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第十六章 二次根式易错与压轴训练
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 根据二次根式的定义求字母的值........................................................................................................1
易错题型二 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式................................................................................3
易错题型三 含隐含条件的参数范围化简二次根式................................................................................................4
易错题型四 已知最简二次根式求参数....................................................................................................................6
易错题型五 已知同类二次根式求参数....................................................................................................................7
【压轴题型】.................................................................................................................................................................9
压轴题型一 复杂的复合二次根式化简....................................................................................................................9
压轴题型二 二次根式中的分母有理化..................................................................................................................13
压轴题型三 二次根式中的规律探究问题..............................................................................................................17
压轴题型四 二次根式中的应用问题......................................................................................................................24
压轴题型五 二次根式中的新定义型问题..............................................................................................................27
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 根据二次根式的定义求字母的值
例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知 是整数， 是正整数，则 的所有可能的取值的和是
（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知： ，
，
∵ 是整数， 是正整数，
∴ 或7或8，，
故选：D．
巩固训练
1.（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据 是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
又因为 是整数，
∴ 是完全平方数，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0
的整数是解答本题的关键．
2.（22-23八年级上·福建福州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
【详解】∵ 是一个整数,且m是正整数， ,
∴m的最小值为3，此时 的值是整数3.
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3.（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）A．0 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解： ，
∵ 是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
易错题型二 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质 化简即可求解，掌握二
次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即 中， ，
∴ 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
巩固训练
1.（23-24九年级上·全国·单元测试）当 时，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由 得到 ，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
2.（2024·四川乐山·模拟预测）已知 的三边分别为 ，化简 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．
首先根据三角形的三边的关系求得 的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．
【详解】解： 、 、5是三角形的三边，
，
， ，
原式 ．
故答案为：4．
3.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：
化简： ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题
的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的
正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项．
【详解】解：由图可知： ，且 ，
，故答案为： ．
易错题型三 含隐含条件的参数范围化简二次根式
例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式 化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据 ，得出 ，二次根
式的性质化简 ，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．
【详解】∵ ， ，
∴原式 ，
，
故选： ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南安阳·期中）当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
由 的积小于0得到 与 异号，再根据负数没有平方根得到 大于0，进而确定出 小于0，所求式子利
用二次根式的化简公式即可得到结果．
【详解】
解： ， 与 异号，
， ，
，则 ．
故选：C．
2.（23-24八年级下·天津·期中）已知， ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化
简得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
3.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】根据题意有： ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
易错题型四 已知最简二次根式求参数例题：（23-24八年级下·山东日照·期中）已知 是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a
的值 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：当 时， ， 是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
巩固训练
1.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：
．
【答案】10（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行
求解即可．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴ 不能开方，不含分母，
∴ 的值可以为2，此时 ；
故答案为：10（答案不唯一）．
2.（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使 是最简二次根式，则n可以是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】当 时， ，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键．
3.若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【答案】2【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时
满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：当 时， ，不是最简二次根式，
当 时， ，是最简二次根式，
∴二次根式 是最简二次根式，最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
易错题型五 已知同类二次根式求参数
例题：（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果 与最简二次根式 是同类二次根式，那么
．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化
简 ，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得 ，解方程即可求
解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键．
【详解】解： ，
∵ 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得，a=2，
故答案为： ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式 与
可以合并．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：∵ 最简二次根式 与 可以合并，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
2.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 ， ．
【答案】 1 1
【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式 与 为同类二次根式，列出方
程组，进行求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 为同类二次根式，
∴ ，解得： ，
故答案为：1，1
3.（23-24八年级下·山东烟台·期末）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能
够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可．
【详解】解：∵ ，最简二次根式 能与 合并，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 复杂的复合二次根式化简
例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据 ，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而
得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对 进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
；
，
；（2）解：
．
巩固训练
1.（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，
使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得 化
简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解： ，；
（2）解： ，
．
2.（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【答案】(1) ，
(2) ；理由见解析
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；
（1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；
（2）由题意知， ，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ， ；
（2）∵ ，∴
即 ，
∴
3.（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复
合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合 、n为正整数求解即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为：
（2） ；故答案为：
（3）∵
∴ ，
∴ ，，
∴
又∵ 、n为正整数，
∴ ，或者 ，
∴当 时， ；
当 时， ．
∴k的值为： 或 ．
压轴题型二 二次根式中的分母有理化
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程：
；
；
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；
(2)试求 的值．
【答案】(1)
(2)8【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应
用．
（1）根据阅读材料提供的方法即可完成；
（2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
．
巩固训练
1.（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若 ，求 的值”时，小
俊是这样分析与解答的：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可；
（2）先将 化简，得出 ，则 ，进而得出 ，得出 ，代入计算即
可．
本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式
和完全平方公式 ．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ，
则 ，
∴
则 ，
∴ ，
2.（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）原式的分子和分母都乘以 解答即可；
（2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：原式
．
3.（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会
碰上如 、 、 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：（Ⅳ）
(1)请用不同的方法化简
①参照（Ⅲ）式得 ；
②参照（Ⅳ）式得 ；
(2)化简：
【答案】(1)① ；
②
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可．
（1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可．
（2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可．
【详解】（1）解：① ，
②
（2）压轴题型三 二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
【答案】(1)
(2) （n为正整数）
【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简，
（1）总结规律，按规律解答；
（2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论．
【详解】（1）解：∵ ；
；
，
……
∴ ；
（2）解：根据（1）得到 ，
证明：．
巩固训练
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”
的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
（1）根据前 个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：等式④： ；
（2）解：若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律为 ，
证明如下：等式左边 右边；
（3）解：∵ （ 均为正整数），
∴ ， ，
∴
．
2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ……
(1)请直接写出第4个等式： （不用化简）；
(2)根据上述规律猜想：若 为正整数，请用含 的式子表示第 个等式给予证明；(3)利用（2）的结论计算： ．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)1
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查饿了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第 个等式即可；
（2）利用前面规律写出第 个等式，然后根据二次根式的性质证明即可；
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
第4个等式： ；
（2）解：第 个等式为： （ 为正整数）；
证明： ，
为正整数，
，
∴猜想成立；
（3）解：
．3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
…
(1)请你利用上述规律计算 （仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题
【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规
律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母
就是 ，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此
可求解即可；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可；
【详解】（1）解：由题意得， ；（2）解：由题意得，
（3）解：
．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1) ，验证见解析
(2) ，验证见解析
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右
两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 ，把根号内的移到根号
外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系可得： ．
【详解】（1）
验证：
；
（2） ．
验证：
．
5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现
（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
， ，
（2）用字母n（n是正整数， ）表示这一规律是：____________；类比猜想
（3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到 ， ，猜想如果
根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，
请你帮助他求出x，y的值： ， ．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ，
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律题
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，一定要认真观察，找对规律并利用二次根式的运算法则
准确的开方是解题的关键．
（1）利用利用二次根式的运算法则计算即可证明；
（2）类比上述式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来；
（3）利用利用二次根式的运算法则计算，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）成立，
；
（2） ；
；
．
所以以上都成立．
举例如下： ， ，规律是： （ ）；
故答案为： ；
（3） ，
，
，
，
经检验， 是方程的解；
，
，
，
，
经检验， 是方程的解．
压轴题型四 二次根式中的应用问题
例题：（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给
出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则该三角形的面
积 满足公式： ．现已知 的三边长分别为1，3， ，求 的面
积．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，把 ， ， 的值代入三角形的面积公式，关键二次根式的性质计
算即可．【详解】解：将三边直接代入公式可得
.
巩固训练
1.（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，然后将
这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中
的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为
【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为 ，设圆柱形
玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可．
【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为：
，
设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，
根据题意得 ，
解得 ．
答：圆柱形玻璃容器的底面半径为 ．
2.（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为 和
的正方形木板．(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简）
(2)求原长方形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是 ，请说明理
由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键．
（1）由正方形的面积可得边长分别为 和 ，再对二次根式进行化简即可；
（2）先计算出原矩形木料的长为 ，再根据矩形的面积公式进行计算即可；
（3）剩余矩形木料的长为 ，宽为 ，再和2进行大小比较即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为 ，
大正方形木板的边长为 ，
故答案为： ， ；
（2）原长方形木料的长为 ，宽为 ，
，
∴原长方形木料的面积为 ；
（3）不能，理由如下：
根据题意，得剩余矩形木料的长为 ，宽为 ，
∵ ，
∴这块正方形木板的边长不能为 ．
3.（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题：
(1)如图①，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点
C所表示的数为x，求 的值；
(2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面
积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用；
（1）由数轴上的两点距离得 ，可得 ，求出 代入计算即可求解；
（2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解；
能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1， ，
，
， ，
，
解得： ，
；（2）解：根据题意得
阴影部分的长为
（ ）
宽为 ，
∴阴影部分的面积为 （ ）．
压轴题型五 二次根式中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求 的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)2
(2)
(3)【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，
熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
且 ，
∴ ；
（2）解：∵
∴ ，
化简后两边同时平方得： ，
∴ ，
经检验： 是原方程的解；
（3）解：
．
巩固训练
1.（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“ ”如下： ．如：
．
(1) ______， ______；(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)1，3
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
（1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据新定义，列出含有 的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
故答案为：1，3；
（2）∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ．
2.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则称a与b
是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ，
∴ 且 ，
∴ ．
3.（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数 ， ，按规则 扩充得到一个新数 ，
称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 ， 的“如意数” ．
(2)如果 ， ，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数” ．
(3)已知 ，且 ， 的“如意数” ，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，证明见详解
(3)
【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式，
（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c；
（2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定
“如意数”c的大小；
（3）先有理化可得 ，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解．
【详解】（1）
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵ ， ， 的“如意数” ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
