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第十五章 分式 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列各式： ， ， ， ，其中分式有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式；判断分式的依
据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式；
【详解】是分式的只有：
故选：A．
2．（2023上·河北石家庄·八年级校联考期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质和变形判断即可．本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的分子与分母
同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
【详解】解：A．若 ，则 或 ，故本选项不一定正确，故不符合题意；
B． ，本选项正确，故符合题意；
C． 不一定成立，故不符合题意；
D． ， 故选项错误，故不符合题意；
故选：B．
3．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）下列关于分式的判断，正确的是（ ）A．当 时， 的值为0
B．当 时， 有意义
C．无论 为何值， 不可能是整数
D．无论 为何值， 的值总为正数
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的定义，分式有意义的条件，注意分式的值是正数的条件
是分子、分母同号，值是负数的条件是分子、分母异号．根据性质解题即可．
【详解】A. 当 ，即 时， 的值为0，故选项错误；
B. 当 时， 有意义，故选项错误
C. 当 时， 是整数，故选项错误；
D. 无论 为何值， ，即 的值总为正数，故选项正确；
故选D．
4．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）伴随2023城市自然行动——“1864大熊猫巡展”在长沙站的
正式启动，湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校 的湖南省地
质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已
知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为 ，则可列方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实际问题抽象出分式方程，首先表示出汽车的速度，然后根据汽车行驶的时间等于骑
车行驶的时间减去时间差列方程即可，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关键．
【详解】设骑车学生的速度为 ，则汽车的速度为 ，根据题意得：
，故选：D．
5．（2023上·吉林·八年级校考期中）若 ，那么 代表的整式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的计算．用 除以 即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 代表的整式是 ，
故选：B．
6．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）分式 中的x，y的值都扩大到原来的10倍，则分式的值
为（ ）
A．扩大为原来10倍 B．不变
C．缩小为原来的 倍 D．缩小为原来的 倍
【答案】C
【分析】本题考查利用分式的性质判断分式值的变化，利用分式的性质即可求解．
【详解】解：将 的值均扩大为原来的10倍后：
故分式的值缩小为原来的 ．
故选：C．
7．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）嘉淇解分式方程 的过程如下：
解：去分母，得 ①
去括号，得 ②
移项、合并同类项，得 ③
因为 时，各分母均不为0，所以，原分式方程的解是 ． ④
以上步骤中，最开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．熟练掌握分式方程的解法
是解本题的关键．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
因为 时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是 ．
所以以上步骤中，最开始出错的一步是②．
故选：B．
8．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把 转化成关于 的不等式，求
得 的取值范围，注意 ．
【详解】方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
方程的解是正数，
且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
9．（2023上·辽宁营口·八年级统考期中）如图所示，一个大长方形被两条线段 、 分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了列代数式，分式的化简，根据图列出代数式，再根据分式的性质化简即可．
设图形Ⅰ长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b；则图形Ⅱ长为 ，宽为y；图形Ⅲ长为 ，宽
为 ；有阴影部分的矩形长为x，宽为 ，面积为z；根据等高不同底的面积比求解即可．
【详解】解：设图形Ⅰ长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b；则图形Ⅱ长为 ，宽为y；图形Ⅲ长
为 ，宽为 ；有阴影部分的矩形长为x，宽为 ，面积为z；
∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：C．10．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）若关于的不等式组 无解，且关于 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数 的值为（ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定 的
取值，进而解决此题．
【详解】解不等式组 ，得 ，
不等式组无解，
，
，
分式方程 ，
方程的两边同时乘 ，
得， ，
整理得， ，
，
方程有整数解，
或 或 或 ，
或 或 或 或 或 或 或 ，
， ，
，
或 或 ，
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023上·上海闵行·九年级校联考期中）如果 ，那么 ．【答案】
【分析】本题考查了分式化简求值，根据 ，得到 ，将 代入 求解即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
12．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）分式 与 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了
分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可．
【详解】解： ，
∴分式 与 的最简公分母是 ，
故答案为： ．
13．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）分式 值为0， ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，熟练地掌握“分式值为0，则分子 ，分母 ”是解题的
关键．
【详解】解：分式 值为0，
则 ， ，
可解得 ，
故答案为：4．14．（2023上·山东威海·八年级统考期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】取原式两边的倒数，可得 ，再取分式的倒数并变形得：
，最后代入求值即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运
算法则是解答此题的关键．
【详解】解：由 得 ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（2023上·山东淄博·八年级校考期中）已知小明上学时，走上坡路，速度为m千米/时；放学回家时，
沿原路返回，速度为n千米/时，则小明上学和放学时的平均速度为 ．
【答案】 千米/时
【分析】本题主要考查了分式除法的应用，设路程为S，根据时间 路程 速度，求出小明上学和放学的总
时间，进而用总路程除以总时间即可求出平均速度．
【详解】解：设路程为S，
∵小明上学时，走上坡路，速度为m千米/时，
∴小明上学的时间为 小时，
∵放学回家时，沿原路返回，速度为n千米/时，
∴小明放学回家的时间为 小时，∴小明上学和放学时的平均速度为 千米/时，
故答案为： 千米/时．
16．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）有一个运算程序，运算的过程如下：
则第 次运算的结果 .（用含有x和n的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，把 代入确定出 ，把 代入确定出 ，依此类推得到一般性规
律，即可确定出第n次运算结果．
【详解】解：将 代入 ，得： ，
同理，将 代入 ，得： ，
将 代入 ，得： ，
……
以此类推，可得 ，
故答案为： ．
17．（2023上·重庆南川·九年级校联考期中）已知关于 的分式方程 的解为整数，且关于的不等式组 恰好有 个整数解，则符合条件的整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，先解分式方程，再由 ，确定 是 的
倍数且 ，再解一元一次不等式组得到 ，求出 的范围，然后求出同时符合分式方程
和一元一次不等式的 的值，最后相加即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意
增根的情况是解题的关键．
【详解】解： ，
，
∴ ，
∵方程的解为整数，
∴ 是 的倍数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由
由 得 ，
由 得 ，
∵不等式组恰好有 个整数解，
∴ ，解得 ，
∴符合 的值有 和 ，故符合条件的整数 的和为 ，
故答案为： ．
18．（2023上·福建泉州·八年级泉州市城东中学校考期中）已知 都为正数， ，， ， ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，分式求值，代数式求值．运用整体的思想是解题的关键．
将每个等式的左右两边相乘得， ，解得 ，由 ，解得 ，同理
可得， ， ， ， ， ，然后代入求解即可．
【详解】解：将每个等式的左右两边相乘得， ，即 ，
∵ 都为正数，
∴ ，
∵ ，解得 ，
同理可得， ， ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2021上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得： ，
去括号得： ，解得： ，
经检验： 是原方程的解；
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
20．（2023·广东深圳·校考模拟预测）先化简，再求值： ，请从 、 、0、1、
2中选择一个合适的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ；当 时，原式
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式 ，
然后根据分式有意义的条件把 代入计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴当 时，原式 ．
或当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
21．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）直接约分即可求解；
（2）对分子、分母因式分解，再约分即可求解；
（3）先乘方，再约分即可求解；
（4）对分子、分母因式分解，除法运算转化成乘法运算，再约分即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
22．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B
两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24
万元购买B型充电桩的数量相等.求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元?
【答案】A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价 万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万元
购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得
出A型充电桩的单价，再将其代入 中，即可求出B型充电桩的单价．
【详解】解：设B型充电桩的单价为 万元，
则A型充电桩的单价为 万元.由由题意得：
解得
经检验： 是原分式方程的解， .
答：则A型充电桩的单价为0.9万元，
则B型充电桩的单价为1.2万元；
23．（2023上·河北石家庄·八年级校联考期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品
的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和
15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场至
少购进乙种商品多少个？
【答案】(1)每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元
(2)该商场至少购进乙种商品24个
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设每个甲商品的进价为 元，则乙商品的进价为 元，根据用80元购进甲商品的数量与用100
元购进乙商品的数量相同，列出方程求解即可；
（2）设商场购进乙种商品 个，则购进甲商品的数量为 个，根据销售两种商品的总利润超过380
元，列出不等式进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每个甲商品的进价为 元，则乙商品的进价为 元，由题意，得： ，
解得： ，经检验 是原方程的解；
∴ ；
答：每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元；
（2）设商场购进乙种商品 个，则购进甲商品的数量为 个，由题意，得：
，解得： ，
∴ 的最小整数值为： ，
答：该商场至少购进乙种商品24个．
24．（2023上·山东威海·八年级统考期中）【材料阅读】我们知道 可以写成 的形式．类似的，对于
， ，也可以写成 ， 的形式．我们把这样分子或分母中含有分
式的分式，叫做繁分式．
【问题解决】
(1)化简： ；
(2)对于 ①，可得 ②，对繁分式②进行化简；
(3)某快递公司有甲、乙、丙三个机器人进行快件分配任务．已知甲单独完成任务需要 小时，乙单独完成
任务需要 小时，丙单独完成任务需要 小时．甲单独完成任务的时间是乙、丙合作完成任务的时间的几
倍？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的性质，掌握其性质进行化简是解题的关键．
（1）先通分，再按照分式的加减法，繁分式的计算方法即可求解；
（2）先通分，再按照分式的加减法，繁分式的计算方法即可求解；
（3）根据工程量的计算方法，数量关系列式计算，再对繁分式的化简即可．【详解】（1）解：
= ．
（2）解：
= ．
（3）解：
．
∴甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍．
25．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真
分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于
只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数
小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式； ，
这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．如： ， ；
解决下列问题：
(1)分式 是________分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
【答案】(1)真
(2)
(3) 或 或11或
【分析】（1）利用假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：分式 是真分式，
故答案为：真；
（2）
；
（3）原式
由于分式的值为整数，故 或 ，
或-3或11或 ，
是整数，
或 或11或 ．【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义
并熟练应用是解题的关键．
26．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
例1：分解因式 ；
解：将“ ”看成一个整体，令 ；
原式 ；
例2：已知 ，求 的值．
解： ；
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；
(2)计算： ．
(3)①已知 ，求 的值；
②若 ，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 1； 5
【分析】（1）将“ ”看成一个整体，模仿例1求解；
（2）令 ， ，将原式变形，即可求解；
（3） 将 中的1用 替代，即可求解； 将 代入 将原式变形为
，再将 代入 ，进一步将原式变形为 ，由此可解．【详解】（1）解：令 ，
；
（2）解：令 ， ，
则原式
，
故答案为： ；
（3）解： ，；
，
．
【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整
体思想，看懂例题．
