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22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 教学设计
课题 22.1.3 二次函数 y=a(x- 单元 第22章 学科 数学 年级 九年级
h)2+k的图象和性质
1.会画二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的性质并会应用.
学习
目标
3.理解y=ax2 与y=ax2+k、y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k之间的联系.
重点 1.理解并掌握二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的图象的性质.
2.掌握y=ax2 与y=ax2+k、y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k之间的联系．
难点 掌握y=ax2 与y=ax2+k、y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k之间的联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.说出二次函数y=ax2的图象和性质？ 学生回忆并回 回顾二次函数
图象都是抛物线， 答问题. y=ax2的图象和
性质：（1）开口方向：a>0，开口向上；a<0，开 性质以及一次函
口向下.（2）开口大小：|a|越大，抛物线的开口 数间的位置关
越小；（3）轴对称图形，对称轴为y轴；（4）顶 系，为下面探究
点(0、0)；（5）a>0，y =0；a<0，y =0； y=ax2 与
最小 最大
（6）增减性：a>0，在对称轴左侧，y随x的增大 y=ax2+k、y=a(x-
而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大； h)2及y=a(x-h)2+k
a<0，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对 之间的联系做铺
垫.
称轴右侧，y随x的增大而减小.
2. 一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
平行
3. 你能由此推测二次函数 y=2x2与y=2x2+1的图
象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1
的图象之间又有何关系?
下面我们一起来研究.讲授新课 环节一：探究二次函数y = ax2+k的图象和性 通过画二 体会数形结合的
质 次函数的图 数学思想，结合
用描点法画二次函数y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1的 象，探究y = 图形探究性质，
图象 ax2+k其性质. 使学生更好地理
解:(1) 列表 解性质，另一方
(2) 描点 面理解 y=ax2 与
(3) 连线
y=ax2+k 之间的
联系.
x ... -1 -0.5 0 0.5 1 ...
y=2x2 ... 2 0.5 0 0.5 2 ...
y=2x2+1 3 1.5 1 1.5 3
y=2x2-1 1 -0.5 -1 -0.5 1
思考1：观察上面三个函数的图象，回答下面问
题：
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1图
象存在怎样的关系？
y=2x2图象向上平移1个单位长度得到y=2x2+1的
图象;
y=2x2图象向下平移1个单位长度得到y=2x2-1的
图象.
y=2x2+1图象向下平移1个单位长度得到y=2x2的
图象，
y=2x2+1图象向下平移2个单位长度得到y=2x2-1
的图象.
y=2x2-1图象向上平移1个单位长度得到y=2x2的
图象，
y=2x2-1图象向上平移2个单位长度得到y=2x2+1
的图象.练习：画二次函数 y=-2x2、y=-2x2+1、y=-2x2-1的
图象，回答问题.
（1）填表：
（2）函数 y=-2x2、y=-2x2+1、y=-2x2-1图象之间
体会数形结合的
的关系：
数学思想，结合
① y=-2x2 图象向上平移 1 个单位长度得到
图形探究性质，
y=-2x2+1的图象；
通过画二次函 使学生更好地理
②y=-2x2图象向下平移1个单位长度得到y=-2x2-
数的图象，探 解性质，另一方
的图象；
究y = a(x-h)2 面理解 y=ax2 与
③ y=-2x2+1 图象向下平移 1 个单位长度得到
其性质. y = a(x-h)2之间
y=-2x2的图象；
的联系.
④ y=-2x2+1 图象向向下平移 2 个单位长度得到
y=-2x2-1的图象；
⑤y=-2x2-1图象向上平移1个单位长度得到y=-2x2
的图象；
⑥ y=-2x2-1 图象向上平移 2 个单位长度得到
y=-2x2+1的图象.
小结1：对于二次函数 y = ax2+k，它的性质如
下：
小结2：对于二次函数 y = ax2+k的图象可以看作是由 y = ax2的图象向上 (k>0)或向下 (k<0)平移
∣k∣个单位得到的.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练习1. 填表：
函数 开口方 对称轴 顶点 有最高
向 （低）
点
y=-3x2 向下 y轴 (0,0) 最高点
通过画二次函
y=5x2+ 向上 y轴 (0,1) 最低点
数的图象，探 体会数形结合的
1
究y = a(x- 数学思想，结合
y=-x2-5 向下 y轴 (0,-5) 最高点
h)2+k其性质. 图形探究性质，
练习2. 抛物线y=12x2向下平移4个单位，就得到
使学生更好地理
抛物线y=12x2-4.
解性质，另一方
面理解y=ax2 、
环节二：探究二次函数y = a(x-h)2的图象和性
y=ax2+k、y=a(x-
质
h)2与y = a(x-
用描点法画二次函数 y=2x2、y=2(x+1)2、
h)2+k之间的联
y=2(x-1)2的图象
系.
解:(1) 列表
x ... -1 -0.5 0 0.5 1 ...
y=2x2 ... 2 0.5 0 0.5 2 ...
y=2(x+1)2 0 0.5 2 4.5 8
y=2(x-1)2 8 4.5 2 0.5 0
(2) 描点
(3) 连线
思考3：观察上面三个函数的图象，回答下面问
题：思考4：这三个函数y=2x2、y=2(x+1)2、y=2(x-1)2
图象存在怎样的关系？
y=2x2图象向左平移1个单位长度得到y=2(x+1)2的
图象，
y=2x2图象向右平移1个单位长度得到y=2(x-1)2的
图象.
y=2(x+1)2图象向右平移1个单位长度得到y=2x2的
图象，
y=2(x+1)2 图象向右平移 2 个单位长度得到
y=2(x-1)2的图象.
y=2(x-1)2图象向左平移1个单位长度得到y=2x2的
图象，
y=2(x-1)2 图 象 向 左 平 移 2 个 单 位 长 度 得 到
y=2(x+1)2的图象.
练习：画二次函数 y=-2x2、y=-2(x+1)2、y=
-2(x-1)2的图象，回答问题
（1）填表：
（2）函数 y=-2x2、y=-2(x+1)2、y=-2(x-1)2图象之
间的关系：
y=-2x2图象向左平移1个单位长度得到y=-2(x+1)2的图象，
y=-2x2图象向右平移1个单位长度得到y=-2(x-1)2
的图象. 深刻理解二次函
y=-2(x+1)2图象向右平移1个单位长度得到y=-2x2 通过自学、交 数的性质，初步
的图象， 流完成例题. 理解问题并能用
y=-2(x+1)2 图象向右平移 2 个单位长度得到 所学的知识解决
y=-2(x-1)2的图象.
问题.培养学生运
用数学知识解决
y=-2(x-1)2图象向左平移1个单位长度得到y=-2x2
问题的能力和对
的图象，
知识的应用意识.
y=-2(x-1)2 图象向左平移 2 个单位长度得到
y=-2(x+1)2的图象.
小结3：对于二次函数 y = a(x-h)2，它的性质如
下：
小结4：对于二次函数 y = a(x-h)2的图象可以看作
是由y = ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移∣h∣
个单位得到的.
左右平移规律：
自变量改变, 左加右减.
环节三：探究二次函数y = a(x-h)2+k的图象
和性质
例3 在同一直角坐标系中画出函数y= (x+1)2-
1的图象，
并指出它的开口方向、对称轴、顶点，怎样移动
抛物线y= x2就可以得到抛物线y= (x+1)2-
1?
解:(1) 列表
x ... -3 -2 -1 0 1 ...
... -3 -1.5 -1 -1.5 -3 ...
y= (x+1)
2-1(2) 描点
(3) 连线
y= (x+1)2-1的图象是抛物线
性质：（1）开口向下；
（2）对称轴是直线x=-1；
（3）顶点是（-1，-1）.
平移方法1:
y= x2先向下平移1个单位y= x2-1再向左平
移1个单位y= (x+1)2-1
平移方法2:
y= x2先向左平移1个单位y= (x+1)2再向下
平移1个单位y= (x+1)2-1
小结：一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形
状相同，位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右
(左)平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k. 平移的
方向、距离要根据h、k的值来决定.
平移方法:
y=ax2向左(右)平移|h|个单位y=a(x－h)2向上(下)平
移|k|个单位y=a(x－h)2＋k
或y=ax2向上(下)平移|k|个单位y=ax2＋k
向左(右)平移|h|个单位y=a(x－h)2＋k
抛物线 y=a(x － h)2 ＋ y=a(x － h)2 ＋
k(a>0) k(a<0)
a、k符 a>0,k> a>0,k< a<0,k> a<0,k<
号 0 0 0 0图象
开口方 向上 向下
向
对称轴 直线x=h
顶点坐 (h，k)
标
最值 当 xh 时，y 随 当 x> h 时，y
x 增大而增大. 随 x 增大而减小.
增减性 x=h时，y最小值 x=h时，y最大值
=k =k
各种形式的二次函数的关系
y = a( x - h )2 + k
左 移上
右 下
平 平
移
y = ax2 + k y = a(x - h )2
运用二次函数
上下平移 左右平
y = ax2
移 的性质求解未
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相
知字母的值以
同，位置不同.
及解决相关问
题. 学生练板 师生互评，进行
环节四：性质的应用
演解题过程. 订正.体会知识之
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安
间的运用和联系.
装一根水管. 在水管的顶端安装一个喷水头，使喷
出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处
达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心
3m，水管应多长？
解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地
处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直
角坐标系.点（1,3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这
段 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 是
y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)
由这段抛物线经过点(3,0)，可得0=a(3-1)2+3，
解得a=
因此y= (x-1)2+3(0≤x≤3)
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应2.25m长.
环节五：课堂练习
1.函数y= (x+5)2-8的图象的开口向上，对称轴是
直线x=-5，顶点是(-5，-8)；在对称轴的左侧，y
随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增
大而增大.
2.函数y= (x-12)2+4图象是由函数
的图象向上平移4个单位长度，向右平移12个单
位长度得到的(或向右平移12个单位长度，向上平
移4个单位长度得到的).
3.在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝-2的是(
A )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
4. 4. 已知点A(－4，y)，B(－3，y)，C(3，y)三
1 2 3
点都在抛物线y＝－(x＋2)2的图象上，则y ，y ，
1 2
y 的大小关系为y
