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第十六章 二次根式知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、二次根式
1.二次根式的概念
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
2.二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
3.二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
2.二次根式 的性质： （ ）
3.二次根式 的性质：
二．最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
（2）化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
若被开方数中含有带分数，先将被开方
数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成
化去根
分数
号下的
分母
若被开方数时分式，先将分式分母化成
能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
（3）分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
三、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
②
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的除法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）03 题型归纳
题型一 判断是否为二次根式
例题：（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．x为实数，下列式子一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C．3 D．
题型二 求二次根式的值
例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（23-24九年级上·海南儋州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）A． B．2 C． D．
3.（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．2
题型三 根据二次根式有意义条件求范围
例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2.（23-24八年级下·新疆和田·期中）使 有意义的字母 的取值范围（ ）
A．全体实数 B． C． D．
3．（2024·贵州铜仁·一模）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
4．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式 有意义： ．
5．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）使式子 有意义的 的取值范围是 ．
题型四 根据二次根式有意义求值
例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若 ，则 ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知 为实数，且 ，则 的值为
．
2.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则 的小数部分是．
3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知 ，则 ．
题型五 二次根式的乘除混合运算
例题：（2024八年级下·安徽·专题练习）计算： ．
巩固训练
1．计算∶
(1) ；
(2) ．
2．计算：
(1) ；
(2) ．
3．计算：
(1) ；
(2) ， ．
4．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
5．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型六 最简二次根式的判断
例题：（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型七 化为最简二次根式
例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ．
巩固训练
1.（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ．
2.（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ．
3.（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简：
(1) (2) (3)
4.（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)2 （a，b，c均大于0）．
题型八 同类二次根式的判断
例题：（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
3.（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
题型九 二次根式的加减运算
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．
巩固训练
1．计算： ．
2．计算：
(1)
(2)
3．计算：
(1)
(2)
4．计算：
(1) ；
(2) ；5．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型十 二次根式的混合运算
例题：（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算：
(1) ； (2) ．
巩固训练
1．计算．
(1) ；
(2) ．
2．计算：
(1) ；
(2) ．
3．计算：
(1) ；
(2) ．4．计算：
(1)
(2)
5．计算
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型十一 比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小：
（1） 8；
（2） ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ．
2.（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“ ”，“ ”，或“ ”）
3.（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
题型十二 已知字母的值，化简求值
例题：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知， ， ，求 的值．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河北承德·期末）若 ， ，求下列各式的值．(1) ；
(2) ．
2.（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知 ，求下列代数式的值
(1) ；
(2) ．
3.（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知 求下列各式的值：
(1) 和 ；
(2)
题型十三 已知条件式，化简求值
例题：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ， ，求 的值．
巩固训练
1.（2024·湖南怀化·一模）已知实数 满足 ，求 的值．
2.（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且 ，求 的值．
3.（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求
的值．
