形面积=两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可； (2)根据空白部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积进行求解即可； (3)设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出 ， ，据此求解即可． (1) 解：∵ ， ， ∴ ， 故答案为： ； (2) 解：∵ ， ， 故答案为： ； (3) 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (4) 解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得： ， ， ∴ ，故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟 知完全平方公式是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 1．(2022·江苏·扬州市七年级期中)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨 辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律(按n的次数由大到小的顺序)． 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… …… 请依据上述规律，写出 展开式中含 项的系数是( ) A．2022 B． C． D．4042 【答案】B 【分析】首先确定 是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由题意：， …， …， 可知， 展开式中第二项为含 项， ∴ 展开式中含 项的系数是﹣4044． 故选B．【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题． 2n 218 1 n 2．(2022·浙江瑞安.初一期中)已知 是一个有理数的平方，则 不能为( ) 20 10 34 36 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可． 【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=(29+1)2，此时n=9+1=10， 218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=(217+1)2，此时n=2×17=34， 1是乘积二倍项时，2n+218+1=(29)2+2•29•2-10+(2-10)2=(29+2-10)2，此时n=-20， 综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键． 3．(2022·郑州七年级月考)已知(m﹣53)(m﹣47)＝25，则(m﹣53)2+(m﹣47)2的值为( ) A．136 B．86 C．36 D．50 【答案】B 【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案． 【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6， ∴a2+b2=(a-b)2+2ab=(-6)2+50=86，∴(m-53)2+(m-47)2=86，故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 4．(2022·湖南·岳阳八年级阶段练习)已知 ，则 的值是___________． 【答案】62 【分析】将已知等式两边平方，化简可得结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：62． 【点睛】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 5．(2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中)当k＝_____时，100 －kxy+49 是一个完全平方式． 【答案】±140【分析】利用完全平方公式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵100 －kxy+49 ＝ 是一个完全平方式， ∴k＝±140， 故答案为：±140． 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘积的二倍，差的平方等于平 方和减乘积的二倍． 6．(2022·湖北·八年级期末)已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是 ______． 【答案】2 大 4 -x24x 【分析】先把 配成完全平方式与一个常数和的形式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解． -x24x-(x2-4x4)+4-(x-2)2+4 【详解】解： ， (x-2)2 0 -(x-2)2 0 -(x-2)2+44 ∵ ，∴ ，∴ ∴当x=2时，式子有最大值，这个值为4；故答案为2，大，4； 【点睛】本题考查了利用完全平方公式求代数式的最值，解题的关键是掌握利用平方法对代数式进行变形， (xm)2 0 并掌握 的性质求最值， 7．(2022·江西抚州·七年级期中)如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形( )，把余下 的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：_________ A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知： ， ，求 的值；②计算： ． 【答案】(1)B (2)①7 ；② 【分析】(1)分别表示两个图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； (2)①利用平方差公式，整体代入即可得出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，再根据规律 可得出答案． (1) 解：图中两个阴影部分的面积分别为：a2−b2和(a+b)(a−b)， ∴a2−b2=(a+b)(a−b)， 故选：B； (2) 解：①∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； ② 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从而达到 简便运算的目的是解决本题的关键． 8．(2022·广东汕头·八年级期末)图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长 方形，再按图b的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积 方法1：_________________；方法2：_________________. (2)观察图b，写出下面三个式子 ， ， 之间的等量关系_________; (3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题： ①已知 ， ，则 ________； ②已知 ， ，求 的值．(写出解答过程) 【答案】(1) 或 (2) = (3)①±1；②3 【分析】(1)观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正 方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部 分的正方形面积； (2)利用(1)中图b中的阴影部分的正方形面积，得到 = ； (3)①根据(2)的结论得到 ，然后把 ， ，代入计算即可．②根据(2)的 结论得到 ，代入 即可求解． (1) 解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为 ，面积为 ； 方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个长为 ，宽为 的面积，即图b中阴影部分的面积为 ， 故答案为： 或 (2) 解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得 = ． 故答案为： = ． (3) 解：①由(2)得 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，解得 ； 故答案为： ②∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．解决问 题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值． 9．(2022·河南·南阳市实验学校八年级阶段练习)若 满足 ，求 的值． 解：设 ， ，则 ， ， ∴ ．请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若 满足 ，求 的值为______； (2)若 满足 ，则 ______； (3)已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的 面积是35，分别以 、 作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)1 (3)24 【分析】(1)根据题目提供的方法进行计算即可； (2)设m=7-x，n=x-4，可得m+n=(7-x)+(x-4)=3， ，由 =mn=- 代入计算即可； (3)由题意得正方形GFDH的边长为x-3，正方形MFRN的边长为x-1，(x-3)(x-1)=35，设p=x-1，q=x-3，则p- q=x-1-x+3=2，pq=(x-1)(x-3)=35，根据 求出p+q，再利用平方差公式求出 的值 即可． (1) 解：设a=5-x，b=x-1，a+b=(5-x)+(x-1)=4，ab= ， 所以 ． 故答案为12． (2)解：设m=7-x，n=x-4，则m+n=(7-x)+(x-4)=3， ， 所以 =mn =- =- (7-9) =1． 故答案为1． (3) 解：由题意得，正方形GFDH的边长为x-3，正方形MFRN的边长为x-1，由于长方形EMFD的面积是 35，即(x-3)(x-1)=35， 设p=x-1，q=x-3，则p-q=x-1-x+3=2，pq=(x-1)(x-3)=35， 所以 =4+4×35 =144， 即p+q=12(负值舍去)， 所以阴影部分的面积为 =(p+q)(p-q) =12×2 =24， 即阴影部分的面积为24． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 10．(2022·重庆初一课时练习)我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一 个数学等式．例如图 可以得到 ．请解答下列问题：(1)写出图 中所表示的数学等式；(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，求 的值；(3)小明同学打算用 张边长为 的正方形， 张边长为 的正 方形， 张相邻两边长为分别为 、 的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么 他总共需要多少张纸片？ 【答案】(1) ；(2)50；(3)143. 【分析】(1)直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可. (2)将 ， 代入(1)中得到的式子，然后计算即可； (3)长方形的面积 ，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的 值，代入即可求解. 【解析】解：(1) (2)由(1)可知： (3)根据题意得， 所以 ， ， 所以 答：小明总共需要 张纸。 【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键. 11．(2022·河南·郑州市七年级期中)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式， 如图1，是用长为a，宽为 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到 三者之间的等量关系式：________﹔ 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， 如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ． 利用上面所得的结论解答下列问题： (1)已知 ，求 的值； (2)已知 ，求 的值． 【答案】[知识生成](a+b)2-4ab=(a-b)2； [知识迁移](1)25；(2)90 【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式(a+b)2-4ab=(a-b)2； [知识迁移]利用体积相等推导 ； (1)应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可； (2)应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论． 【详解】[知识生成] 方法一：已知边长直接求面积为(a-b)2； 方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴面积为(a+b)2-4ab， ∴由阴影部分面积相等可得(a+b)2-4ab=(a-b)2； 故答案为：(a+b)2-4ab=(a-b)2； [知识迁移] (1)由(a+b)2-4ab=(a-b)2， 可得(x-y)2=(x+y)2-4xy，∵x+y=6，xy= ， ∴(x-y)2=62-4× ， ∴(x-y)2=25， (2)∵a+b=6，ab=7， ∴a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=216-3×7×6=90． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题关键．