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专题 15.5 分式（4 大知识点 16 类题型）（全章知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】分式的有关概念及性质
1．分式
A
B
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，B
叫做分母.
【要点提示】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式
A
B
才有意义.
2. 分式的基本性质
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【知识点2】分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形
叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母
的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b ab
c c c
；
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.a c ac
（2）乘法运算 ，其中 是整式， .
b d bd a、b、c、d bd 0
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
a c a d ad
（3）除法运算 ，其中 是整式， .
b d b c bc a、b、c、d bcd 0
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【知识点3】分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知
数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适
合原方程的根---增根.
【要点提示】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带
入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
【知识点4】分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关
系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确
列出方程，并进行求解.
知识点与题型目录
【知识点一】分式的有关概念与性质
【题型1】分式的意义与分式的值...............................................3
【题型2】分式的基本性质.....................................................5【题型3】最简分式与约分.....................................................7
【知识点二】分式的运算
【题型4】最简公分母.........................................................8
【题型5】约分与通分.........................................................9
【题型6】分式的乘除运算....................................................10
【题型7】分式的加减运算....................................................12
【题型8】分式的加减乘除混合运算............................................13
【题型9】分式的化简求值....................................................15
【题型10】整数指数幂.......................................................18
【知识点三】分式方程
【题型11】解分式方程.......................................................19
【题型12】分式方程的增根与无解.............................................10
【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围...............................22
【知识点四】分式方程的应用
【题型14】列分式方程解应用题...............................................24
【知识点五】直通中考与拓展延伸
【题型15】直通中考.........................................................26
【题型16】拓展延伸.........................................................28
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】分式的意义与分式的值
【例1】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知 ，x取哪些值时：
(1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数；
【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、
值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键．
（1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0；
（2）分式的分母为0时，分式无意义；
（3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数；
解：（1）当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0，所以 ，解得 ，
此时 ，所以当 时，y的值为0；
（2）当分母为0时，分式无意义，则 时，即 时分式无意义；
（3）因为y的值为正数，所以可得：① 或② ，
解①得 ，此时无解，解②得 ，解为 ，
∴当 时，y的值为正数．
【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知： （ 、 、 均不为零），则
．
14 5
【答案】 /1
9 9
【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设 ， ， ，将其代入所求式子，计算即
可．解此类题可根据分式的基本性质先用未知数 表示出 ， ， ，再代入计算．
解： （ ， ， 均不为零），
设 ，则 ， ，
．
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】C
【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是
解题的关键；
解：根据题意得： ， ，解得： 且 ，
故选：C
【变式3】（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当 时， 无意义
B．当 时， 无意义
C．当 时， 的值为0
D．当 时， 的值为负数
【答案】A
【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式
的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可．
解：A、当 时， 无意义，符合题意；
B、当x=0时， 无意义，不符合题意；
C、当 时， 的值不存在，不符合题意；
D、当 时， 的值为正数，不符合题意．
故选：A．
【题型2】分式的基本性质
【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产
生了激烈的争论：
① ，② ．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
【答案】两人的说法都是错的，见解析
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分
式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可．解：他们两人的说法都是错的．
①式是对的，
左边的分式是一定有意义的，
，
分式的分子、分母同时除以 ，分式的值不变．
②式是错的，
分式的分子、分母同时乘 ，这里的 有可能为 ，
分式的值可能改变．
【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式 中的 ， 的值都扩大为原来的3倍，则分
式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
【答案】B
【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值
的变化是解题的关键．
根据 判断作答即可．
解：分式 中的 ， 的值都扩大为原来的3倍得， ，
∴分式的值不变，
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】先整理 得 ，即 ，因式分解，得
，则 或 ，再代入代数式中可求值．利用因式分解对所给条件化简，再代入求值．
解：由 ，得
即 ，
或 ，
当 时， ，
则 ；
当 时， ，则 的分母为0 ，故舍去，
故答案为： ．
【题型3】最简分式与约分
【例3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法．
（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；
（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．
解：（1） ；
（2） ．
【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列是最简分式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了最简分式的判断、分式的化简等知识.把分式化简后根据最简分式的定义进行判断即
可.
解：A. ，故选项不是最简分式，不合题意；
B. ，选项是最简分式，符合题意；
C. ，故选项不是最简分式，不合题意；
D. ，故选项不是最简分式，不合题意；
故选：B
【变式2】（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式 时得到的结果为 ，则？部分的
代数式应该是 ．
【答案】
【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关
键．
解：根据题意可得： ，
，
，
∴ ，
故答案为： ．【题型4】最简公分母
【例4】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ， 的最简公分母是
【答案】ab(a+b)(a-2b)
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连
同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母
即可求出答案．
解：分式 ， ， 的分母依次为： ， ，
故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)
故答案为：ab(a+b)(a-2b)
【点拨】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分
母的方法一定要掌握．
【变式】把分式 ， ， 通分，下列结论不正确的是（ ）
A．最简公分母是 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的
所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案
即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的
分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高
次幂的积作最简公分母．
解：A、最简公分母为 ，故A正确，不符合题意；B、根据分数的基本性质， ，故B正确，不符合题意；
C、根据分数的基本性质， ，故C正确，不符合题意；
D、根据分数的基本性质， ，故D错误，符合题意，
故选：D．
【题型5】约分与通分
【例5】（23-24八年级下·江苏南京·期中）
（1）通分： 和 ； （2）约分：
【答案】（1） ； ；（2）
【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母
的公因式．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
解：（1） ；
（2）原式 ．
【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于 成立，则A=
,B= ．
【答案】 5 2
【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果.
解：∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 .
【点拨】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元
一次方程组解法是解题的关键.
【变式2】计算： .
【答案】
【分析】本题是三个包含未知数的分数方程求和，需要先将三个分式的分母利用十字交叉法化为两个因
式的乘积，最后在将三个分式进行通分，化简后得出答案.
解：
【点拨】本题考查分式的混合运算.
【题型6】分式的乘除运算
【例6】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．【答案】(1) ； (2) ．
【分析】（ ）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（ ）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
解：（1）
；
（2）
．
【变式1】（2024·河北邢台·模拟预测）化简 ，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果．
解：；
故选：D．
【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）
．
【答案】－1
【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关
键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可．
解：
．
故答案为： ．
【题型7】分式的加减运算
【例7】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2) ．
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可．解：（1）
；
（2）
．
【变式1】（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算 的正确结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减法，即可得到答案．
解：
=
=
= ；故选：B．
【点拨】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
【变式2】（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式： ， ， ，
…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）．
【答案】
【分析】先根据已知等式归纳类推出 ，再代入计算即可得．
解：由题意，归纳类推得： ，
则
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出 是解题关键．
【题型8】分式的加减乘除混合运算
【例8】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算：
(1) ； (2)【答案】(1)2 (2)
【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键：
（1）先进行乘法运算，再进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号内，再把除法变乘法，进行计算即可．
解：（1）原式
（2）原式
．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子 的值为负整数，则 的
取值为（ ）
A．1或2 B．2或3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，
再由分式的值为负整数，可得 或 ，从而可得答案．
解：；
∵分式的值为负整数，
或 ，
则 或3．
故选：B
【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知实数 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意得： ， ，代入原式后化简即可求解．
解：根据题意得： ，
∵ ，
∴代入 到上式，即原式 ，
，
，
，
故答案为： ．
【题型9】分式的化简求值
【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题(1)先化简 ，再从 ，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
(2)先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．
【答案】(1) ，当 时，原式 ； (2) ， ．
【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解
题的关键
（1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的 值代入计算
即可；
（2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减
法，约分得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值．
解：（1）原式
， 即
当 时，原式 ；
（2）原式=，
原式
．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的不等式组 的整数解仅为 ，若
为整数，则代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到
，再根据不等式组的整数解仅为 得到 ，再把原分式化简，最后代值计算即可．
解：解不等式组 得 ．
∵不等式组的整数解仅为1，2，3，且 为整数，
∴ ，
∴ ．
当 时，原式 ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的 法就应用了黄金分割数． 设 ， ，得 ，记
（ 取正整数）， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键， 化简为
，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题．
解：
，
，
，故选：C．
【题型10】整数指数幂
【例10】（2024·云南昆明·模拟预测）计算：
【答案】4
【分析】本题考查有理数的乘方，开方和去绝对值以及负整数指数幂、零次幂的运算．先进行乘方，开
方和去绝对值以及负整数指数幂、零次幂的运算，再进行加减运算．
解：
．
【变式1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和同底数幂的乘法，根据运算法则逐项分析计算即可．
解：A、 ，故该选项正确；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项错误；
D、 ，故该选项错误，
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式 ，其中 的值是 ．【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行
分类讨论即可．
解：当 时， ，解得 ；
②当 时， ；
当 为偶数时， ，解得 ．
故答案为： 或 或 ．
【题型11】解分式方程
【例11】（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1)无解 (2)
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握分式方程的运算法则是解题的关键．
（1）根据分式方程的运算法则进行运算即可；（2）根据分式方程的运算法则进行运算即可；
解：（1）
解：整理可得： ，
所有项同乘 可得： ，
移项可得： ，
合并可得： ，
系数化为 可得： ，
检验：把 代入 可得： ，
∴此方程无解；
（2）
解：整理可得： ，
所有项同乘 可得： ，移项可得： ，
合并可得： ，
系数化为 可得： ，
检验：把 代入 可得： ，
∴ 是原方程的解．
【变式1】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程 ，且关于x的不等式组
只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先解分式方程，得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
解：解方程 ，得 ，
经检验， 是该分式方程的解，
∵关于x的不等式组 ，即 只有2个整数解，
∴ ．
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解
进行检验即可得．
根据分式方程的计算步骤求解即可；
解：
去分母得： ，
移项：
合并同类项：解得：
当 时， ，
故答案为：
【题型12】分式方程的增根与无解
【例12】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x的分式方程
(1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值．
【答案】(1) 或 (2) 或 或
【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增根的
条件可得增根为 或 ，即可求解；
（2）由（1）可知，当 或 时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得当
时，x无意义即无解，即可求解．
解：（1）化成整式方程得， ，
即 ，
若该方程有增根，则增根为 或 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上，当 或 时，该方程有增根；
（2）由（1）可知，当 或 时，该方程有增根，即无解，
去分母后的整式方程为： ，
当 时，即 时，x无意义即无解，
综上知：若原分式方程无解，则 或 或 ．【变式1】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根的定义可得出 ，然后去分母得出：
，把 代入得，即可得出m的值．
解：∵分式方程 有增根，
∴ ，
原方程去分母可得： ，
把 代入可得： ，
解得： ．
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的方程．
（1）若方程有增根，则 的值为 ，方程的增根为 ；
（2）若方程无解，则 的值为 ．
【答案】 0 0或2
【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键．
（1）根据分式方程有增根的情况求解即可；
（2）根据分式方程无解的情况求解即可．
解：（1）去分母得， ，
方程有增根，
或 ，
当 时， ；当 时，整式方程无解，
方程的增根为 ， 的值为0，
故答案为：0； ；
（2） 关于 的方程 无解，
整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解．， ，
当整式方程的解是分式方程的增根时， 或 ，
当 时， ，当 时，整式方程无解，
当整式方程无解时， ，
，故分式方程无解时 的值为0或2，
故答案为：0或2．
【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围
【例13】（24-25八年级上·全国·单元测试）当 为何值时，关于 的方程 的解小于
零．
【答案】 且 ．
【分析】本题考查了分式方程的解，要注意分式方程的解不能使最简公分母等于0．方程两边都乘以
把分式方程化为整式方程，求解，再根据解小于0列出不等式，然后求解即可．
解：方程两边都乘以 去分母得，
，
整理得， ，
解得 ，
方程的解小于零，
且 ，
解得 且 ．
【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件
是正确解答的前提．
先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围．
解：关于x的分式方程 化为整式方程得， ，
解得 ，
由于分式方程的解为正数，
所以 ，即 ，
又∵ ， ，
解得： ，
∴
∴
∴m的取值范围为 且 ，
故选：D．
【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于 的分式方程 的解为非负数，则
的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用 表示出 的值是解题的关键．先
解分式方程，利用 表示出 的值，再由 为正数求出 的取值范围即可．
解：方程两边同时乘以 得：
，
解得： ，
∵x为非负数，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴m的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【题型14】列分式方程解应用题
【例14】（24-25八年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱
国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平
均速度各是多少？
（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，
付乙工程队工程款 万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【答案】（1）40，60（2）方案C
【分析】本题考查分式方程的应用．
（1）根据“大巴车行驶全程所需时间 小车行驶全程所需时间 小车晚出发的时间 小车早到的时间”
列分式方程求解可得；
（2）设甲单独完成这一工程需 天，则乙单独完成这一工程需 天．根据方案 ，可列方程得
，解方程即可解决问题．
解：（1）设大巴的平均速度为 公里 小时，则小车的平均速度为 公里 小时，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
，
答：大巴的平均速度为40公里 小时，小车的平均速度为60公里 小时；
（2）设甲单独完成这一工程需 天，则乙单独完成这一工程需 天．
根据方案 ，可列方程得 ，
解这个方程得 ，
经检验： 是所列方程的根．
即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天．
所以 方案的工程款为 （万元），
方案的工程款为 （万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选，
方案的工程款为 （万元），∵ ，
∴在不耽误工期的前提下，选择 方案最节省工程款．
【变式1】开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B
品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A
品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的应用，确定等量关系具体化即可．
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
解：设A品牌足球单价为x元，根据题意，得 ．
故选C．
【变式2】（23-24八年级下·全国·阶段练习）某企业接到一批生产甲种板材 、乙种板材
的订单．已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材 或乙种板材
，则应安排 人生产甲种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务．
【答案】80
【分析】本题考查了分式方程的应用，设安排x人生产甲种板材，则安排 人生产乙种板材，根据
“他们用相同的时间完成各自的生产任务”列方程求解即可．
解：设安排x人生产甲种板材，则安排 人生产乙种板材，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴安排80人生产甲种板材，
故答案为：80．第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型15】直通中考
【例1】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是
我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、
左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，
求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出 的长，列出分式方程，进行求解即可．
解：由题意，得： ， ，
∵ 与 的比是 ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是 ．
【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排
放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前
15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所
有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米
(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）设原计划每天铺设管道 米，则实际施工每天铺设管道 ，根据原计划的时间 实际的时间
+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排 名工人施工，根据工作时间=工作总量 工作效率计算出原计划的工作天数，
进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解
集，找出解集中的最大整数解即可．
解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道 米，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，且符合题意，
∴ ，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工， （天），
根据题意得： ，
解得： ，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
【题型16】拓展延伸
【例1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有
相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方
程”．
(1)判断方程 与 是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)是，理由见解析 (2) 或
【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练
掌握相关性质内容，是解题的关键．（1）先分别算出方程 与 的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答．
（2）因为关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，所以 ，整理
得 ，结合x，y，m均为整数，则 ，因为m为正整数，
据此即可作答．
解：（1）方程 与方程 是“相似方程”，理由如下：
解方程 得
，
解方程 得
，
检验： 是该分式方程得解．
∴方程 与方程 是“相似方程”
（2）∵ 和 是“相伴方程”．
∴
∵x，y，m均为整数，
∴ ，
∴ ，
又∵m为正整数
∴ 或
【例2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【问题提出】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，
即要比较M与N的大小，只要作出它们的差 ．
（i）若 ，则 ；（ii）若 ，则 ；（iii）若 ，则 ；【尝试应用】
（1）比较图中两个长方形周长的大小 ；
（2）若 ， ，且 ，试比较代数式 与 的大小，
【联系生活】
（3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度 匀速跑，后半程以速度 为速跑 ．乙同学前一
半时间以速度 匀速跑，后一半时间以速度 匀速跑，请问谁先到达终点？
【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2） ；（3）乙先到
达终点．
【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小；
（2）运用“作差法”计算 ，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式
分解，最后得到根据 ， ， 得到 ，即可解答；
（3）先计算甲同学所需时间： ，乙同学所需时间为 ，再计算
，根据 ， ， 得到 ，即可得到
，从而解答．
解：（1）第一个长方形的周长为： ，
第二个长方形的周长为： ，∵
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；（3）甲同学所需时间： ，
设乙同学所需时间为x，则 ，
解得： ，
即乙同学所需时间为 ，
∵
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴乙先到达终点．
【点拨】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，
判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键．
