第十五章分式（压轴题专练）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十五章 分式（压轴题专练） 目录 【题型一 求使分式值为整数时未知数的整数值】..........................................................................................1 【题型二 已知分式恒等式，确定分子或分母】..............................................................................................2 【题型三 分式运算中的规律探究问题】..........................................................................................................4 【题型四 分式运算中的新定义型问题】..........................................................................................................8 【题型五 已知分式方程的增根求参数】........................................................................................................15 【题型六 已知分式方程的无解求参数】........................................................................................................16 【题型七 根据分式方程解的情况求值】........................................................................................................20 【题型一 求使分式值为整数时未知数的整数值】 例题：若 表示一个负整数，则整数 ________． 【答案】 或 或 【分析】由 表示一个负整数，m为整数，可得 或 或 ，进而可得答案． 【详解】解：因为 表示一个负整数，m为整数， 所以 或 或 ， 所以 或 或 ； 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解，正确理解题意，得出 是4的负约数是解题关键． 【变式训练】 1．如果m为整数，那么使分式 的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可） 【答案】0或1（答案不唯一） 【分析】分式 ，讨论 就可以了，即 是2的约数即可完成． 【详解】解：∵ ， 若原分式的值为整数，那么 由 得， ；由m11得，m2； 由m11得，m0； 由m12得，m1； ∴m3或2或0或1， 故答案为：0或1(答案不唯一) 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 3 2．已知 的值为正整数，则整数m的值为_________________. m6 【答案】7或9 【分析】根据分式的性质即可求出答案． 3 【详解】解：∵ 的值为正整数， m6 ∴m61或3， ∴整数m的值为7或9， 故答案为：7或9． 【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解 答此题的关键． 4a12 3．已知：分式 的值为整数，则整数a有______ ． a29 【答案】1，1，2，4，5，7 【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案． 4a12 4a3 4    【详解】解： a29 a3a3 a3， 4a12 ∵分式 的值为整数， a29 ∴a31或2或4， 解得：a4，a2，a5，a1，a1，a7， 故答案为1，1，2，4，5，7． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数等等，解题的关键在于能够熟练掌握 相关知识进行求解． 【题型二 已知分式恒等式，确定分子或分母】AxB 5x 3x1   例题：若 ，则 _________， _________． x3 x3 3x A B 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． AxB 5x 3x1   【详解】解： x3 x3 3x 5x 3x1   x3 x3 2x1  x3 ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 【变式训练】 A B 3x4   1．已知x1 x2 x1x2 ，则3A2B_________________． 【答案】7 A B Ax2Bx1 ABx2AB 3x4     【分析】根据题意可进行通分，即x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 ， 然后问题可求解． A B 3x4   【详解】解：∵x1 x2 x1x2 ， A B Ax2Bx1 ABx2AB 3x4     ∴x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 ，  AB3①  ∴ 2AB4②， ①+②得：3A2B7； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．2x3 A B   2．若(x1)(x2) x1 x2 恒成立，则A-B=__________． 【答案】2 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 2x3 ABx2AB  【详解】解：等式整理得(x1)(x2) (x1)(x2) ， 2x3=ABx2AB ∴ ∴A-B＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求 解． 2x1 A B   3．若(x1)(x2) x1 x2 恒成立，则AB______． 【答案】2 A B 【分析】根据异分母分式加减法法则将  进行变形，继而由原等式恒成立得到关于A、B的方程 x1 x2 组，解方程组即可得． A B Ax2Bx1 ABx2AB    【详解】解：x1 x2 x1x2 x1x2 ， 2x1 A B 又∵   (x1)(x2) x1 x2 AB2  ∴2AB1， A1  解得 B3 ， ∴AB2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减法，恒等式的性质，解二元一次方程组，得到关于A、B的方程组是解题 的关键．【题型三 分式运算中的规律探究问题】 例题：观察以下等式： 第1个等式： ． 第2个等式： ． 第3个等式： ． 第4个等式： ． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明． 【详解】（1）解：第5个等式为： ， 故答案为： ． （2）解：第 个等式为： ， 证明：， ∴ ． 【点睛】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的 关键． 【变式训练】 1．观察以下等式： 第1个等式 ；第2个等式 ； 第3个等式 ；第4个等式 ；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) ； (2) ；见解析 【分析】（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大1，第二个加数是第一个加数的倒数，减数 是2，等式右边分子为1，分母为两个加数分母的乘积，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为： ， 故答案为： ；（2）解：猜想： ； 证明如下： 等式左边 ， 等式右边 ， ∴等式左边 等式右边， ∴猜想成立． 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键． 2．观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； 第5个等式： ； ．．．．． 按照以，上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1)(2)猜想第n个等式： ，证明见解析 【分析】（1）根据题意发现规律直接写出结果即可； （2）根据规律写出猜想，然后利用分式的混合运算证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，第6个等式为： ， 故答案为： ； （2）猜想第n个等式： ， 证明：左边 ， 右边 ． ∴左边=右边， ∴等式成立． 【点睛】题目主要考查规律探索及分式的混合运算，理解题意，找出相应规律是解题关键． 3．观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)填空： ① ________；② ________； (2)当 取哪些正整数时，分式 的值为整数？ 【答案】(1)① ；② (2) 为1或3 【分析】（1）①先把原式化为 ，再根据分式的除法计算；②先把原式化为 ，再根据分式的除法计算； （2）先把原式化为 ，再根据分式的除法计算得 ，根据分式的值为整数得， 或 ，计算即可． 【详解】（1） ； ； 故答案为：① ；② ； （2） ， 当 为正整数，且 为5的约数时， 的值为整数， 即 或 时， 的值为整数． 或 ， 即当 为1或3时， 的值为整数． 【点睛】本题考查了分式的加减法、规律型数字的变化类、整式的加减，掌握分式的加减法运算方法，其 中数字的变化规律是解题关键． 【题型四 分式运算中的新定义型问题】 例题：定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式 是分式 的“关联分 式”．如 与 ，因为 ， ，所以 是 的 “关联分式”． (1)分式 __________分式 的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法： 设 的“关联分式”为 ，则 ， ，．请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若 是 “关联分式”，求实数 ， 的值． 【答案】(1)是 (2) (3)① ；② ． 【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ 是 的“关联分式” 故答案为：是； （2）解：设 的“关联分式”为 ，则 ， ∴ ，即 ， ∴ ； （3）解：①设 的“关联分式”为 ，则 ， ∴ ，∴ ． 故答案为： ； ②由题意，可得 ， 整理得 ， 解得 ． 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 【变式训练】 1．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式 表示成部分分式．解：设 ，将等式右边通分，得 ，依据题意，得 ，解得 ，所以 请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式 表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求 的值． 【答案】(1) ，见解析． (2) ． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据（1）的规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：设 ，∴ ， ∴ ， ∴ ． （2） ； 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 2．定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式 是分式 “友好分式”． 如 与 ，因为 ， ， 所以 是 的“友好分式”． (1)分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法： 设 的“友好分式”为 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”．(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”：______． ②若 是 的“友好分式”，则 的值为______． 【答案】(1)是 (2) (3)① ；② 【分析】（1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】（1）解：∵ , ∴ 与 是“友好分式” 故答案为：是 （2）解：设 的“关联分式”为 ，则 ， ∴ ， ∴ ． （3）解：①设 的“关联分式”为 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为： ； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.据此可得 ， 整理得 ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 3．定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式N是分式 的“互联分式”． 如 与 ，因为 ， ，所以 是 的“互联 分式”． (1)判断分式 与分式 是否是“互联分式”，请说明理由； (2)小红在求分式 的“互联分式”时，用了以下方法： 设 的“互联分式”为 ，则 ， ， ． 请你仿照小红的方法求分式 的“互联分式”． (3)解决问题： 仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数 ， 的值，使 是 的“互联分式”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2) (3) ， 【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；（2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）仿照题目中给到的方法进行求解． 【详解】（1）分式 与分式 是“互联分式”，理由如下： ∵ ， ， ∴分式 是分式 的“互联分式”， （2）解：设 的“互联分式”为 ，则 ， ∴ ， ∴ ． （3）解：由（1）（2）可得， 的“互联分式”是 ， ∵ 是 的“互联分式” ∴ ， 整理得 解得 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． 4．观察下列式子： 以上变形的过程称为“分离系数法”，可以看作是分式加减运算的逆运算，这是解决有关分式问题的一种常用的数学思想与方法，请同学们认真探索它们的规律，并回答下列问题： (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)按照上述规律，将分式 进行“分离系数法” 为常数，且 ； (3)当x取哪些正整数时，分式 的值为整数？  3  7   【答案】(1)① x1；②x1 bac (2)a xc 4x3 (3)当 或 时， 的值为整数 x1 x3 2x1 【分析】（1）根据分离常数法，先把分子变形，再分离常数即可； （2）根据分离常数法，先把分子变形，再分离常数即可； （3）先分离常数，再根据分式的值为整数讨论即可． x2 x13 x1 3  3    + 1+  【详解】（1）解：① x1 x1 x1 x1  x1． 3 故答案为 ． x1 3x4 3x37 3(x1) 7 7 ②   + 3 ． x1 x1 x1 x1 x1 7 故答案为 ． x1 axb axacacb axac acb bac （2）解：    a ； xc xc xc xc xc 4x3 4x223 4x2 5 5 （3）解：    2 ， 2x1 2x1 2x1 2x1 2x1 4x3 当x为正整数，且 为5的约数时， 的值为整数， 2x1 2x1 4x3 ∴ 或 或 或 时， 的值为整数， 2x11 2x15 2x11 2x15 2x1解得x0（舍去）或x2（舍去）或x1或x3， 4x3 故当 或 时， 的值为整数． x1 x3 2x1 【点睛】本题考查了知识拓展，分式加减的逆运算，以及分式的值为0的条件，熟练掌握“分离系数法” 是解答本题的关键． 【题型五 已知分式方程的增根求参数】 例题：若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是_______． 【答案】 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根， ∴ ， 解得 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【变式训练】 1．已知关于 的方程 有增根，则 的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−4＝0，据此求出x的值， 代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：原方程去分母，得： ， ∴ ， 由分式方程有增根，得到x−4＝0，即x＝4， 把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2． 故选D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程； （2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．关于x的方程 有增根，则m的值是_____． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出 m的值． 【详解】解：去分母得： ， 解得 ， 由分式方程有增根，得到 ，即 ， ∴ ， 解得： ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增 根代入整式方程即可求得相关字母的值． 3．已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为___________． 【答案】 或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增 根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： ， 当 ，即 或 时，分式方程有增根， 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 故m的值是 或 ， 故答案为： 或 ．【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键． 【题型六 已知分式方程的无解求参数】 例题：如果关于x的方程 无解，则a的值为___． 【答案】1或2 【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是 或整式方程无解，即可求出 ． 【详解】解：将方程两边同时乘以 ， 得： ， 整理得： ， ∵该分式方程无解， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或 整式方程的解使分母为零． 【变式训练】 1．已知关于 的分式方程 无解，则 的值为 _____． 【答案】 或 【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数 的值． 【详解】解： ， 去分母得 ， ， 关于 的分式方程 无解， ①当 时，即 ，此时 无解；②当 时，即 ，解 得 ， 此时分式方程无解，必须有 或 ，则 或 ， 当 时，方程无解； 当 时，解得 ； 综上所述， 的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题，熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况 的分类讨论是解决问题的关键． 2．①若关于 的方程 有增根，则增根是 ______． ②若关于 的方程 无解，则 的值为______． 【答案】 4 2或3 【分析】 根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可． 【详解】解：①∵分式方程有增根， ∴ ， ∴ ， 故答案为：4； ② 去分母得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 当 ，即 时， 无解，分式方程无解；当 时，系数化为1得： ， ∵分式方程有增根， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得 ， 经检验， 是 的解， ∴ ， 综上可知， 或 ， 故答案为：2或3； 【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0． 3．若关于x的分式方程 无解，则m的值为______． 【答案】 或 或 【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【详解】解： 去分母得： ， 可得： ， 当 时，一元一次方程无解， 此时 ； 当 ， 时，分式方程无解， 解得： 或 ； 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论不要漏解是解题关键． 4．已知关于x的分式方程 .(1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2 【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可. 试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10. 因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2. 因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝ －2. (3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2. 点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的 解使最简公分母等于0或整式方程无解． 【题型七 根据分式方程解的情况求值】 例题：若关于x的分式方程 的解是正数．则m的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围． 【详解】解：去分母得： ， 解得： ， ∵分式方程解为正数， ∴ ，且 ， 解得： 且 ， 故答案为： 且 ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 【变式训练】1．若关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为（ ） A． B． 且 C． D． 且 【答案】B 【分析】先求出原方程的解，可得 ，再由方程的解是正数，可得 且 ，即可求解． 【详解】解： ， 去分母得： ， 解得： ， ∵关于x的方程 的解是正数， ∴ 且 ， ∴ ，且 ， 解得： 且 ． 故选：B 【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解 题的关键． 2．关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是____________． 【答案】 且 【分析】解分式方程，可用 表示 ，再根据题意得到关于 的一元一次不等式即可解答． 【详解】解：解 ，可得 ， 的方程 的解为非负数， ， 解得 ， ， ， 即 ， 的取值范围是 且 ，故答案为： 且 ． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键． 3．若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值是 _____． 【答案】6或9 【分析】先按照解分式方程的步骤求出 ，再根据 结合分式方程的解为正整数进行求解 即可． 【详解】解： 去分母得： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为1得： ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵分式方程有正整数解， ∴正数m的值是6或9． 故答案为：6或9． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为 是解题的关键． 4．已知关于x的分式方程 的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】先解分式方程得到 ，再根据分式方程的解为负数和不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得： ， 去括号得： ，移项，合并同类项得： 解得 ， ∵分式方程的解为负数，且 ， ∴ ， ∴ 且 ， 故答案为： 且 ． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出 是解题的关键，注意一定要舍 去增根的情况．