文档内容
专题21 分式的恒等变形技巧（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
技巧一 分离常数法
题型一 直接分离常数
典例1 （2023秋•东平县期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，
则称这个分式为“和谐分式”．
x+1 x−1+2 x−1 2 2 a2−2a+3 (a−1) 2+2 2 x+1
如 = = + =1+ ， = =a−1+ ， 则 和
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 a−1 a−1 a−1 x−1
a2−2a+3
都是“和谐分式”．
a−1
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： ①③④ （填序号）；
①x+1；②x+2；③x+2；④y2+1．
x 2 x+1 y2
x2+6x−3 x2+6x−3
（2）将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： = x ﹣
x−1 x−1
4
7+ ．
x−1
（3）应用：先化简3x+6 x−1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x+1 x x2+2x
【思路引领】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
a2−2a+1+2
（2）把分式先变形为 ，再写成整式与分式分子为常数的形式；
a−1
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
x+1 1 x+2 1
【解答】解：（1）① =1+ ，是和谐分式；②是整式，③ =1+ ，是和谐分式，
x x x+1 x+1
④y2+1 1 1 ，是和谐分式．
= +
y2 y2
故答案为：①③④；x2+6x−3 x2−2x+1+8x−4 4
（2） = =x+7+ ，
x−1 x−1 x−1
4
故答案为：x+7+ ；
x−1
（3）3x+6 x−1 x2−1
− ÷
x+1 x x2+2x
3x+6 x−1 x(x+2)
= − ×
x+1 x (x+1)(x−1)
3x+6 x+2
= −
x+1 x+1
2x+4
=
x+1
2
＝2+ ，
x+1
2
当x+1＝±2，x+1＝±1时， 是整数；
x+1
2
即当x＝1，﹣3，0，﹣2时， 是整数；
x+1
∵分母不能为0，∴x≠﹣1，0，1，﹣2，
故只有当x＝﹣3时，分式的值为整数．
所以当x＝﹣3时，分式运算的结果是整数．
【总结提升】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容
并能运用．
针对训练
1．（2020春•玄武区期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
8 6+2 2 2
数”，而假分数都可以化为带分数，如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个
3 3 3 3
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母
x−1 x2 3 2x
的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是假分式；再如： ， 这
x+1 x−1 x+1 x2+1
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：x−1 (x+1)−2 2
= =1− ；
x+1 x+1 x+1
解决下列问题：
1
（1）分式 是 真分式 （填“真分式”或“假分式”）；
5x
x2+4x−3
（2）将假分式 化为带分式；
x+2
（3）先化简3x−6 x+1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x−1 x x2−2x
【思路引领】（1）根据题意，可知题目中的式子是真分式还是假分式；
（2）根据题目中的例子，可以将题目中的式子化为带分式；
（3）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据题目中的式子的结果为整数，可以求得
x的值，然后将使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
1
分式 是真分式，
5x
故答案为：真分式；
x2+4x−3 (x+2) 2−7 7
（2） = =x+2− ；
x+2 x+2 x+2
（3）3x−6 x+1 x2−1
− ÷
x−1 x x2−2x
3x−6 x+1 x(x−2)
= − ⋅
x−1 x (x+1)(x−1)
3x−6 x−2
= −
x−1 x−1
3x−6−x+2
=
x−1
2x−4
=
x−1
2(x−1)−2
=
x−1
2
＝2− ，
x−12
∵2− 是整数，
x−1
∴x﹣1＝±1或x﹣1＝±2，
解得，x＝0，2，3，﹣1，
∵x＝0，1，﹣1，2时，原分式无意义，
∴x＝3，
2
当x＝3时，原式＝2− =1，
3−1
即当x＝3时，该式的值为整数．
【总结提升】本题考查分式的混合运算、分式的定义，解答本题的关键是明确题意，利用分式的知识解
答．
题型二 待定系数法分离常数
典例2 （2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
3x2+4x−1
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
x+1
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
{ a+3=4 ) { a=1 )
所以 ，解得 ．
a+b=−1 b=−2
3x2+4x−1 (x+1)(3x+1)−2 (x+1)(3x+1) 2 2
所以 = = − =3x+1− ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
2
这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式 的差的形式．
x+1
根据你的理解决下列问题：
2x2+3x+6
（1）请将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
x−1
5x2+9x−3
（2）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11
x+2
1
+ ，求m2+n2+mn的最小值．
n−6【思路引领】（1）根据材料中提供的方法，将2x2+3x+6转化为2x2+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组
2x2+3x+6 (x−1)(2x+5)+11
求出a、b，最后再将 转化为 ，从而得出答案；
x−1 x−1
5x2+9x−3 1 1 1
（2）根据（1）的方法可得 =5x﹣1− ，进而得到5m﹣11+ =5x﹣1− ，然后
x+2 x+2 n−6 x+2
用含有x的代数式表示m、n，代入m2+n2+mn后，写成m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，进而求出最小值．
【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．
因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
{ a−2=3 )
因此有 ，
−a+b=6
{a=5
)
解得 ，
b=11
2x2+3x+6 (x−1)(2x+5)+11 11
所以 = =2x+5+ ；
x−1 x−1 x−1
（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
{ a+10=9 )
因此有 ，
2a+b=−3
{a=−1)
解得 ，
b=−1
5x2+9x−3 (x+2)(5x−1)−1 1
所以 = =5x﹣1− ，
x+2 x+2 x+2
1 1
所以5m﹣11+ =5x﹣1− ，
n−6 x+2
因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
所以m＝x+2，n＝﹣x+4，
所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，
所以m2+n2+mn的最小值为27．
【总结提升】本题考查分式的加减法，理解题目中所提供的求解方法是解决问题的关键．
针对训练1．（2023春•玄武区期中）阅读下列材料，并解答问题：
x2−x+3
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+1
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵对于任意x上述等式成立
{a+1=−1) {a=−2)
∴ 解得：
a+b=3 b=5
x2−x+3 (x+1)(x−2)+5 5
∴ = =x−2+
x+1 x+1 x+1
x2−x+3 5
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
x+1 x+1
x2+6x−3 4
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 x+7+ ；
x−1 x−1
2x2+5x−20
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝ 4 、 1 6 、 2 、﹣ 1 0 ；
x−3
（3）当﹣1＜x＜1时，求分式x4+3x2−2的最小值．
x2+1
【思路引领】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子
为整数）的和的形式；
（2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和
的形式，根据整除运算解答；
（3）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和
的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b
则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b
∵对于任意x上述等式成立，
{ a−1=6 )
∴ ，
−a+b=−3
{a=7)
解得 ，
b=4
x2+6x−3 4
拆分成x+7+ ，
x−1 x−14
故答案为：x+7+ ；
x−1
（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b
则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b
∵对于任意x上述等式成立，
{ a−6=5 )
，
−3a+b=−20
{a=11)
解得 ，
b=13
2x2+5x−20 13
拆分成2x+11+ ，
x−3 x−3
则满足条件的整数x＝4、16、2、﹣10，
故答案为：4、16、2、﹣10；
（3）由分母x2+1，可设x4+3x2﹣2＝（x2+1）（x2+a）+b
则x4+3x2﹣2＝（x2+1）（x2+a）+b＝x4+ax2+x2+a+b＝x4+（a+1）x2+a+b
∵对于任意x上述等式成立，
{ a+1=3 )
，
a+b=−2
{ a=2 )
解得， ，
b=−4
∴x4+3x2−2 4 ，
=x2+2−
x2+1 x2+1
当x＝0时，这两式之和最小，所以最小值为﹣2．
【总结提升】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法
是解题的关键．
技巧二 恒等变形
题型一 整体换元法恒等变形
1 1 1 10
典例3 （2021春•乐至县月考）如果 a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9， + + = ，则
a+b b+c c+a 9
a b c
+ + 的值为 ．
b+c c+a a+b
【思路引领】把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．
【解答】解：∵a+b+c＝9，∴a＝9﹣（b+c），b＝9﹣（a+c），c＝9﹣（a+b）
a b c
+ +
b+c c+a a+b
9−(b+c) 9−(c+a) 9−(a+b)
= + +
b+c c+a a+b
9 9 9
= −1+ −1+ −1
b+c c+a a+b
1 1 1
＝9（ + + ）﹣3
b+c c+a a+b
1 1 1 10
∵ + + = ，
a+b b+c c+a 9
10
∴原式＝9× −3
9
＝7．
故答案为7．
【总结提升】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及
针对训练
1 1 1
1．已知x+y+z＝0，求 + + 的值．
y2+z2−x2 z2+x2−y2 x2+ y2−z2
【思路引领】根据x+y+z＝0，可以得到x＝﹣y﹣z，y＝﹣x﹣z，z＝﹣x﹣y，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵x+y+z＝0，
∴x＝﹣y﹣z，y＝﹣x﹣z，z＝﹣x﹣y，
∴y2+z2﹣x2＝y2+z2﹣（﹣y﹣z）2＝﹣2yz，
同理可得：z2+x2﹣y2＝﹣2xz，x2+y2﹣z2＝﹣2xy，
1 1 1
∴ + +
y2+z2−x2 z2+x2−y2 x2+ y2−z2
1 1 1
= + +
−2yz −2xz −2xy
1 x+ y+z
=− ×
2 xyz
1 0
=− ×
2 xyz
＝0．
【总结提升】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是发现x、y、z的关系．题型二 利用分式的性质恒等变形
a b c
典例4（2020•浙江自主招生）已知：abc＝1，求 + + 的值．
ab+a+1 bc+b+1 ac+c+1
【思路引领】解决本题的关键是根据abc＝1的条件，将所求的代数式通分，然后进行分式的加减运算．
b ab b ab
= ，将abc＝1代入后，可得： = ；
bc+b+1 abc+ab+a bc+b+1 ab+a+1
c abc 1
同理，可知： = = ；由此，三个分式的分母都化成了ab+a+1，然后
ac+c+1 a2bc+abc+ab ab+a+1
根据分式的加减法运算规则进行计算即可．
【解答】解：∵abc＝1，
a ab abc
∴原式= + +
ab+a+1 abc+ba+a a2bc+abc+ab
a ab 1
= + +
ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1
ab+a+1
=
ab+a+1
＝1．
【总结提升】分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数
学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一
定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转
化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
针对训练
1 1 1
1．（2022秋•宣州区期末）设x，y，z为互不相等的非零实数，且x+ = y+ =z+ ．求证：x2y2z2＝1．
y z x
【思路引领】分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，即令x，y为互不相等
1 1 1 1 1 1
的非零实数，且x+ =y+ ，因为从x+ =y+ ，易推出x﹣y= − ，故有xy（x﹣y）＝y﹣x，又因
y x y x x y
y−x
为x≠y，所以xy= =−1，所以x2y2＝1．三元与二元的结构类似．
x−y
1 1 1
【解答】证明：由已知x+ = y+ =z+ 得出：
y z x
1 1
∵x+ =y+ ，
y z1 1
∴x﹣y= − ，
z y
y−z
x﹣y= ，
yz
y−z
∴yz= ，①
x−y
同理得出
z−x
zx= ，②
y−z
x−y
xy= ．③
z−x
①×②×③得x2y2z2＝1．
1 1 y−x
【总结提升】此题主要考查了分式的等式证明，由x+ =y+ 得出xy= =−1，即x2y2＝1，得出三
y x x−y
元的做法，运用这种欲进先退的解题策略探索解决这个问题比较简单．
第二部分 专题提优训练
4x+7
1．（2021春•镇海区期末）能使分式 值为整数的整数x有（ ）个．
2x−3
A．1 B．2 C．3 D．4
13 13
【思路引领】首先把分式转化为2+ ，则原式的值是整数，即可转化为讨论 的整数值有几
2x−3 2x−3
个的问题．
4x+7 4x−6 13 13
【解答】解： = + =2+ ，
2x−3 2x−3 2x−3 2x−3
4x+7
当2x﹣3＝±1或±13时， 是整数，即原式是整数．
2x−3
解得：x＝2或1或8或﹣5；4个，
故选：D．
【总结提升】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．
x2+3
2．（2021秋•召陵区期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则x的个数有（ ）
x+3
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路引领】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．x2+3
【解答】解：
x+3
x2−9+12
=
x+3
(x+3)(x−3)+12
=
x+3
12
＝x﹣3+ ，
x+3
∵x为非负整数，分式的结果为正整数，
∴x取值为0，1，3，9，
∴x的个数有4个，
故选：B．
【总结提升】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，
是解题的关键．
1 1 1 1 1 1
3．（2021秋•和平区期末）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（ + ）+b（ + ）+c（ + ）的值为（
b c a c a b
）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣3
a a b b c c
【思路引领】先利用乘法的分配律得到原式= + + + + + ，再把同分母相加，然后根据
b c a c a b
abc≠0且a+b+c＝0得到a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，把它们代入即可得到原式的值．
a a b b c c
【解答】解：原式= + + + + +
b c a c a b
a+c b+c a+b
= + +
b a c
∵abc≠0且a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，
∴原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故选：D．
【总结提升】本题考查了分式的化简求值：先把分式根据已知条件进行变形，然后利用整体代入的方法
进行化简、求值．
4 ． （ 2020• 浙 江 自 主 招 生 ） 如 果 a ， b ， c ， d 是 正 数 ， 且 满 足 a+b+c+d ＝ 2 ，1 1 1 1 d a b c
+ + + =4，那么 + + + 的值为（
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
）
1
A．1 B． C．0 D．4
2
1 1 1 1
【思路引领】根据a+b+c+d＝2， + + + =4，将所求式子变形，即可
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
求得所求式子的值，本题得以解决．
1 1 1 1
【解答】解：∵a+b+c+d＝2， + + + =4，
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
d a b c
∴ + + +
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
2−(a+b+c) 2−(b+c+d) 2−(a+c+d) 2−(a+b+d)
= + + +
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
2 2 2 2
= −1+ −1+ −1+ −1
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
1 1 1 1
＝2×（ + + + ）﹣4
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
＝2×4﹣4
＝8﹣4
＝4，
故选：D．
【总结提升】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
1 1 1
5．（2016春•拱墅区期中）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝8，那么 + + 的值是（ ）
a b c
A．正数 B．零
C．负数 D．正、负不能确定
1 1 1 ab+bc+ac
【思路引领】解题的关键是知道 + + = ，而在公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2
a b c abc
（ab+bc+ac）里有ab+bc+ac这一部分，利用相等关系，可求出ab+bc+ac的值，再在不等式左右同除以
1 1 1
abc的值，从而求 + + 的值．
a b c
【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＝8，
∴（a+b+c）2＝0，且a、b、c都不为0，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝0，
1
∴ab+bc+ac=− （a2+b2+c2），
2
又∵a、b、c都不为0，
∴a2+b2+c2＞0，
∴ab+bc+ac＜0，
又∵abc＝8＞0，
ab+bc+ac
∴ ＜0，
abc
1 1 1
∴ + + ＜0．
c a b
1 1 1
∴ + + 的值是负数．
a b c
故选：C．
【总结提升】本题利用了（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）公式，以及不等式的有关性质，此题较
难．
6．（2015春•嵊州市期末）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式−x4−x2+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
−x2+1
解：由于分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b
∴﹣x4﹣x2+3＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b∴﹣x4﹣x2+3＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
{a−1=1) {a=2)
∵对于任意x，上述等式均成立，∴ ∴
a+b=3 b=1
∴−x4−x2+3 (−x2+1)(x2+2)+1 (−x2+1)(x2+2) 1 x2+2 1
= = + = +
−x2+1 −x2+1 −x2+1 −x2+1 −x2+1
这样，分式−x4−x2+3被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 1 的和
−x2+1 −x2+1
阅读上面的材料后，请你解答下列问题
（1）将分式x4−4x2−4拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x2+1（2）试说明x4−4x2−4的最小值为﹣4．
x2+1
【思路引领】（1）仿照阅读材料中的方法求出a与b的值，即可得到结果；
（2）根据（1）的结果，利用基本不等式求出最小值为﹣4即可．
【解答】解：（1）设x4﹣4x2﹣4＝（x2+1）（x2+a）+b＝x4+（a+1）x2+a+b，
∴a+1＝﹣4，a+b＝﹣4，
解得：a＝﹣5，b＝1，
∴原式 (x2+1)(x2−5)+1 x2﹣5 1 ；
= = +
x2+1 x2+1
1 1
（2）∵原式＝x2﹣5+ =x2+1+ −6≥2﹣6＝﹣4，
x2+1 x2+1
∴原式的最小值为﹣4．
【总结提升】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（1）已知b2＝ac，求 a2b2c2 1 1 1 的值；
⋅( + + )
a3+b3+c3 a3 b3 c3
x y z x2 y2 z2
（2）已知x、y、z满足 + + =1，求代数式 + + 的值．
y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
【思路引领】（1）先把分式化简，再代入求值即可；
x y z x2 xy yz
（2）由已知可得 =1− − ，则 =x− − ，同理求得所求代数式中的后两
y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
个式子的表达式，相加并化简即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 原 式
a2b2c2 b3c3+a3c3+a3b3 1 b3c3+a3b3+a3c3 b3 (a3+b3+c3 ) b2 ，
= ⋅ = ⋅ = =
a3+b3+c3 a3b3c3 a3+b3+c3 abc (a3+b3+c3 )abc ac
∵b2＝ac，
∴原式＝1；
x y z
（2）由已知可得 =1− − ，
y+z z+x x+ y
x2 xy xz
则 =x− − ①，
y+z z+x x+ yy2 xy yz z2 xz yz
同理 = y− − ②， =z− − ③，
z+x y+z x+ y x+ y y+z z+x
①+②+③得
x2 y2 z2 xy+ yz xz+xy xz+ yz
+ + =（x+y+z）− − − =x+y+z﹣y﹣x﹣z＝0．
y+z z+x x+ y z+x y+z x+ y
【总结提升】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．
此题难度较大．
8．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可
x2+4x
以拆分成整式与分式和的形式，例如将 拆分成整式与分式：
x+1
x2+2x+1+2x+2−3 (x+1) 2+2(x+1)−3 3 3
方法一：原式= = =x+1+2− =x+3− ；
x+1 x+1 x+1 x+1
(t−1) 2+4(t−1) t2+2t−3 3 3
方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式= = =t+2− =x+3− ．
t t t x+1
根据上述方法，解决下列问题：
5x+8 5x+8 2
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式和的形式，得 = 5− ；
x+2 x+2 x+2
x2+6x+1
（2）任选上述一种方法，将 拆分成整式与分式和的形式；
x−1
x2−5x+11
（3）已知分式 与x的值都是整数，求x的值．
x−4
【思路引领】（1）根据题中所给的方法，将5x+8写成5（x+2）﹣2后，可解决问题．
（2）根据题中所给的方法，将分子写成（x﹣1）2+8（x﹣1）+8，可解决问题．
（3）将所给分式拆分成整式与分式和的形式后，再由x的值及分式的值都是整数，分类讨论即可．
【解答】解：（1）由题知，
5x+8 5(x+2)−2 2
= =5− ，
x+2 x+2 x+2
2
故答案为：5− ．
x+2
（2）选择方法一：
x2−2x+1+8x (x−1) 2+8(x−1)+8 8 8
原式= = =(x−1)+8+ =x+7+ ．
x−1 x−1 x−1 x−1
选择方法二：
设 x﹣ 1 ＝ t ， 则 x ＝ t+1 ， 则 原 式(t+1) 2+6(t+1)+1 t2+8t+8 8 8 8
= = =t+8+ =x−1+8+ =x+7+ ．
t t t x−1 x−1
（3）由题知，
x2−16x+16+11x−5 (x−4) 2+11(x−4)+39 39 39
原式= = =x−4+11+ =x+7+ ．
x−4 x−4 x−4 x−4
又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，
当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；
当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；
当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；
当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；
综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．
【总结提升】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的
形式．
