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第15章分式备考提分专项训练（解析版）
第一部分 知识梳理
一、分式
1.分式的概念：
A A
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B 叫做分式.分式B 中，A叫做分子，
B叫做分母.
A
2.分式B 有意义的条件：
当______时分式有意义；当______时分式无意义.
3.分式值为零的条件：
A
当____________时，分式B 的值为零.
4.分式的基本性质：
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
A A⋅C A A÷C
= =
B B⋅C ，B B÷C (C≠0)其中A，B，C是整式.
5.分式的约分：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式.
6.分式的通分：
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式(即最简公分母)，把分母不相同的分式变成分母
相同的分式，这种变形叫分式的通分.
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分
母.
二、分式的运算
a c a⋅c a c a d a⋅d
⋅ = ÷ = ⋅ =
1.分式的乘除法则：b d b⋅d ，b d b c b⋅c .
(a) n an
=
b bn
2.分式的乘方法则： .
3.分式的加减法则：
a b a±b
± =
(1)同分母：c c c
a c ad bc ad±bc
± = ± =
(2)异分母：b d bd bd bd
4.分式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式.
三、整数指数幂
(1) am·an=am+n (m，n是整数)；
(2) (am)n=amn (m，n是整数)；
(3) (ab)n=anbn (n是整数).
1
a−n
=
一般地，当 n 是正整数时，
an
(a≠0).这就是说，a-n (a≠0)是 an 的倒数.
此外，当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算).
四、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否
则必须舍去(增根).
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根(包括两方面:①是否是分式方程的根；②是否符合题意)；
(6)写:答案.
第二部分 数学思想
方法1 转化思想
1．（2021秋•崇川区校级月考）解方程：
1 3
（1） = ；
x−1 x
x x−4
（2） +3= ．
x−2 2−x
3
【答案】（1）x= ；
2
（2）原方程无解．
思路引领】（1）方程两边都乘x（x﹣1）得出x＝3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出x+3（x﹣2）＝﹣（x﹣4），求出方程的解，再进行检验即可．
1 3
【解答】解：（1） = ，
x−1 x方程两边都乘x（x﹣1），得x＝3（x﹣1），
3
解得：x= ，
2
3
检验：当x= 时，x（x﹣1）≠0，
2
3
所以x= 是原方程的解，
2
3
即原分式方程的解是x= ；
2
x x−4
（2） +3= ，
x−2 2−x
方程两边都乘x﹣2，得x+3（x﹣2）＝﹣（x﹣4），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即原分式方程无解．
【总结提升】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
方法2 转化思想
2．（2022•荷塘区校级二模）先化简，再求值： x−1 x−2 2x2−x ，其中x满足x2－2x﹣2＝0．
( − )÷
x x+1 x2+2x+1
思路引领】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式 x2−1−x2+2x x(2x−1)
= ÷
x(x+1) (x+1) 2
2x−1 • (x+1) 2
=
x(x+1) x(2x−1)
x+1
= ，
x2
当x2－2x﹣2＝0时，x2＝2x＋2
x+1 1
原式= = ．
2x＋2 2
【总结提升】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．方法3 建模思想
3．（2022春•社旗县期中）【问题呈现】
为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在
生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂
疫苗？
【分析交流】
慧慧组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整，
时间 原先 现在
生产量
生产总量（单位：万剂） 22 0 240
每天生产量（单位：万剂） x （ 1+20% ） x
【建模解答】
（请你完整解答本题）
【解题收获】
通过本问题的解决，我的收获是： 构建分式方程解决问题 ．
【答案】【分析交流】220，（1+20%）x；
【建模解答】见解析；
【解题收获】构建分式方程解决问题．
思路引领】【分析交流】由题意即可得出结论；
【建模解答】设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意：现在生产
240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，列出分式方程，解方程即可；
【解题收获】构建分式方程即可．
【解答】解：【分析交流】
由题意得：原先生产220万剂疫苗，现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
故答案为：220，（1+20%）x；
【建模解答】
设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
220 240
由题意得： − =0.5，
x (1+20%)x
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，且符合题意，
答：原先每天生产40万剂疫苗．【解题收获】
通过本问题的解决，我的收获是：构建分式方程解决问题，
故答案为：构建分式方程解决问题．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
第三部分 常考题型突破
题型1 分式的运算
5 m−3 1
4．（2022秋•抚顺县期末）先化简，再求值：(m+2− )÷ ，其中m=( ) −2+20．
m−2 m−2 2
【答案】m+3，8．
思路引领】先将被除式括号里面的进行通分，同时将除法转化为乘法，再把被除式的分子分解因式，再
进行约分即可．
5 m−3
【解答】解：(m+2− )÷
m−2 m−2
(m+2)(m−2)−5 m−2
= ⋅
m−2 m−3
m2−9
=
m−3
＝m+3，
1
当m=( ) −2+20=4+1＝5时，原式＝5+3＝8．
2
【总结提升】本题主要考查了分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式和整式的混合运算顺序和
运算法则．
题型2 分式的化简求值
1 a−2 a−1
5．（2023春•鹤壁期末）先化简：(1− )÷ + ，再从1≤a＜❑√10的范围内选取一个
a−1 2 a2−2a+1
合适的整数作为a的值代入求值．
3 3
【答案】 ， ．
a−1 2
思路引领】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后计算加法，最后从 1≤a＜❑√10的范围内选取
一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
1 a−2 a−1
【解答】解：(1− )÷ +
a−1 2 a2−2a+1a−1−1 2 a−1
= • +
a−1 a−2 (a−1) 2
a−2 2 1
= • +
a−1 a−2 a−1
2 1
= +
a−1 a−1
3
= ，
a−1
∵当a＝1或2时，原分式无意义，1≤a＜❑√10，
∴a可以取得整数为3，
3 3
当a＝3时，原式= = ．
3−1 2
【总结提升】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
题型3 解分式方程
2x 1
6．（2022•宿迁）解方程： =1+ ．
x−2 x−2
【答案】x＝﹣1．
思路引领】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
2x 1
【解答】解： =1+ ，
x−2 x−2
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
【总结提升】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式
方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．
题型4 根据分式方程无解求字母参数的值
2 m
7．（2022•遂宁）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
思路引领】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，求出m的
值即可．2 m
【解答】解： = ，
x 2x+1
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，
1 2
即4﹣m＝0或x=− =− ，
2 4−m
∴m＝4或m＝0，
故选：D．
【总结提升】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．
题型5 分式方程的实际应用
8．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造
一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划
提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超
过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】（1）实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）以后每天改造管网至少还要增加36米．
思路引领】（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，根据比原计
划提前10天完成任务建立方程求出其解就可以了；
（2）设以后每天改造管网还要增加m米，根据总工期不超过40天建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，
3600 3600
由题意得： − =10，
x (1+20%)x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）＝72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；（2）设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【总结提升】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答
时找到相等关系和不相等关系建立方程和不等式是关键．
第四部分 全章模拟测试
π 1+x 2x−1 3
1．（2022秋•岱岳区校级月考）在代数式 ， ， ， 中，分式有（ ）
2 5 x2 x−3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
A
思路引领】根据分式的定义（形如 的式子是分式，其中A与B是整式，B中含有字母）解决此题．
B
2x−1 3
【解答】解：根据分式的定义，分式有 ， ，共2个．
x2 x−3
故选：B．
【总结提升】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．
x2−1
2．（2022秋•津南区期中）若分式 的值是0，则x的值是（ ）
x+1
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【答案】D
思路引领】根据分式的值为0的条件得到x2﹣1＝0且x+1≠0，然后解方程和不等式得到满足条件的 x
的值．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得x＝1，
即x的值为1．
故选：D．
【总结提升】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
3．（2022春•鼓楼区期末）下列分式变形中，正确的是（ ）
A．a a+3 B．a a−3 C．a 3a D．a a3
= = = =
b b+3 b b−3 b 3b b b3【答案】C
思路引领】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此
选项不符合题意；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题
意；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；
D、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题
意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．分式的基本性质：分式
的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
1
4．（2022春•牟平区期中）一种病毒的直径是1.18 m，变异后直径是原来的 ，用科学记数法表示病毒
10
μ
变异后的直径（单位：m）是（ ）
A．11.8×10﹣8 B．118×10﹣8 C．1.18×10﹣7 D．1.18×10﹣6
【答案】C
思路引领】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
1
【解答】解：1.18× =0.118（ m），
10
μ
0.118 m＝0.118×10﹣6m＝1.18×10﹣7m，
故选：μC．
【总结提升】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2a+3ab+2b
5．（2022秋•涟源市月考）已知a+b＝2ab，那么 =（ ）
a−ab+b
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】B
2a+3ab+2b 2(a+b)+3ab
思路引领】将 整理为 ，然后将a+b＝2ab代入计算即可．
a−ab+b a+b−ab【解答】解：∵a+b＝2ab，
2a+3ab+2b
∴
a−ab+b
2(a+b)+3ab
=
a+b−ab
2×2ab+3ab
=
2ab−ab
4ab+3ab
=
ab
7ab
=
ab
＝7，
故选：B．
【总结提升】本题考查了分式的性质以及整体代入的思想，熟练掌握整体代入的思想是解本题的关键．
6．（2022秋•离石区期末）截止2022年6月，烟台市累计开通5G基站10366个，居全省第三．5G网络
峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求
这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（ ）
500 5000 500 500
A． − =45 B． − =45
x x x 10x
500 500 5000 500
C． − =45 D． − =45
10x x x x
【答案】B
思路引领】直接利用“5G网络比4G网络快45秒”得出等式进而得出答案．
500 500
【解答】解：依题意，可列方程是： − =45．
x 10x
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解
决问题的关键．
7．（2022春•临漳县期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前
一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简．过程如图，接力中，自
己负责的一步出现错误的是（ ）
老师x2−2x x2 →甲x2−2x 1−x→乙x2−2x x−1→丙x(x−2) x−1→丁x−2
÷ ⋅ ⋅ ⋅
x−1 1−x x−1 x2 x−1 x2 x−1 x2 2A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
思路引领】观察每人计算的式子，判断即可．
x2−2x 1−x
【解答】解：原式= •
x−1 x2
x2−2x x−1
=− •
x−1 x2
x(x−2) x−1
=− •
x−1 x2
x−2
=− ，
x
则自己负责的一步出现错误的是乙和丁．
故选：D．
【总结提升】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
{ m−4x＞4 )
7．（2019•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组 11 1 有且仅有三个奇数解，且关于x
x− ＜3(x+ )
2 2
2−mx 30
的分式方程 − =13有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
2−x x−2
A．15 B．27 C．29 D．42
【答案】C
思路引领】解不等式组和分式方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有且仅有三个奇数解和分
式方程的解为非负数得出m的范围，继而可得整数m的值．
{ m−4x＞4 ) 7 m−4
【解答】解：解不等式组 11 1 ，得：− ＜x＜ ，
x− ＜3(x+ ) 2 4
2 2
∵不等式组有且仅有三个奇数解，
m−4
∴1＜ ≤3，
4
解得：8＜m≤16，
2−mx 30
解关于x的分式方程： − =13，
2−x x−2
6
得：x= ，
m−13∵分式方程有非负数解，
6 6
∴ ≥0，且 ≠2，m≠16，
m−13 m−13
解得：m＞13且m≠16，
综上，m＝14和15，
所以所有满足条件的整数m的值为14，15，和为29．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的
能力，并根据题意得到关于m的范围是解题的关键．
2
8．（2022秋•和平区校级期末）要使分式 有意义，则x的取值应满足的条件是 x ≠ 5 ．
x−5
【答案】x≠5．
思路引领】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【总结提升】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
1 x−1 x
9．（2022秋•宁远县校级月考）三个分式： ， ， 的最简公分母是 x （ x +1 ）（ x ﹣
x2−1 x(x+1) x+1
1 ） ．
【答案】x（x+1）（x﹣1）．
思路引领】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
1 x−1 x
【解答】解： ， ， 的分母分别是（x+1）（x﹣1），x（x+1），x+1，
x2−1 x(x+1) x+1
所以这三个分式的最简公分母是x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【总结提升】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高
次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简
公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的
整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
10．（2022春•溧阳市期中）用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原
50 10 10
来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 或 − 吨．
a(a+5) a a+5
50 10 10
【答案】 或 − ．
a(a+5) a a+5
10 10
思路引领】漫灌时平均每天的用水量为 吨，喷灌平均每天用水量为 吨，然后求它们的差即可．
a a+5
10 10 50
【解答】解：喷灌比漫灌平均每天节约用水量为 − = （吨）．
a a+5 a(a+5)
50 10 10
故答案为： 或 − ．
a(a+5) a a+5
【总结提升】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符
号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注
意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
11．（2022•无为市三模）某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干组，实际分组时每组
人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7组．求实际分组时每组的人数 1 5 人 ．
【答案】15人．
思路引领】设原计划分组时每组的人数为x人，则实际分组时每组的人数为1.5x人，利用分成的组数＝
总人数÷每组人数，结合实际分成的组数比原计划少 7组，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后
即可得出x的值，再将其代入1.5x中即可求出实际分组时每组的人数．
【解答】解：设原计划分组时每组的人数为x人，则实际分组时每组的人数为1.5x人，
210 210
依题意得： − =7，
x 1.5x
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×10＝15．
∴实际分组时每组的人数为15人．
故答案为：15人．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．x+1 m
12．（2023春•上城区期末）若关于x的分式方程 =2− 有增根，则常数m的值是（ ）
x−4 4−x
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【答案】B
思路引领】将分式方程通过去分母化为整式方程，根据分式方程的增根即可求出需要的m的值．
x+1 m
【解答】解：关于x的分式方程 =2− 化为整式方程得，
x−4 4−x
x+1＝2（x﹣4）+m，
由于分式方程有增根，增根为x＝4，
把x＝4代入x+1＝2（x﹣4）+m得，
m＝5，
故选：B．
【总结提升】本题考查分式方程的增根，理解分式方程增根的意义以及产生增根的原因是正确解答的前
提．
1 1 5
13．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a b= − ．若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 ．
a b 6
⊕ ⊕
5
【答案】 ．
6
思路引领】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：
1 1
− =1，
2x−1 2
5
解得：x= ．
6
5
经检验，x= 是原方程的根，
6
5
∴x= ．
6
5
故答案为： ．
6
【总结提升】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的
关键．14．（2022秋•朝阳区校级期中）先化简，再求值：（ x2−2x 3 ） x−3 ，其中x＝﹣1．
− ÷
x2−4x+4 x−2 x2−4
【答案】x+2，1．
思路引领】利用分式的相应的运算法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（ x2−2x 3 ） x−3
− ÷
x2−4x+4 x−2 x2−4
＝[x(x−2) 3 ] (x−2)(x+2)
− ⋅
(x−2) 2 x−2 x−3
x−3 (x−2)(x+2)
= ⋅
x−2 x−3
＝x+2，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+2
＝1．
【总结提升】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（2022秋•中山区期中）解方程：
2 1
（1） = ；
x+3 x−1
x 3
（2） −1= ．
x−1 (x−1)(x+2)
【答案】（1）x＝5；
（2）无解．
思路引领】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分
式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）方程两边乘（x+3）（x﹣1）得：2（x﹣1）＝x+3，
去括号得：2x﹣2＝x+3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，（x+3）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解为x＝5；
（2）方程两边乘（x﹣1）（x﹣2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
因此x＝1不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解．
【总结提升】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．（2023•德城区一模）【调查活动】：
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、
乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．
【问题解决】：
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，
并写出解题过程．
【答案】问题：甲、乙两校的人数各是多少？甲、乙两校的人数各是900人、1000人；问题：甲、乙两
校的人均图书册数各是多少？甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
思路引领】由题意可提问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人，根据题意可列方程
18000 18000
= +2，或者问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为
(1−10%)x x
18000 18000
x人，根据题意可列方程 = ×(1−10%)，然后问题可求解．
x+2 x
【解答】解：方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设乙校的人数为x人，根据题意可列方程：
18000 18000
= +2，
(1−10%)x x
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，（1﹣10%）x＝900人，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设乙校的人均图书册数为x人，根据题意可列方程：18000 18000
= ×(1−10%)，
x+2 x
解得：x＝18，
经检验，x＝18是原方程得解，且符合题意，x+2＝20，
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
【总结提升】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
