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第十五章 分式 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，当一个分式的分子与分母只有公因数1时， 这个分式被称为最简分
式，由最简分式的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】A． ，故不是最简分式，不符合题意；
B． ，故不是最简分式，不符合题意；
C． 故不是最简分式，不符合题意；
D． 是最简分式，符合题意；
故选：D．
2．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4
个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做 个盒子，根
据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做 个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每
小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做 个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，
列出方程 即可．
【详解】解：设乙每小时做 个盒子，则甲每小时做 个盒子，由题意得： ，
故选：C．
3．（20-21八年级上·北京·期中）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，改变分子、分母、分式本身三者中两个的符号，
原分式的值不变，即可判断．
【详解】解：A、 ，故变形正确，符合题意；
B、 ，故变形不正确，不符合题意；
C、 ，故变形不正确，不符合题意；
D、 ，故变形不正确，不符合题意；
故选：A．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式 的值为零，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为 的条件，分式的值为 的条件是分子为 且分母不为 ．
先根据分式的值为 的条件，列出关于 的不等式组，求出 的值即可．
【详解】解：∵分式 的值为 ，
，
解得 ，故选：C．
5．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程 与方程 的解相同，则m的值
为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程 的解，把解代入分式方程
求出m即可．
【详解】解：解方程 ，
得， ，
经检验 是方程 的解，
把 代入方程 ，
得， ，
故选：A．
6．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程
两边乘 ，化为整式方程，求出 ，再根据解是正数得到 且 ，即可求解．
【详解】解：方程两边乘 ，得 ，
解得： ，
方程 的解是正数，
且 ，
解得： 且 ，
故选：D．7．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息， 可能为（ ）
0 1 2
无意
0
义
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据
分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【详解】解： 当 时，分式无意义，
分式的分母可能是 ．
当 时，分式的值为0，
分式的分子可能是 ．
分式可能是 ．
故选：C．
8．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如果 ，那么代数式 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
原式 ；
故选：B
9．（24-25九年级上·四川成都·期中）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法
中的 法就应用了黄金分割数． 设 ， ，得 ，记 （ 取
正整数）， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键， 化简为
，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的分式方程 的解满足 ，
且 为整数，则符合条件的所有 值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方．首先解分式方程可得 ，再根据分式方程
的解满足 ，可得 的取值范围，再根据 为整数，确定 的值的情况，再根据 的取值情况判断
乘积的正负性．
【详解】解：解关于 的分式方程 ，
去分母得： ，移项得： ，
提公因式得： ，
去括号、合并同类项得： ，
整理得: ，
，
，
，
，
，
又 ，
和 ，
和 ，
为整数且 ，
和 ，
中符合条件的 值共有 个负数和19个正数，
符合条件的所有 值的乘积为正数．
故选：A．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在 ， ， ， ， 中，属于分式的有 个．
【答案】2
【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关．
本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．【详解】解：根据题意，得是分式的是 ，共有2个，
故答案为：2．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程 的解与方程 的解相同，则
．
【答案】2
【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可．
【详解】解：方程 ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
把 代入得： ，
去分母整理得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故答案为：2．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式方程 的解为正整数，则整数 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求出参数，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方
程的解为正整数，列出关于 的方程，解方程求出 ，再判断分式方程有无意义，从而求出答案即可，正
确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以 得， ，
，
分式方程的解为正整数， 为整数，
或3，
解得 或1，当 时，x=1，此时 ，分式方程无意义，
，
整数 的值为 ，
故答案为： ．
14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方
法计算．已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可．
【详解】解： ∵
∴ ；
化简得： ；
所以 ，
故答案为：3
15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用关系式 是解题的关键．
根据 ，把已知条件代入可得结果．
【详解】解： ，
又 ，
，．
故答案为：
16．（21-22八年级下·湖南衡阳·期末）若关于 的方程 无解，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合
并同类项及系数化为1得到 ，再由分式方程无解得到 ，确定关于 的方程求解即可得到答案，
熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ，
关于 的方程 无解，
，即 ，则 ，
解得 ，
故答案为： ．
17．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组 至少有一个整数
解，且关于y的分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程的、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程成为解题的关键．先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组至少有一个整数解，确定a的取值范围 ，再把分
式方程去分母转化为整式方程解得 ，由分式方程的解为正数，确定a的取值范围 且 ，
进而得到 且 ，根据范围确定出a的取值，最后相加即可解答．
【详解】
解： ，
解①得： ，
解②得： ，
∵关于 的一元一次不等式组至少有一个整数解，
，解得： ， ，
，
，
，
，
∵关于y的分式方程的解为正数，
∴ 且 ，解得 且 ，
∴ 且 ，
∴所有满足条件的整a的值之和是 ．
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数 ， ，且 ，
， ， ，依次类推，若 ，用含 （ 为正整数）的式子表示 ，则 ．
【答案】【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得 ，据此即可求解，通过计算
找到数字的变化规律是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算；
（1）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
20．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)分式方程无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系
数化为1求解后，验根即可得到答案．
（1）先去分母，再去括号，合并同类项，移项即可得到答案，注意分式方程需要验根；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1即可得到答案，注意分式方程需要验根．
【详解】（1）解： ，
方程两边同时乘以 得 ，
去括号得 ，合并同类项得 ，
，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ；
（2）解： ，
方程两边同时乘以 得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ，
检验：当 时， ，即 是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
21．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，请从2，0， ，4中选
择一个合适的数代入求值．
【答案】
【分析】根据分式混合运算的法则，先化简，根据分式有意义的条件， 的值只能取4，代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，取合适的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
【详解】解：
．
∵ ， ，∴ ， ，
依题意，把 代入 ，
得 ．
22．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）老师在黑板上写了一道练习题，却被珍珍不小心擦掉了一部分，保
留的部分题目如下：
已知 为绝对值小于3的整数，请先化简 ，再求值．
若化简后的结果为 ．
(1)求出珍珍擦掉的式子．
(2)求出符合要求的 值，并代入化简后的结果求值．
【答案】(1)
(2) 或 ； 或
【分析】本题考查了分式的运算、分式有意义的条件，准确进行分式计算并熟知分式有意义的条件是分母
不能为0是解题关键．
（1）根据题意先计算出 ，即可列出被擦掉的部分的代数式，化简即可；
（2）先根据题意求出x的值，根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】（1）解： ，
珍珍擦掉的式子为 ．
（2）解：要使原式 有意义，需保证所有的分母（包括除式的分子）都不等于0，
即 ，且 ，则 且 且 ，
为绝对值小于3的整数，
，
或 ．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
综上所述，原式的值为 或 ．
23．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工
程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数
是甲工程队的 倍，若甲、乙两个工程队合作 天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要 天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天?
(2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是 元，乙工程队每天的施工费用是 元，为了尽可能缩短
施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少?
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要 天，乙工程队单独完成此项工程需要 天
(2)打通这条隧道的施工费用是 元
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用；
（1）设甲工程队单独完成此项工程需要 天，根据“甲、乙两个工程队合作 天，余下的任务甲工程队
单独完成仍需要 天”列分式方程求解即可；
（2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可
得到答案．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要 天，
可得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
天，
所以，甲工程队单独完成此项工程需要 天，乙工程队单独完成此项工程需要 天．
（2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为： 天，（元），
所以打通这条隧道的施工费用是 元．
24．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读材料：
通过小学的学习，我们知道， ，
在分式中，类似地， ．
探索：
（1）如果 ，则 ；如果 ，则 ；
总结：
（2）如果 （其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】（1）1； ；（2） ；（3） 或 或2或
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可．
【详解】解：（1）∵
又 ，
∴ ；
∵，
又 ，
∴ ，
故答案为：1； ；
（2）∵
，
又 ，
∴ ；
（3）
，
∵ 的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴ 或 ，
∴ 或 或2或 ．
25．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究
我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”．
例： 为“十字分式方程”，可化为 ．为“十字分式方程” 可化为 ．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若 为“十字分式方程”，则 ______； ______．
(2)若十字分式方程， 的两个解分别为 求 的值；
(3)若关于x的“十字分式方程” 的两个解分别为 ， （ ，且
），求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)2024
【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分
解的应用等知识．
（1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解；
（2）结合运用“十字分式方程”得到 ， ，将 变形为 ，整体代入即
可求解；
（3）将原方程变形为 ，结合运用“十字分式方程”得到
， ，代入 即可求解．
【详解】（1）解： 可化为 ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：由已知得 ， ，∴ ；
（3）解：原方程变为 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
26．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】
已知 ， ，分式 的分子、分母都加上 后，所得分式 的值与 相比是增大了还是减小
了？
【观察发现】
观察下列式子： 对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大
于0的数 时，所得分数的值变大，即 ．
【探究验证】
（1）对于 ，我们可以用“作差法”进行证明：
．
，
， ．
，即 ．；
（2）由（1）我们可猜想 与 的大小关系是： _____ ，请你用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若 ， 时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子；
【方法应用】
（4）已知甲、乙两船同时从 港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为 、 ，水流速度为
，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为 、 ，请比较 ，
的大小，判断哪条船先返回 港？并说明理由．
【答案】（2） ，见解析；（3）不成立，正确的应该是 ；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，
当返回为逆水时，甲船先返回，见解析
【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解
题是关键．
（2）根据作差法求解即可；
（3）根据作差法求解即可；
（4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出 ，即可求解．
【详解】解：（2） ，理由如下：
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（3）不成立，正确的应该是 ．理由如下：根据（2）可得 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（4）当返回为顺水时， ， ．
，
∵ ，
∴ ，即 ．
当返回为逆水时， ， ．∵ ，
∴ ，即 ．
所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回．
