文档内容
专题16 分式重难点题型专训（9大题型）
【题型目录】
题型一 分式的判断
题型二 分式的规律性问题
题型三 按要求构造分式
题型四 分式有意义的条件
题型五 分式无意义的条件
题型六 分式值为零的条件
题型七 分式的求值
题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值
【知识梳理】
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【经典例题一 分式的判断】
1．（2023下·四川乐山·八年级统考期末）下列各式： ， ， ， ，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：在 ， ， ， 中，其中分式有： 、 共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，
如果不含有字母则不是分式．
2．（2022上·湖南怀化·八年级校联考阶段练习）在 ， ， ， ， 中分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
【详解】解： ， ， 分母中含字母，是分式；
， 分母中不含字母，不是分式；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
3．（2022下·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）式子 ， ， ， ，
中，分式有 个
【答案】3
【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可．
【详解】∵ ， 中，分母不含字母，
∴不是分式；
∵ 中，分母中含有字母a,b，
∴ 是分式；
∵ 中，分母中含有字母y，
∴ 是分式；
∵ 中，分母中含有字母x，
∴ 是分式；
共有3个，
故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
4．（2021下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）下列各式： （1﹣x）， ， ，
+x， ，其中是分式的有 个．
【答案】2
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解： （1﹣x）， ， ，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．
+x， ，分母中含有字母，因此是分式．
分式有两个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 ，不是分式，是整式．
5．（2022上·八年级课时练习）下列各式中，哪些是整式，哪些是分式，哪些是有理式？
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
（8） （9） （10） （11） （12）
【答案】见解析
【分析】根据整式、分式、有理式的基本概念来区分以下各式.
【详解】①②④⑧⑨（12）是整式，
③⑤⑥⑦⑩（11）是分式，
此12个代数式全都是有理式
【点睛】本题考查了整式、分式、有理式的概念，并区分它们的区别.
【经典例题二 分式的规律性问题】
1．（2023下·七年级单元测试）对于正数x，规定 ，例如： ，则的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2022.5 D．2020.5
【答案】C
【分析】根据已知规定，可得 ；进而可以解决问题．
【详解】∵ ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
，
∴ ；
则
．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型—数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应
用发现的规律解决问题．
2．（2022上·湖北武汉·八年级校考期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即
， ， ……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则 为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据题意可得 ， ， ，……，
由此发现规律 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
，
，
……，
由此发现， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
3．（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ， ，
， ， ， ，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
【答案】
【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加
1，分子都是前两个分式分子和得答案．
【详解】解：由给出的式子的特点，
即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，
由此可得第6个式子是 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具
有这些特征的推理成为归纳推理．
4．（2022下·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期末）已知y＝ ，y＝ ，y＝ ，y＝
1 2 3 4
，…，yn＝ ，请计算y ＝ （请用含x的代数式表示）．
2020
【答案】
【分析】通过计算发现运算结果 ， ， 循环出现，则y ＝y＝ ．
2020 1
【详解】解：∵y＝ ，
1
∴y＝ ＝ ＝ ，y＝ ＝ ＝ ，y＝ ＝ ＝ ，……，
2 3 4
∴运算结果 ， ， 循环出现，
∵ ，
∴y ＝y＝ ，
2020 1
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
5．（2023下·安徽亳州·七年级统考期末）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示， 为正整数），并说明等式成立的理由．
【答案】(1)
(2)猜想第 个等式为 ，理由见解析
【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据数字规律即可写出第 个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立．
【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为： ．
故答案为： ；
（2）猜想第 个等式为 ．
理由：左边
，
∴左边 右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【经典例题三 按要求构造分式】
1．（2022上·八年级单元测试）把a千克盐溶于b千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x千克，则其
中含盐（ ）A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
【答案】A
【分析】盐＝盐水×浓度，而浓度＝盐÷（盐＋水），根据式子列代数式即可．
【详解】该盐水的浓度为 ，
故这种盐水x千克，则其中含盐为x× ＝ 千克．
故选A．
【点睛】解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．本题需注意浓度＝溶质÷溶液．
2．（2022上·上海虹口·七年级校考阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需 小时完成，甲单独做需 小
时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】甲、乙两人合作需 小时完成，得甲乙一小时完成 ，甲单独做需 小时完成得甲一小时完成 ，
由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案.
【详解】 ，
故选D
【点睛】此题考查分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意 是甲乙工作效率的和，需减去
甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间.
3．（2022上·山东泰安·八年级校考阶段练习）有两块棉田，第一块x亩，亩产量m千克，第二块y亩，亩
产量n千克，这两块棉田平均亩产量是 ．
【答案】
【分析】用两块地的总产量除以总亩数即可求得答案．
【详解】解：这两块地的平均亩产量是（mx＋ny）÷（x＋y）＝ 千克．
故答案为： ．【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运
算关系，正确的列出代数式．
4．（2021·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）为了满足不同群体的口味偏好，某坚果公司推出原味和奶
香味两种口味的袋装坚果，原味每袋有8克核桃仁，8克巴旦木，8克黑加仑；奶香味每袋有16克核桃仁，
6克巴旦木，6克黑加仑．每袋坚果的成本为三种坚果成本之和．已知核桃仁每克成本价0.25元，原味坚
果每袋的售价为9.45元，利润率为12.5%，奶香味坚果每袋利润率为25%．若这两种袋装的销售利润率达
到20%，则该公司销售原味、奶香味两种坚果的数量之比为 ．
【答案】44∶63
【分析】根据已知条件列出表格，算出奶香成本和利润，即可得解；
【详解】
数 0.25核 a巴 b黑 售 成 利
m 原 8 8 8 9.45 8.4 1.05
n 奶 16 6 6 8.8 2.2
，
∴ ，
∴奶香成本 ，
利润 ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．
5．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分
数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于
只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数
小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如： 这
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式 的值为正整数，则整数 的值为________________；
(4)将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据定义进行化简即可得到答案；
（3）根据题意列出方程即可求出 的值；
（4）先化为 ，在计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
分式 是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：根据题意可得：
，
故答案为： ；
（3）解：由（2）可得： ，当 为正整数时，
或 ，
，
故答案为： ；
（4）解：根据题意可得：
．
【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等
题型．
【经典例题四 分式有意义的条件】
1．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）若要使分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件判断即可．
【详解】要使分式 有意义，则 ，解得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分式中分母不等于零时，分式有意义．
2．（2022上·广东河源·八年级校考期中）要使分式 有意义，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴分式 有意义，x的取值范围 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
3．（2023下·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）若代数式 有意义，则实数x的取值范围为
．
【答案】 且
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
4．（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）分式 无论x取何值总有意义，则m的取值为
．
【答案】 /
【分析】若分式 不论x取何实数总有意义，则其分母 能写成 的形式，
利用 ，求字母的范围．
【详解】 ，
∵无论 取何实数时， 都有意义且 ，
∴ ，
∴ ．故答案是： ．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否
则分式无意义．当证明一个分式总有意义时，一般的方法是把分母能整理成 的形式，即
一个完全平方式与一个正数的和的形式．这样不论字母取何值，式子 恒大于零，分式总
有意义．
5．（2023下·全国·七年级专题练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．
解：
(1)请将小明对此题 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式 都有意义，求m的取值范围．
【答案】(1)补全过程见分析
(2)
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要
即可，根据 求解即可得到结论；
（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式 都有意义时m的取值范围．
【详解】（1）解：根据无论x取何实数，分式 总有意义，
∴只要当 ，即可满足题意
∴
（2）解：由（1）可知
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义
∴只要当 ，即可满足题意
∴ ．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到完全平方公式及不等式的性质，熟练掌握相关知识
是解决问题的关键．
【经典例题五 分式无意义的条件】
1．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）若分式 无
意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程 ，解方程即可．【详解】∵分式 无意义，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件．
2．（2022下·安徽合肥·七年级统考期末）已知分式 （ ， 为常数）满足表格中的信息，则下列结
论中错误的是（ ）
的取值 －2 2
分式的
无意义 0 1 2
值
A． B． C． D． 的值不存在
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．
【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义，
∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，
故分式为： ，
当x=2时，分式的值为0，
故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，
故分式为： ，
当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，
故 ，故C正确，
当 时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．
3．（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式 无意义，则实数 的值是 ．【答案】
【分析】根据分式无意义的条件得出 ，再求出答案即可．
【详解】解：要使代数式 无意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式无意义的条件，能熟记分式无意义的条件是解此题的关键，当分母 时，式
子 无意义．
4（2020·湖南郴州·统考中考真题）若分式 的值不存在，则 ．
【答案】-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】∵分式 的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
5．（2022上·八年级单元测试）已知：代数式 ．
(1)当 为何值时，该式无意义？
(2)当 为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1)
(2) 或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ；（2）解： 代数式 的值为正整数，
或 ，
解得： 或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
【经典例题六 分式值为零的条件】
1．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）若分式 的值为0，则x的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得 且 ，即可确定出x的值．
【详解】解：由题意得： ，
则 且 ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022上·四川绵阳·八年级校考阶段练习）若分式 的值为0，则x的值是( )．
A．1或 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，再建立方程与不等式解题即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得： ，
当 时， ，舍去，
当 时， ，符合题意，
∴ ，
故选C
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，利用平方根的含义解方程，熟记分式的值为0的条件是解本
题的关键．
3．（2023下·陕西汉中·八年级校考阶段练习）若分式 的值为0，则实数x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件列方程组求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
4．（2022上·湖南永州·八年级统考期中）当 时，分式 的值等于0．
【答案】
【分析】根据分式为 的条件，列式求解即可得到答案．
【详解】解： 分式 的值等于0，
，且 ，
解 得到 或 ，
当 ， ，故 不符合题意，舍弃；
当 ， ，故 符合题意；
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式为 的条件，熟练掌握解含绝对值的方程是解决问题的关键．
5．（2023上·八年级课时练习）当 为何值时，分式 的值为0？【答案】
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可解答．
【详解】解： 分式 的值为0，
，且 ，
解得 且 ，
．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为
0．
【经典例题七 分式的求值】
1．（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 ，则 值为（ ）
A．10 B．11 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据已知变形得到 ，进而可得 ，求出 ，再将所求代数式变形得
到即可答案．
【详解】解：∵ ，且根据题意有： ，
∴ ，即 ，
即 ，
∴ ， 即 ，
则
．
故选：C．【点睛】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由 ， 得到 ，
是解题的关键．
2．（2023下·河北保定·八年级统考期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．A为整数值时，
【答案】C
【分析】根据分式的性质逐项求解即可．
【详解】解：A、当 时， ，故选项错误，不符合题意；
B、当 时，即 ，无解，故选项错误，不符合题意；
C、当 时，
∴ ，故选项正确，符合题意；
D、A为整数值时， 为整数值，
∴ 为整数值，
∴ 或 或3或
∴解得 或0或4或 ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键．
3．（2023上·山东威海·九年级校考阶段练习）若分式 ，则分式 的值等于 ．
【答案】1
【分析】由 可得 ，再将 化为 ，最后整体代入，进行计算即
可得到答案．【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了求分式的值，根据题意得出 ，采用整体代入的思想进行计算是解题的关键．
4．（2023上·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）若 ，则 ＝ ．若 ，则 ＝
．
【答案】
【分析】由 可得 ，代入 化简即可解答；由 可得 ，化简即可得到a、
b的关系式，进而得到 的值
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，
【点睛】本题考查分式的性质与运算，熟练掌握分式的性质与运算是解题的关键．
5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若x，y均为实数， ， ，求 的值．
【答案】1
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出 ，再根据积的乘方法则得出
，得出 ，从而求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，分式的求值，根据运算法则将式子进行相
应的换算是解题的关键．
【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】
1．（2022上·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于 的不等式 的解集是 ，则关于的不等式 的解集是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】由题意知， ， ，且 ，故不等式 可变形为 或 ，解之即
可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴不等式 可变为 ，
∴
∴ 或 ，
∴ 或 ．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于0的解法，考查
学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键．
2．（2020上·山东日照·八年级统考期末）已知分式 的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【分析】若 的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取
值范围．
【详解】解：∵ ＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式 （b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式
（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】根据题意可得 ，要使分式 的值为负数，即分母 且 ，然后解不等式即可．
【详解】解：∵ ，
∴分式 的值为负数，即分母 且 ，解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
4．（2021下·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式 的值为正数，则 的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得 ， ，由此即可得．
【详解】解： 分式 的值为正数，且 ，
且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
5．（2022上·全国·八年级专题练习）已知 ， 取哪些值时：
(1) 的值是正数；
(2) 的值是负数；
(3) 的值是零；
(4)分式无意义．【答案】(1)
(2) 或
(3)
(4)
【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况，列不
等式组，即可求解；
（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是
负数，分母是正数两种情况进行讨论，列不等式组，即可求解；
（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求解；
（4）分式无意义的条件是分母等于0．
【详解】（1）解： 的值是正数，
或 ，
解得 或
故当 时，y为正数；
（2）解： 的值是负数，
或 ，
解得 或
故当 或 时，y为负数；
（3）解：当 时，即 时，y值为零；（4）解：当 时，即 时，分式无意义．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式有意义的条件．掌握分式的概念及分式的值为正或
负时，分子与分母的符号关系是解题的关键．
【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】
1．（2020上·山东济南·八年级统考期中）已知a为整数，且 ÷ 为正整数，求所有
符合条件的a的值的和（ ）
A．8 B．12 C．16 D．10
【答案】C
【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值
相加即可．
【详解】解： ﹣ ÷
＝ ﹣ ×
＝ ﹣
＝
＝ ，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣5＝1，5，
∴a＝6，10，
∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．
2．（2022下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）若 取整数，使分式 的值为整数的 值有（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】把分式转化为 ，即可转化为讨论 的整数值有几个的问题．
【详解】解： ，
当2x−1＝±6或±3或±2或±1时， 是整数，即原式是整数，
当2x−1＝±6或±2时，x的值不是整数，当2x−1＝±3或±1时满足条件，
故使分式 的值为整数的 值有4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，把原式化简为 的形式是解决本题的关键．
3．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知n为整数，当 时，分式 的值是整数．
【答案】 或0或2或3
【分析】根据分式 的值是整数，得出2能别 整除，则 或 或1或2，求解即可．
【详解】解：∵分式 的值是整数，
∴2能别 整除，
∴ 或 或1或2，
解得： 或0或2或3，
故答案为： 或0或2或3．
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是根据整数的定义得出2能别 整除．
4．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）若分式 的值为整数， 的值也为整数，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】根据分式 的值为整数， 的值也为整数，可得 或 或 ，求出 的值，即可确定
出 的最小值．
【详解】解： 分式 的值为整数， 的值也为整数，或 或 ，
或 或 或 或 或 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．
5．（2021下·四川乐山·八年级统考期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”，如： ， ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”，如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和
的形式，如： ；
．
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
【答案】(1)假
(2) ，
(3)当x＝2或0时，分式 的值为整数
【分析】（1）根据定义即可求出答案；（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数，
∴分式 是假分式，
故答案为：假；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
∵分式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得x=2或x=0，
∴当x＝2或0时，分式 的值为整数．
【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．【重难点训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期中）代数式 ， ， ， 中，属于分式的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据分式的定义形如 ，分母 含有字母的式子， ， 都是整式，进行判断即可．
【详解】∵ 中分母含有字母是分式；
中分母不含有字母是整式；
中分母含有字母是分式；
中分母不含有字母是整式；
∴一共 个分式，
故选： ．
【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键．
2．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：要使分式 有意义，
则 ，即 ，
∴ 且 ，
故选： ．【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为 是解题的关键．
3．（2021下·安徽六安·七年级校考阶段练习）分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． ≠ B． ≠ 且 ≠ C． ≠ 或 ≠ D． ≠ 且 ≠
【答案】B
【分析】根据分式分母不为 列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得： 且 ，
∴ 且 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，掌握分式分母不为 是解题的关键．
4．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）若分式 的值为正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，然后解这两个不等式组即可求出结论．
【详解】解∶ ，
∵分式 的值为正数，
∴ ，
解得 且 ．
故选∶B．
【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得
负，并把绝对值相除是解题的关键．
5．（2022下·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式： ， ， ， ，…
根据其蕴含的规律得（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，
……
由此看出， ， ， ， …… （ 为正整数）的值是按照n， ， 每3个一循环，依次循环
下去，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
6．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）已知： ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题关键．先根据 可得 ，再代
入计算即可得．
【详解】解：由 得： ，
，
，故答案为： ．
7．（2023上·浙江·七年级周测）已知三个互不相等有理数 ，既可以表示为 的形式，又可以
表示为0， 的形式，则 值是 ．
【答案】
【分析】由于 有意义，则 ，则应有 ， ， ，故可得到 ， ，代入即可求
解．
【详解】解：∵ 为互不相等的三个有理数，
∴ 为有理数，
∴ ，
∵ 和0， 对应相等，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题实数的运算，属于探索性题目，解题的关键是根据已知条件求出未知数的值．
8．（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）已知分式 的值为正数，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出 的范围．
【详解】解：∵ 的值为正数，
∴ 或 ，
解得： 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组．
9．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）给定下面一列分式： ， ， ， ，…（其中
），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式 ．
【答案】
【分析】第 个： ，第 个： ，第 个： ， 第 个：
，据此找出第 个分式即可求解．
【详解】解：由题意可知
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键．10．（2023下·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）若 ，则 的值是
．
【答案】
【分析】先根据已知条件式得到 ，进而得到 ，则可推出 ，
，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确推出 ， 是解题的关键．
11．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）已知 ，求 的值．
【答案】46
【分析】本题考查分式的求值．将 两边同时除以 ，得到 ，进行得到 ，
进行求解即可．解题的关键是得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）已知实数x，y满足： ，求 的值．
【答案】5
【分析】根据 推出 ，再将其代入式子进行计算即可．
【详解】解： ，
．
．
．
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
13．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）已知非零实数 满足 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)5
(2)23
【分析】本题考查代数式求值，涉及根据已知代数式值恒等变形求值，利用完全平方公式恒等变形求值，
熟记完全平方公式、掌握配方法是解决问题的关键．
（1）根据题中已知代数式的值，恒等变形即可得到答案；（2）由（1）中 ，利用完全平方公式将 配方，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 非零实数 满足 ，
，即 ；
（2）解：由（1）知 ，
．
14．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知： ，求下列各式的值
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 可得 ，然后代入 计算即可；
（2）由 可得 ，然后代入 计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的约分、代数式求值等知识点，灵活对已知代数式进行变形是解答本题的关
键．
15．（2023上·八年级课时练习）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当 取何值时，分
式 的值为正？
解：依题意得 ，则有① 或② ，
解不等式组①得 ，解不等式组②得不等式组无解，故 ．
所以当 时，分式 的值为正．
依照上面方法解答问题：
(1)当 取何值时，分式 的值为负？
(2)当 取何值时，分式 的值为负？
【答案】(1)
(2) 且
【分析】（1）由题意分式 的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解
出不等式组的解集；（2）由题意分式 的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口
诀，分别解出不等式组的解集；
【详解】（1）解：依题意，得 ，
则有 ①或 ②，
解不等式组①得：不等式无解；
解不等式组②得： ，
不等式的解集是： ，
当 时，分式 的值为负；
（2）解： ，
，
依题意得 ，
，
则有① ，或② ，
解不等式组①得 且 ，
解不等式组②得不等式组无解，
故 且 ，
所以当 且 时，分式 的值为负．
【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论．
