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专题15.22 分式（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】分式的有关概念及性质
A
B
1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A
叫做分子，B叫做分母.
要点提醒：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0
A
B
时，分式 才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【知识点2】分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母
的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b ab
c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.a c ac
（2）乘法运算 b d bd ，其中a、b、c、d 是整式，bd 0.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
a c a d ad
（3）除法运算 b d b c bc ，其中a、b、c、d 是整式，bcd 0.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【知识点3】分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知
数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适
合原方程的根－－－增根.
要点提醒：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入
到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
【知识点4】分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关
系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列
出方程，并进行求解.【考点目录】
【考点1】分式及相关概念； 【考点2】分式的运算；
【考点3】零指数与负指数； 【考点4】解分式方程；
【考点5】增根与无解； 【考点6】分式方程的应用.
【考点一】分式及相关概念；
【例1】（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）已知：代数式
（1）当m为何值时，该式无意义？
（2）若该式的值为正数，求m的取值范围；
【答案】（1） 时，该式无意义；（2）
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则 ，再解不等式即可．
（1）解：由题意得，当 时，代数式 无意义；
所以 时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时， ，
即 ．
【点拨】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解
本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023上·上海青浦·七年级校考期中）在代数式 ， ， ， ， ，
中，分式的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了分式“如果 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式”，熟
记分式的定义是解题关键．根据分式的定义即可得．
解：代数式 ， ， 都是整式，
代数式 ， ， 的分母中都含有字母，都是分式，共有3个，
故选：C．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）当x为 时，分式 的值为0．
【答案】
【分析】此题考查分式值为零的情况：分子为零，且分母不等于零，据此列得 ，且
，由此求出答案，熟记分式值为零的要求是解题的关键．
解：由题意得 ，且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【例2】（2022下·江苏淮安·八年级校联考期中）约分
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）【分析】（1）先找出分子分母的公因式，再将公因式约分即可；
（2）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可．
（1）解： = ；
（2）解： = ．
【点拨】本题考查分式的约分，公因式，因式分解，约分是将分式的分子与分母中公因式消去，掌握
约分，公因式，因式分解是解题关键．
【举一反三】
【变式1】（2021上·河北沧州·八年级校考阶段练习）若将分式 与 通分，则分式
的分子应变为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分式 与 的公分母是 ，据此作出选择．
解：分式 与 的公分母是 ，则分式 的分子应变为
．
故选：A．
【点拨】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
【变式2】（2020上·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考阶段练习）分式 ， ，
的最简公分母是
【答案】ab（a+b）（a-2b）
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母
连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分
母即可求出答案．
解：分式 ， ， 的分母依次为： ， ，
故最简公分母是ab（a+b）（a-2b）
故答案为：ab（a+b）（a-2b）
【点拨】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公
分母的方法一定要掌握．
【考点二】分式的运算；
【例3】（2022·江西·统考中考真题）以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式 ①
②
解：
③
…
（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③
（2）见分析
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2021·四川南充·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减乘除的运算法则进行计算即可得出答案解：A. ，计算错误，不符合题意；
B. ，计算错误，不符合题意；
C. ，计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了分式的加减乘除的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
【变式2】（2022·山东菏泽·统考中考真题）若 ，则代数式 的值是
．
【答案】15
【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
解：
=
=a（a-2）
=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．【考点三】零指数与负指数；
【例4】（2022上·湖南怀化·八年级校联考阶段练习）计算：
（1） （2）
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）先根据乘方运算、负整数指数幂、0指数幂知识进行化简，再计算即可求解；
（2）先根据负整数指数幂、零指数幂知识进行化简，再计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的意义等知识，熟知相关知识并正确进行
计算是解题关键．
【举一反三】
【变式1】（2022·四川自贡·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．
解：A. ，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零
指数幂的运算法则，是解题的关键．
【变式2】（2020·广东·统考中考真题）若 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
解：∵
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．
【考点四】解分式方程；
【例5】（2021下·四川攀枝花·八年级校考期中）（1）解方程： （2）计算：
【答案】（1）原分式方程无解；（2）
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可．
解：（1）
经检验： 是增根
所以原方程无解．
（2）原式=
=
=
= ．
【点拨】本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简
运算法则．
【举一反三】
【变式1】（2022下·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组 有且只有三个偶数解，则所有符合
条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是
分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，
根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
解：分式方程去分母得： ，
整理得： ，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解，
∴ ；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入 ，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入 ，得： ，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或 ，分式方程无解；
解不等式 ，
得：根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4<m−4≤−2，
∴0<m≤2，
综上所述当m=2或 时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
【点拨】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的
情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解
为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数
所表示的代数式的取值范围是解题关键．
【变式2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，
．若 ，则x的值为 ．
【答案】 /
【分析】根据新定义可得 ，由此建立方程 解方程即可．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是方程 的解，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题
的关键．
【考点五】 增根与无解；
【例6】（2023上·山东淄博·八年级统考期中）已知关于x的分式方程
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是
解题的关键．
（1）先化分式方程为整式方程，令分母为零，确定增根，代入整式方程，计算字母的值．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．解：（1）方程的增根为 ，
原方程去分母并整理得 ，
将 代入方程得 ，
解这个方程得 ，
故m的值为7．
（2）由（1）得
解这个方程得
∵方程的解是负数
∴ ，
解不等式得 ，
∴当 时，分式方程的解是负数．
【举一反三】
【变式1】（2020·四川成都·统考三模）下列结论正确的是（ ）
A． 是分式方程 B．方程 ＝1无解
C．方程 的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断．
解：A．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，
所以A选项不符合题意；
B．解方程，得x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解，
所以B选项符合题意；
C．解方程，得x＝0，
经检验x＝0是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以C选项不符合题意；
D．解分式方程时，不一定会出现增根，
只有使分式方程分母的值为0的根是增根，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识．
【变式2】 （2023下·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于 的方程
有增根，则增根是 ．
②若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 4 2或3
【分析】 根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可．
解：①∵分式方程有增根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4；②
去分母得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
当 ，即 时， 无解，分式方程无解；
当 时，系数化为1得： ，
∵分式方程有增根，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是 的解，
∴ ，
综上可知， 或 ，
故答案为：2或3；
【点拨】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0．
【考点七】分式方程的应用.
【例7】（2022上·湖北武汉·八年级统考期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30
天完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
（1）求乙队单独施工多少天完成全部工程？
（2）若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
（3）在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快
______天能完成总工程．
【答案】（1）30；（2）甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；（3）70
【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的 求出甲队
单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完
成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付
工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到
甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万
元，两队完成工程量等于总工程量，列出 与 ，求出a的取值范围，根据最快完成总
工程的要求，求出 的最小值即可．
解：（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是 （天），
∴ ，
解得， ，
经检验， 是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,∴ ，
解得， ，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点拨】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，
总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关
键．
【举一反三】
【变式1】（2020·辽宁·统考中考真题）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交
通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 件，根据题
意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投
递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式2】（2022上·山东潍坊·八年级统考期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计
划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前4天完成任
务．则实际每天植树 棵．
【答案】125
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，
结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将
其代入（1+25%）x中即可求出结论．
解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，
依题意得： ，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，∴（1+25%）x=125．
故答案为：125．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
