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第十五章 分式（知识归纳+14 题型突破）
1.理解分式的定义，基本性质，混合运算．
2.整数的指数幂运算．
3.会解分式方程及含参数的有关问题和分式方程的应用．
一、分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分
母，则整式B¿0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
二、分式的相关概念
1）分式 有意义的条件：分母不为0，即B 0
¿
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B¿0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
三、分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
四、分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，
不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为
公分母，这样的分母叫做最简公分母．
五、分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
六、整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①am∙an=am+n，（m，n是正整数）； ②（am）n=amn，（m，n是正整数）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）； ④am÷an=am−n，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
⑤ a n an ，（n是正整数）； ⑥{&当a≠0时，a0=1（规定）
（ ）=
b bn &当a=0时，00无意义
若按照④运算，当m<n时。如： ；根据指数幂的定义 a2 1
a2÷a3=a2−3=a−1 a2÷a3= =
a3 a
1
2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，a−n= （a≠0） 注：00、0−n无意义
an
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①am∙an=am+n，（m，n是整数）（公式1、4的扩展）
②（am）n=amn，（m，n是整数）（公式2的扩展）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，
根据定义 还可转化为乘法：
am
am÷an=am−n am÷an= =am∙a−n=am−n
an
5）科学记数法的扩大一般，一个小于1的数可以表示为a× 的形式，其中{1＜|a|＜10
10−n
n为负整数
步骤：确定a值的大小。1＜|a|＜10；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩
大了10x倍。故n=-x
七、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
八、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
九、增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分
式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身
无解，当然原分式方程就一定无解．
十、分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【题型一 分式有意义的条件】
例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是______．【变式训练】
1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式 有意义，则 的取值范围为______．
2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式 有意义，则 的取值范围为____．
3．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当 满足条件___________时，分式 没有意义．
4．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式 无意义，则x的取值范围是_________．
【题型二 分式值为零的条件】
例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式 的值为0，则x的值为( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式 的值为0，则 的取值是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）已知分式 的值为 ，则 ______．
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若分式 的值为0，则 ________
【题型三 判断分式变形是否正确】
例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型四 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把 中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的
值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当 ， 时，若 、 都扩大为原来的10
倍，则分式 的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍
2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式 中的 和 都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把 中的 与 都扩大3倍，那么这个代数式的值
（ ）
A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍【题型五 最简分式】
例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为( )
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型六 最简公分母】
例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式 与 的最简公分母是______．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式 ， ， 的最简公分母是_______．
2．（2023春·江苏·八年级校考周测） 的最简公分母是_________
3．（2023春·全国·八年级专题练习） ， ， 的最简公分母是 _____．
【题型七 含乘方的分式乘除混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） • ÷ ； （4） ．
【题型八 零指数幂、负整数指数幂】
例题：（2023·广东梅州·统考一模）计算： ___________．
【变式训练】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期中）计算： ________， ________．
2．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算： ____________．
3．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知 ，那么a，b，c之间的大小关系是
__________（请用“<”表示）．
【题型九 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）2023年1月8日起，国家对新冠病毒感染实施“乙类乙
管”，已经知新冠病毒的直径是 ，这个数据用科学记数法可表示为____________m．
【变式训练】
1．（2023·河南驻马店·统考三模）维生素A是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素A的摄入
量约为 ．质量单位 是微克的符号，单位转换 ， ，数据“ ”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏泰州·统考三模）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于
0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是_________．
3．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）某颗粒物的直径是 ，把 用科学记数法
表示为______．
【题型十 整数指数幂的运算】
例题：（2023春·七年级课时练习）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
（1） ； （2） .
2．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；(7) ； (8) ．
【题型十一 分式加减乘除混合运算】
例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简： ．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简： ．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．【题型十二 分式化简求值】
例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值： 其中 满足方程 ．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值： ，其中：
3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）先化简： ，若 ，请选取一个合
适的整数作为x的值代入求值．
4．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简 ，再从不等式 中选择一个
适当的整数，代入求值．5．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简 ，再从 ，0，1，2中选择一个适当的数作
为a的值代入求值．
6．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）先化简，再求值： ，其中a满足
．
【题型十三 解分式方程】
例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：(1) ; (2) ．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）解分式方程：
(1) (2)
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程
(1) ； (2) ．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列分式方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【题型十四 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载
速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时
间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪
亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖
面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，
甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐
款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物
资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注： 、
两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又
于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计 万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这
两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3，4
月份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润(销售收入减去进价总计)多少元？4．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）据山西省住房和城乡建设厅消息， 年，山西省将开工改造城镇
老旧小区 个，优先将养老托幼、日间照料、社区食堂等公共服务设施配套建设作为提升改造内容．某
社区改造社区食堂需要租用垃圾专用车清理建筑垃圾，调研发现：若租用甲、乙两车运送，两车各运 趟
可完成，已知甲、乙两车单独运完这些垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，求甲、乙两车单独运完这些垃
圾各需运多少趟？
5．（2023·重庆·三模）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的
目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每
天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的 倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道
少用2天．
(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为
万元，乙队施工一天的费用为 万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．
