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期末复习小题专项练习题位训练选择题压轴题（解析版）
1 1+k
1．（2022秋•如东县期末）若分式方程 − =1无解，则k的值为（ ）
x−2 2−x
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】根据分式方程的增根的定义进行计算即可．
1 1+k
【解答】解：分式方程 − =1，去分母得，1+1+k＝x﹣2，
x−2 2−x
由于分式方程无解，即x＝2是1+1+k＝x﹣2的解，
所以k＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程的增根是正确解答的前提．
2．（2022秋•如东县期末）已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式3a﹣a2﹣b2的最大值为（ ）
A．﹣4 B．﹣5 C．4 D．5
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式3a﹣a2﹣b2中，然后结合二次函数的性质即可得到
答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴3a﹣a2﹣b2＝3a﹣a2﹣（a﹣4）＝﹣a2+2a+4＝﹣（a﹣1）2+5，
∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵﹣1＜0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而减小，
∴当a＝4时，原式取最大值为﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活应用配方法，从而
完成求解．
1
3．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE=
2
BC，则∠AFE＝（ ）A．100° B．105° C．110° D．115°
1 1
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD= ∠BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD=
2 2
BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
1 1
∴∠BAD= ∠BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD= BC，
2 2
∴∠CDE＝90°，
1
∵DE= BC，
2
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关
键．
4．（2022秋•启东市期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下
列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【分析】设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出算式，求出解判断即可．
【解答】解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，
根据题意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，201
若4x+4＝205，即x= ，不为整数，不符合题意；
4
246
若4x+4＝250，即x= ，不为整数，不符合题意；
4
498
若4x+4＝502，即x= ，不为整数，不符合题意；
4
若4x+4＝520，即x＝129，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于
点D，△ABC的周长为18cm，AC＝7cm，则DC的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【分析】根据已知能推出2DE+2EC＝11cm，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC周长18cm，AC＝7cm，
∴AB+BC＝11cm，
∴AB+BE+EC＝11cm，
即2DE+2EC＝11cm，
∴DE+EC＝5.5cm，
∴DC＝DE+EC＝5.5cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是
解题的关键．
6．（2022秋•海安市期末）已知x2＝2y+7，y2＝2x+7，且x≠y，则xy的值为（ ）
A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣7
【分析】两式相减，由平方差公式求出x﹣y＝﹣2，两式相加，由完全平方公式即可求出xy的值．
【解答】解：∵x2＝2y+7，y2＝2x+7，
∴x2﹣y2＝2（y﹣x），
∴（x+y）（x﹣y）＝﹣2（x﹣y），∵x≠y，
∴x+y＝﹣2，
∵x2+y2＝2（x+y）+14，
∴（x+y）2﹣2xy＝2（x+y）+14，
∴（﹣2）2﹣2xy＝2×（﹣2）+14，
∴xy＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的乘法，关键是掌握平方差公式，完全平方公式．
ab
7．（2022秋•如皋市校级期末）已知a﹣b＝4时，多项式ab+c2的值为﹣4，则 的值为（ ）
a2+b2+c2
1 1
A．﹣1 B．− C．− D．0
2 3
【分析】根据已知条件得出（b+2）2≤0，又（b+2）2≥0，进而得出b＝﹣2，a＝2，c＝0，进而即可求
解．
【解答】解：∵a﹣b＝4时，多项式ab+c2的值为﹣4，
∴a＝b+4，ab+4＝﹣c2，
∴ab+4≤0，
即（b+4）b+4≤0，
∴b2+4b+4≤0，
即（b+2）2≤0，
又∵（b+2）2≥0，
∴b＝﹣2，
∴a＝﹣2+4＝2，
∴ab＝﹣4，c＝0，
ab −4 1
∴
= =−
，
a2+b2+c2 4+4 2
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式变形求值，得出b＝﹣2是解题的关键．
1
8．（2022秋•如皋市校级期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 AB
2
）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若△CDB
的面积为12，△ADE的面积为9，则四边形EDBC的面积为（ ）A．15 B．16 C．18 D．20
【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积
公式计算，得到答案．
【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ACD ＝S△BCD ，
∴S△ADE +S△CDE ＝S△CDB ，
∵△CDB的面积为12，△ADE的面积为9，
∴S△CDE ＝S△CDB ﹣S△ADE ＝12﹣9＝3，
∴四边形EDBC的面积为：S四边形EDBC ＝S△CDE +S△CDB ＝12+3＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的面积的计算，熟练掌握线段垂直平分线等额性
质以及三角形的面积的计算是解题的关键．
9．（2022秋•海门市期末）已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
【分析】利用消元法求出a，b的值，可得结论．
【解答】解：∵b＝2a﹣3，4a2﹣3ab+b2＝11，
∴4a2﹣3a（2a﹣3）+（2a﹣3）2，＝11，
整理得2a2﹣3a﹣2＝0，
∴（2a+1）（a﹣2）＝0，
∴2a+1＝0或a﹣2＝0，
1
∴a＝2或− ，
2
当a＝2时，b＝1，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，1
当a=− 时，b＝﹣4，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，
2
∴2a2b﹣ab2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，属于中考常考题型．
10．（2022 秋•南通期末）已知 m，n 均为正整数且满足 mn﹣3m﹣2n﹣24＝0，则 m+n 的最大值是
（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
【分析】由mn﹣3m﹣2n﹣24＝0得（m﹣2）（n﹣3）＝30．由于30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6＝30×1
＝15×2＝10×3＝6×5，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值即可求得m+n的最大值．
【解答】解：将方程左边变形得：mn﹣3m﹣2n+6﹣30
＝m（n﹣3）﹣2（n﹣3）
＝30．
∴（m﹣2）（n﹣3）＝30．
{m−2=1) {m−2=2) {m−2=3) {m−2=5) {m−2=30)
∵ m ， n 均 为 正 整 数 ∴ 或 或 或 或 或
n−3=30 n−3=15 n−3=10 n−3=6 n−3=1
{m−2=15) {m−2=10) {m−2=6)
或 或 ，
n−3=2 n−3=3 n−3=5
{m=3) {m=4) {m=5) {m=7) {m=32) {m=17) {m=12) {m=8)
解得 或 或 或 或 或 或 或 ，
n=33 n=18 n=13 n=9 n=4 n=5 n=6 n=8
∴m+n＝36或22或18或16，
∴m+n的最大值是36．
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将mn﹣3m﹣2n﹣24＝0变形为（m﹣2）（n﹣
3）＝30．
11．（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150
【分析】先根据条件求出（a﹣b）2的值，再把代数式分解因式，整体代入求解．
【解答】解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25
∴a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2
＝﹣6×25
＝﹣150，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入求值是解题的关键．
{ x−2＞ 3x−2 )
12．（2022秋•如东县期末）若关于x的一元一次不等式组 2 的解集为x＜﹣2，且关于y的
3x−a≤2
2y a
分式方程 = −1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
y+1 y+1
A．﹣15 B．﹣13 C．﹣7 D．﹣5
a+2 a−1
【分析】由一元一次不等式组的解可得 ≥−2，再解分式方程得y= ，由方程的解为负整数，
3 3
a−1
且 ≠−1，可求a的值为﹣8，﹣5，即可求解．
3
{ x−2＞ 3x−2 ①)
【解答】解： 2 ，
3x−a≤2②
由①得，x＜﹣2，
a+2
由②得x≤ ，
3
∵不等式组的解集为x＜﹣2，
a+2
∴ ≥−2，
3
∴a≥﹣8，
2y a
= −1，
y+1 y+1
2y＝a﹣（y+1），
2y＝a﹣y﹣1，
3y＝a﹣1，
a−1
y= ，
3
∵方程的解为负整数，∴a＝﹣8，﹣5，﹣2，
∵y≠﹣1，
a−1
∴ ≠−1，
3
∴a≠﹣2，
∴a的取值为﹣8，﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解，一元一次不等式的
解法，注意分式方程增根的情况是解题关键．
13．（2022秋•如东县期末）如图，边长为 a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，
连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
1 2 1 1 3
A． a+ b B． a+b C．a+ b D． a
2 3 2 2 2
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM
交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
1
∵AF＝CF= a，BF＝b，
2
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
1
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM= a+b，
2
故选：B．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则
∠A的度数是（ ）
A．45° B．70° C．65° D．50°
【分析】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B＝∠FDE＝
65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，
{BF=CD
)
∠B=∠C ，
BD=CE
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明
△BFD≌△CDE是解题的关键．
15．（2022秋•启东市校级期末）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1
【分析】根据题目信息得到a、b、c的数量关系，然后对原式进行变化先乘2后乘 ，最后利用公式法
2
即可．
【解答】解：由题意可知，
2020﹣a＝2021﹣b＝2022﹣c，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
1
原式＝2×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）×
2
1
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]×
2
1
＝（1+4+1）×
2
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，能够灵活运用公式法是解答本题的关键．
16．（2020秋•海安市校级期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分
∠BAC．∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，根据等边三角形的判定求出△BEM是等边三角形，
根据等边三角形的性质求出∠EMB＝60°，BM＝EM＝BE＝3，求出DM，求出MN，求出BN，再根据等
腰三角形的性质求出BC即可．【解答】解：延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴EM＝BM，
∴△BEM是等边三角形，
∴BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°，
∵BE＝3，
∴EM＝BM＝BE＝6，
∵DE＝2，
∴DM＝3﹣1＝2，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝90°﹣∠EMB＝30°，
1
∴MN= DM＝1，
2
∵BM＝3，
∴BN＝BM﹣MN＝3﹣1＝2，
∴BC＝2BN＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出MN的长是解此题
的关键．
17．（2020秋•海安市校级期末）如图，点E，F分别在x轴，y轴的正半轴上．点A（3，3）在线段EF上，
过A作AB⊥EF分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段AE上任意一点（P不与A，E重合），连接
CP，过E作ED⊥CP，交CP的延长线于点G，交CA的延长线于点D．有以下结论①AC＝AE，②CP
＝BE，③OB+OF＝6，④S△ABE ﹣S△BOC ＝9，其中正确的结论是（ ）A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】如图，作 AM⊥y 轴于 M，AN⊥OE 于 N．首先证明四边形 AMON 是正方形，再证明
△AMF≌△ANB（ASA），△AMC≌△ANE（ASA），△AFC≌△ABE（SSS）即可解决问题．
【解答】解：如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．
∵A（3，3），
∴AM＝AN＝3，
∵∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴四边形ANON是矩形，
∵AM＝AN，
∴四边形AMON是正方形，
∴OM＝ON＝3，
∴∠MAN＝90°，
∵CD⊥EF，
∴∠FAC＝∠MAN＝90°，
∴∠CAM＝∠EAN，
∵∠AEB+∠EFO＝∠EFO+∠ACF＝90°，
∴∠ACF＝∠AEN，
∴△AMC≌△ANE（ASA），
∴AC＝AE，CM＝EN，故①正确，
同法可证△AMF≌△ANB（ASA），∴FM＝BN，
∴OF+OB＝OM+FM+ON﹣BN＝2OM＝6，故③正确，
∵CM＝EN，AC＝AE，
∵FM＝BN，
∴CF＝BE，
∵AC＝AE，AF＝AB，
∴△AFC≌△ABE（SSS），
∴S△ABE ﹣S△BOC ＝S△AFC ﹣S△BOC ＝S四边形ABOF ＝S正方形AMON ＝9，故④正确，
当BE为定值时，点P是动点，故PC≠BE，故②错误，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2023秋•前郭县期末）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，
ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝70°，则∠C＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据垂直定义可得∠AMB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABM＝20°，再根
据已知易得BM是AN的垂直平分线，从而可得 BA＝BN，然后根据等腰三角形的三线合一性质可得
∠ABM＝∠NBM＝20°，再利用角平分线性质定理的逆定理可得BN平分∠MBD，从而可得∠NBM＝
∠NBD＝20°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABM＝90°﹣∠A＝20°，
∵AM＝MN，
∴BM是AN的垂直平分线，
∴BA＝BN，∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣∠A＝20°，
∵MN＝ND，NM⊥BM，ND⊥BC，
∴BN平分∠MBD，
∴∠NBM＝∠NBD＝20°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠NBM﹣∠NBD＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角的计算，熟练掌握是解题的关键．
m 4
19．（2022秋•吴川市期末）已知关于x的分式方程 − =1的解为整数，则符合条件的整数m
2−2x 2x−2
可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
−m−2
【分析】解该分式方程得x= ，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出m为2
2
的倍数且m≠﹣4，即选B．
m 4
【解答】解： − =1，
2−2x 2x−2
方程两边同时乘2x﹣2，得：﹣m﹣4＝2x﹣2，
−m−2
解得：x= ，
2
∵该分式方程的解为整数，
∴﹣m﹣2为2的倍数，
∴m为2的倍数．
∵2x﹣2≠0，
∴x≠1，
−m−2
∴ ≠1，
2
∴m≠﹣4，
综上可知m为2的倍数且m≠﹣4．
∴只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能
为0是解题关键．20．（2022秋•安新县期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点
P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝
∠PCB＝30°，即可解决问题；
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的
关键．
1−2k 1
21．（2022秋•安新县期末）若关于x的分式方程：2− = 的解为正数，则k的取值范围为（
x−2 2−x
）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】先解分式方程可得x＝2﹣k，再由题意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，从而求出k的取值范围．
1−2k 1
【解答】解：2− = ，
x−2 2−x
2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，
2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，
2x＝4﹣2k，
x＝2﹣k，
∵方程的解为正数，
∴2﹣k＞0，
∴k＜2，
∵x≠2，
∴2﹣k≠2，
∴k≠0，
∴k＜2且k≠0，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程得到解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．
22．（2023•兴隆台区一模）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落
在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点 O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交
点，从而容易得到∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣130°），再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵直线MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣130°）＝100°，
∴∠BAC＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质及三角形内心的判定及性质，利用平行线间的距离处处相等判定点 O
是△ABC的内心是解题的关键．
23．（2022秋•龙胜县期末）如图中的大长方形都是由边长为 1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点
称之为格点，若A、B、C三点均在格点上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数有（
）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】分∠A为顶角和∠B为顶角判定即可．
【解答】解：当∠A为顶角时，符合的点有一个C ；
6
当∠B为顶角时，符合的点有五个C ，C ，C ，C ，C ，
1 2 3 4 5
一共有6个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形，分类思想，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
24．（2022秋•龙胜县期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF＝ ，则∠EDF的度数为（ ）
α
4α 2α 4α
A． B． C．180°− D．180°−
3 3 3
α
【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．
【解答】解：∵线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，
∴DE＝DF，AE＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF，∠EAD＝∠EDA，
∵∠DEF＝∠EAD+∠EDA，∠CDF＝∠EAD+∠DFA，
1 1
∴∠EAD= ∠≝= ∠DFA，
2 2
1 3
∴∠CDF= ∠DFA+∠DFA= ∠DFA，
2 2
2 2
∴∠DFA= ∠CDF= α，
3 3
4
∴∠EDF=180°−2∠DFA=180°− α，
3
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟
练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
25．（2023秋•西丰县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，F是BC中点，连接
AF，若AB＝4，AC＝6，DE＝3，则△AFB的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．9 D．12
【分析】过点 D 作 DG⊥AB 于点 G，根据角平分线的性质可得 DG＝DE＝3，从而得到 S△ABC ＝S△ABD +S△ACD ＝15，再由F是BC中点，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，DE＝3，
∴DG＝DE＝3，
1 1 1 1
∴S△ABC ＝S△ABD +S△ACD =
2
AB•DG +
2
AC•DE =
2
×（AB+AC）•DE =
2
×（4+6）×3＝15，
∵F是BC中点，
1 1
∴S△AFC =
2
S△ABC =
2
×15＝7.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
26．（2022秋•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为 ．点P在边BC上（点P
不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在α连接ED，CE并延长CE
交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的
是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3 B．∠DEF＝2
C．∠DEF＝2 ﹣xα D．∠DEF＝1α80°﹣3
【分析】由等腰α 三角形的性质求出∠CEP，由三角形外角的性质可α求∠PAB，∠DEP，由平角定义即可
求出∠DEF．
【解答】解：∵EC＝EP，
∴∠ECP＝∠EPC＝x，∴∠CEP＝180°﹣2x，
∵∠APC＝∠B+∠PAB，
∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，
∴∠PAB＝x﹣ ，
∵ED＝EA， α
∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣ ，
∴∠DEP＝∠EAD+∠EDαA＝2x﹣2 ，
∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，α
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2 ）＝2 ．
故选：B． α α
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
x+a 2a 1
27．（2022秋•海淀区校级期末）若关于x的分式方程 + = 的解是正数，则a的取值范围为（
x−3 3−x 3
）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠3 D．a＞1且a≠3
【分析】首先解分式方程用含a的式子表示x，然后根据解是非负数，求出a的取值范围即可．
x+a 2a 1
【解答】解：∵ + = ，
x−3 3−x 3
∴3（x+a）﹣6a＝x﹣3，
整理，可得：2x＝3a﹣3，
解得：x＝1.5a﹣1.5，
x+a 2a 1
∵关于x的分式方程 + = 的解是正数，
x−3 3−x 3
∴1.5a﹣1.5＞0，
解得：a＞1；
∵x≠3
∴1.5a﹣1.5≠3
解得：a≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式的方法，掌握分式分母是正数是关键．
28．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分
别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（ ）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3）
C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2）
【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．
【解答】解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，
∴点C在第三象限，
∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
1 x2
29．（2021秋•东港区校级期末）若 +x=3，则 =（ ）
x x4+x2+1
1 1
A．8 B． C．8或 D．无法确定
8 8
1
1 1 x2
【分析】由 x +x=3可得x2+ x2 =7，再把 x4+x2+1 变形为 x2+ 1 +1 ，再整体代入计算即可．
x2
1
【解答】解：∵ +x=3，
x
1
∴( +x) 2=32 ，
x
1
整理得，x2+ =7，
x2
x2 1 1 1
= = =
∴x4+x2+1
x2+
1
+1
7+1 8，
x2
故选：B．
1 x2
【点评】本题考查了分式的基本性质及求代数式值，掌握把 +x=3和 进行正确变形是关键．
x x4+x2+1
b+c a+c a+b
30．（2021秋•东港区校级期末）已知 = = =k，则k的值是（ ）
a b c
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．无法确定
【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c）＝k（a+b+c），根据因式分解，可得a+b+c＝0或k＝2，根
据分式的性质，可得答案．b+c a+c a+b
【解答】解：由 = = = k，得
a b c
b+c＝ak ①，a+c＝bk ②，a+b＝ck ③，
①+②+③，得
2（a+b+c）＝k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）﹣k（a+b+c）＝0，
因式分解，得
（a+b+c）（2﹣k）＝0
a+b+c＝0或k＝2，
a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，
b+c −a b+c
k= = =−1，k= =2，
a a a
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c）＝k（a+b+c）是解题关键，又利用
了分式的性质．
31．（2021秋•东港区校级期末）如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，
CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，
已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次
规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（ ）
n(n+1)
A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）
2
【分析】根据条件可得图 1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图 2中可证出△ABD≌△ACD，
△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第
n个图形中全等三角形的对数．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD与△ACD中，AB＝AC，
∠BAD＝∠CAD，
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE＝EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD＝CD，
又DE＝DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
n(n+1)
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是 ．
2
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对
三角形全等，然后寻找规律．
32．（2022秋•朝阳区期末）如图，O是射线CB上一点，∠AOB＝60°，OC＝6cm，动点P从点C出发沿
射线CB以2cm/s的速度运动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，
设运动时间为t（s），当△POQ是等腰三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6
【分析】分点P在线段CO上、点P在射线OB上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意得：CP＝2t cm，OQ＝t cm，
则当点P在线段CO上时，OP＝（6﹣2t）cm，当点P在射线OB上时，OP＝（2t﹣6）cm，
当点P在线段CO上，OP＝OQ时，6﹣2t＝t，
解得：t＝2，点P在射线OB上，OP＝OQ时，2t﹣6＝t，
解得：t＝6，
如图，点P在射线OB上，QO＝PQ时，过点P作PH⊥OP于H，
1 1
则OH= OP= （2t﹣6）＝t﹣3，
2 2
∵∠AOB＝60°，
∴∠OQH＝30°，
∴OQ＝2OH，
∴t＝2（t﹣3），
解得：t＝6，
综上所述：当△POQ是等腰三角形时，t的值为2或6，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
33．（海淀区校级期末）某小区有一块边长为 a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带．方案一如
S
图甲所示，绿化带面积为S甲 ；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙 ．设k =
S
甲 （a＞b＞0），下列选
乙
项中正确的是（ ）
1 1 3 3
A．0＜k＜ B． ＜k＜1 C．1＜k＜ D． ＜k＜2
2 2 2 2
【分析】由题意可求S甲 ＝2ab﹣b2，S乙 ＝2ab，代入可求k的取值范围．【解答】解：∵S甲 ＝2ab﹣b2，S乙 ＝2ab．
S❑ 2ab−b❑ 2 b
∴k= 甲= =1−
S❑ 2ab 2a
乙
∵a＞b＞0
1
∴ ＜k＜1
2
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键．
34．（2022秋•汉阳区校级期末）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数
的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）7 展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【分析】由“杨辉三角”得到：应该是（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．
【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
•••
当n＝7时，展开式的项系数和为＝27＝128，
故选：B．
【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，
得到规律即可求解．
35．（2022秋•汉阳区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，M为线段AB上一定点，P为线段
1
AC上一动点．当点P在运动的过程中，满足PM+ AP的值最小时，∠AMP 的大小等于（ ）
2A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】构造胡不归模型解题即可．
【解答】解：如图所示，构造胡不归模型：
过点A作∠CAN＝30°，过点P作PN⊥AN，MN ⊥AN交于AC于点P ，
1 1
∵∠CAN＝30°，PN⊥AN，
1
∴PN= PA，
2
1
∴PM+ AP＝PM+PN，
2
仅当点M，P，N三点共线，且MN⊥AN时，PM+PN的值最小，即为线段MN ，
1
1
PM+ AP的值最小时为线段MN ，
2 1
此时∠MAN＝60°，∠AN M＝90°，
1
∴∠AMP ＝30°．
1
故选：A．
【点评】本题考查了胡不归问题，熟练掌握胡不归模型建立是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
36．（2022秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，点D在△ABC外，连接
AD，BD，CD，
若∠DBA＝20°，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】以BC为边，在△ABC内作∠CBE＝∠ABD＝20°，连接DE．先利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质求出∠BEC说明BE＝BC，再说明△BDE是等边三角形、△AEB是等腰三角形，最后通
过说明△ADE是等腰三角形得结论．
【解答】解：如图，以BC为边，在△ABC内作∠CBE＝∠ABD＝20°，连接DE．
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°．
在△EBC中，
∵∠CBE＝20°，∠ACB＝80°，
∴∠BEC＝80°．
∴BC＝BE．
∵∠ACB＝80°，∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝50°．
∵∠ABC＝60°，∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝80°．
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝50°．
∴∠BDC＝∠BCD．
∴BD＝BC．
∴BD＝BE．
∵∠DBE＝∠DBC﹣∠EBC＝60°，
∴△DBE是等边三角形．
∴∠DEB＝60°，DE＝BE．
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAC＝40°．
∵∠ABE＝∠BAC＝40°．
∴BE＝AE＝DE．
∴∠EAD＝∠ADE．
∵∠AED＝180°﹣∠DEB﹣∠BEC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
180°−∠AED
∴∠DAE= =70°．
2
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAC＝70°﹣40°＝30°．
故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形，掌握等腰三角形的性质与判定、三角形的
内角和定理等知识点是解决本题的关键．
37．（2022秋•武昌区期末）已知a，b，c均为正整数，且满足2a×3b×4c＝3456，则a+b+c的取值不可能是
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝27×33，得到a+2c＝7，b＝3，再根据a，b，c均为正整数，求出a，c
的值，进而求出答案．
【解答】解：∵2a×3b×4c＝3456，
∴2a+2c•3b＝27×33，
∴a+2c＝7，b＝3，
∵a，b，c均为正整数，
∴当c＝1时，a＝5，此时a+b+c＝5+3+1＝9，
当c＝2时，a＝3，此时a+b+c＝3+3+2＝8，
当c＝3时，a＝1，此时a+b+c＝1+3+3＝7，
∴a+b+c不可能为10．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，有难度，根据a，b，c均为正整数求出a，c的值是解题
的关键．
38．当2（a+1）﹣1与3（a﹣2）﹣1的值相等时，则（ ）
A．a＝﹣5 B．a＝﹣6 C．a＝﹣7 D．a＝﹣8
【分析】直接利用负指数幂的性质得出等式进而求出答案．
【解答】解：∵2（a+1）﹣1与3（a﹣2）﹣1的值相等，
2 3
∴ = ，
a+1 a−2
解得：a＝﹣7，
当a＝﹣7时，（a+1）（a﹣2）≠0，故分式方程的解为：a＝﹣7．
故选：C．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确将原式变形是解题关键．
39．关于等腰三角形，以下说法正确的是（ ）
A．有一个角为40°的等腰三角形一定是锐角三角形
B．等腰三角形两边上的中线一定相等
C．两个等腰三角形中，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等
D．等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等
【分析】根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和判断即可．
【解答】解：A：如果40°的角是底角，则顶角等于100°，故三角形是钝角三角形，此选项错误；
B、当两条中线为两腰上的中线时，可知两条中线相等，
当两条中线一条为腰上的中线，一条为底边上的中线时，则这两条中线不一定相等，
∴等腰三角形的两条中线不一定相等，此选项错误；
C、若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等．则这两个等腰三角形不一定全等，故此选项错误；
D、等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解
题的关键．
40．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿
EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（ ）
A．106° B．108° C．110° D．112°
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝
∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根
据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，
再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
1 1
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°＝27°，
2 2
又∵AB＝AC，
1 1
∴∠ABC= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣54°）＝63°，
2 2
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三
角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解
题的关键．
