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第 15 章 分式过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．下列各式中，是分式的是（ ）
x 3 x y
A． B． C．x2 D． +
3 x 2 3
【答案】B
A
【分析】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，
B
其中A叫做分子，B叫做分母，根据分式的定义逐一判断即可求解．
x
【详解】解：A、 是整式，不是分式，故不符合题意；
3
3
B、 符合分式的定义，是分式，故符合题意；
x
C、x2是整式，不是分式，故不符合题意；
x y
D、 + 是整式，不是分式，故不符合题意．
2 3
故选：B．
2．若x≠ y，则下列分式化简中，正确的是（）
x+1 x x−1 x −x x x2 x
A． = B． = C． = D． =
y+1 y y−1 y −y y y2 y
【答案】C
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式的基本性质是分式
的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．本题属于基础题型．根据分式的基
本性质即可求出答案．
x+1 x
【详解】解：A、 ≠ ，故A不符合题意．
y+1 y
x−1 x
B、 ≠ ，故B不符合题意．
y−1 y
−x x
C、 = ，故C符合题意．
−y yx2 x
D、 ≠ ，故D不符合题意．
y2 y
故选：C．
3．如果当x=−1时，分式M的值为0，那么M可以是（ ）
x−1 1−x x+1 x−1
A． B． C． D．
x+1 x+1 x−1 x2−1
【答案】C
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
x−1
【详解】解：A．当x=−1时，分式 没有意义，故本选项不符合题意；
x+1
1−x
B．当x=−1时，分式 没有意义，故本选项不符合题意；
x+1
x+1
C．当x=−1时，分式 的值为0，故本选项符合题意；
x−1
x−1
D．当x=−1时，分式 没有意义，故本选项不符合题意．
x2−1
故选：C．
−x2 x
4．化简 − 的结果是（ ）
x−1 1−x
x
A．0 B．1 C．−x D．
x−1
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的减法计算，先把减法变成加法，再合并，然后把分子分解因式后约分
即可得到答案．
−x2 x
【详解】解： −
x−1 1−x
−x2 x
= +
x−1 x−1
−x2+x
=
x−1
−x(x−1)
=
x−1
=−x，故选：C．
mn
5．若将 （m、n均为正数）中的字母m、n的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
m+n
A．扩大为原来的2倍 B．不变
1
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍
2
【答案】A
【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．根据分式的性质求解即可．
mn
【详解】解：将 （m、n均为正数）中的字母m、n的值分别扩大为原来的2倍，
m+n
2m×2n 2mn
则 = ，
2m+2n m+n
∴分式的值扩大了2倍，
故选：A．
6．沾益区某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，开展“读书好、
读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，因为双减政策的落地实施，学生课外作业量减少，自主活
动时间增加，小明同学实际每周比原计划每周多阅读50页课外书，实际阅读400页所需的时间与原计
划阅读300页所需时间相同，设实际每周阅读课外书x页，则下列方程正确的是（ ）
400 300 300 400 400 300 300 400
A． = B． = C． = D． =
x−50 x x−50 x x+50 x x+50 x
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设实际每周阅读课
外书x页，则原计划每周阅读课外书(x−50)页，根据“实际阅读400页所需的时间=原计划阅读300页
所需时间”，即可获得答案．
【详解】解：设实际每周阅读课外书x页，
300 400
根据题意可得 = ．
x−50 x
故选：B．
1 3
7．分式 与 的最简公分母是（ ）
2x2y 4x3
A．2x2 B．2x2y C．4x2y D．4x3y
【答案】D
【分析】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，先找系数的最小公倍数，找所有因式的最高次幂，其积便是最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
1 3
【详解】解：分式 与 的分母分别是2x2y、4x3，故最简公分母是4x3y，
2x2y 4x3
故选：D．
8．下列说法中，正确的是（ ）
2 1
A． 与 的最简公分母是5a2b
3ab 2a2
1 1
B． 与 的最简公分母是(a+b) 2
a+b2 a2+b
a+1 b+1
C． 与 的最简公分母是(a−b)(a+b)
(a−b)(a+b) (b−a)(b+a)
1 1
D． 与 的最简公分母是(x2−2x+1)⋅(x2−1)
x2−2x+1 x2−1
【答案】C
【分析】本题考查了分式的最简公分母，属于简单题，熟悉概念是解题关键．
根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数，相同字母取最高次幂，并且包含所有字母都要出现，
熟悉概念即可解题．
2 1
【详解】A． 与 的最简公分母是6a2b，选项错误；
3ab 2a2
1 1
B． 与 的最简公分母是(a+b2)(a2+b)，选项错误；
a+b2 a2+b
a+1 b+1
C． 与 的最简公分母是(a−b)(a+b)，选项正确；
(a−b)(a+b) (b−a)(b+a)
1 1
D． 与 的最简公分母是(x−1) 2 (x+1)，选项错误．
x2−2x+1 x2−1
故选：C．
a b
9．已知a+b=3，ab=−5，则 + 的值为（ ）
b a
14 16 19 24
A．− B．− C．− D．−
5 5 5 5
【答案】C
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的加法运算法则化简分式，再整体代值求解即可．
【详解】解：∵a+b=3，ab=−5，
∴ ，
a2+b2=(a+b) 2−2ab=32−2×(−5)=19a b a2+b2 19 19
∴ + = = =− ，
b a ab −5 5
故选：C．
1 1 x−3xy+ y
10．若 + =2，则 的值为（ ）
x y 5x+5 y−7xy
1 3 1 3
A． B． C．− D．−
3 7 3 5
【答案】C
【分析】本题考查分式的基本性质，整体法求代数式的值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
利用分式的基本性质，把分子和分母同时除以xy，再整体代入求值即可．
1 1
【详解】解：∵ + =2，
x y
∴x≠0，y≠0，
x−3xy+ y
∴
5x+5 y−7xy
1 1
−3+
y x
=
5 5
+ −7
y x
2−3
=
5×2−7
1
=−
3
故选：C．
x m
11．若分式方程 +1= 有增根，则m的值为（ ）
x−1 x−1
A．0 B．1 C．2 D．−1
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．
本题考查的是含参分式方程有增根的问题，掌握增根的意义是解题的关键．
x m
【详解】将方程 +1= 去分母得到：
x−1 x−1
x+x−1=m，
整理，得2x=1+m，
x m
∵分式 +1= 会产生增根，
x−1 x−1∴x−1=0
解得x=1，
当x=1时，m=1；
故选B．
2 mx
12．如果关于x的不等式组¿的解集为x<1，且关于x的分式方程 + =3有非负数解，那么所有符
1−x x−1
合条件的整数m的值之和为（ ）
A．−2 B．0 C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是由不等式组的解集求参数的取值范围，分式方程的非负整数解问题，掌握以上
知识是解题的关键．
先解不等式组，由不等式组的解集求m的取值范围，再解分式方程，由分式方程有非负数解，求值m
的范围，综合得到m的范围，结合m为整数，可得答案．
【详解】解： { x−m ≤ 1① )
3
x−4>3(x−2)②
由①得：x−m≤3，
∴x≤m+3，
由②得：x−4>3x−6，
∴−2x>−2，
∴x<1，
∵ 不等式组的解集为：x<1，
∴m+3≥1，
∴m≥−2，
2 mx
由 + =3可得，
1−x x−1
∴2−mx=3−3x，
∴(3−m)x=1，
∵ 分式方程有非负数解，
1 1
∴x= ≥0，且 ≠1，
3−m 3−m
∴3−m>0，且m≠2，∴m<3，且m≠2，
综上：−2≤m<3且m≠2，
又m为整数，
∴m为−2,−1,0,1.
∴−2+(−1)+0+1=−2，
故选：A
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
x y x+ y
13．若 = ，则 = ．
2 3 x−y
【答案】−5
【分析】本题考查了代数式求值，分式化简求值，理解分式的混合运算法则是解答关键．
x y 2 x+ y
根据 = 得到x= y，代入 中进行计算求解．
2 3 3 x−y
x y
【详解】解：∵ = ，
2 3
2
∴x= y，
3
x+ y
∴
x−y
2
y+ y
3
=
2
y−y
3
5
y
3
=
1
− y
3
=−5．
故答案为：−5．
x
14．当x的值为 时，分式 无意义．
x−1
【答案】1
【分析】本题考查分式无意义的条件，掌握分母为零时分式无意义是解题的关键．
根据分母为零时分式无意义进行解题即可．x
【详解】解：分式 无意义时x−1=0，
x−1
解得x=1，
故答案为：1.
1 1
15．已知x+ =6，则x2+ 的值是 ．
x x2
【答案】34
【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．将已知等式两边平方，化简可得
结果．
1
【详解】解：∵ x+ =6，
x
∴ ( x+ 1) =62 ，
x
1 1
x2+2x· + =36，
x x2
1
x2+ +2=36，
x2
1
x2+ =34，
x2
故答案为：34．
4a 3c 5b
16．分式 ， ， 的最简公分母是 ．
5b2c 4a2b 2ac2
【答案】20a2b2c2
【分析】本题考查最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①找系数：找各分母中系数的最小公倍
数；②找分母：找各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；③找指数：取各相同字母因式或多
项式字母因式的最大指数求解即可．
4a 3c 5b
【详解】解：分式 ， ， 的最简公分母是20a2b2c2，
5b2c 4a2b 2ac2
故答案为：20a2b2c2．
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了
的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写
(a+b) n (n=1,2,3,4⋅⋅⋅) a出( 2) 2019展开式中含 项的系数是 ．
x+ x2017
x
1 1 ¿ (a+b) 1=a+b (a+b) 2=a2+2ab+b2 ¿1¿3¿3¿1¿¿(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 ¿1¿4¿6¿4¿1¿¿(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ¿
1 2 1 ¿
【答案】4038
【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题．
首先确定x2017是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：由(
x+
2) 2019
=x2019+2019⋅x2018 ⋅
(2)
+…+
(2) 2019可知，
x x x
展开式中第二项为
2019⋅x2018
⋅
(2)
=4038x2017
，
x
∴( 2) 2019展开式中含 项的系数是4038．
x+ x2017
x
故答案为4038．
18．若关于 的方程a−x 8 有正整数解，且关于 的不等式组{2(x+2)≤9+3x)有且只有3个整
x +3= x
x−3 3−x 8x+170，且 ≠3，进而可得a<1且a≠−5；再解不等式组，可得−5≤x< ，根据该不等
2 2 8
式组有且只有3个整数解，即可确定a的取值范围，进一步确a的整数解，即可获得答案．
a−x 8
【详解】解： +3= ，
x−3 3−x
去分母，可得 a−x+3(x−3)=−8，
去括号，可得 a−x+3x−9=−8，
移项、合并同类项，得 2x=1−a，
1−a
系数化为1，得 x= ，
2a−x 8
∵关于x的方程 +3= 有正整数解，
x−3 3−x
1−a 1−a
∴ >0，且 ≠3，
2 2
解得a<1且a≠−5，
解不等式组{2(x+2)≤9+3x)，
8x+171）的正方形去掉一个边长为1米的正方
形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a−1）米的正方形，两块试验田的水
总产量
稻都收了600kg．（补充知识：单位面积产量= ）
总面积
(1)优选1号水稻的单位面积产量是 ；优选2号水稻的单位面积产量是 ．
(2)“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1) 600 kg/m2 ， 600 kg/m2
a2−1 (a−1) 2
a+1
(2)
a−1
【分析】本题考查了分式运算的实际应用，正确列式并计算是解题的关键．
（1）根据题意分别求出两种水稻的单位产量，比较即可得到结果；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意得：“优选1号”面积为 ，
(a2−1)m2
600
则“优选1号”水稻单位面积产量为
kg/m2
；
a2−1
“优选2号”面积为 ，
(a−1) 2m2则“优选2号”水稻单位面积产量为 600 kg/m2；
(a−1) 2
（2）根据题意得： 600 600 1 a+1，
÷ = ×(a+1)(a−1)=
(a−1) 2 a2−1 (a−1) 2 a−1
a+1
则“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的 倍．
a−1
23．（10分）在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．
下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15000元，B种物资每箱
12000元．若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：
A、B两种物资均需购买，并按整箱配送．）
【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人
(2)购买方案有两种：一种是A物资买8箱，B物资买10箱，另一种是A物资买4箱，B物资买15箱．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
7
（1）设甲公司有x人，则乙公司有(x+20)人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的 倍，即可得出关
6
于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n
的二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设甲公司有x人，则乙公司又(x+20)人，根据题意得：
100000 7 140000
× = ，
x 6 x+20
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴x=20=120，
答：甲公司有100人，乙公司有120人．（2）解：设购买A种物资m箱，购买B种物资n箱，且n≥10，m，n都是正整数，
根据题意得：
15000m+12000n=100000+140000，
5m=80−4n，
4
m=16− n，
5
①当n=10时，m=8符合题意；
②当n=15时，m=4符合题意；
③当n=20时，m=0不符合题意，
综上所述，购买方案有两种：一种是A物资买8箱，B物资买10箱，另一种是A物资买4箱，B物资
买15箱．
mx x−3
24．（10分）已知关于x的分式方程 − =1．
x−2 2−x
(1)当m=1时，甲同学的解题过程如下：
解：（第一步）去分母，得：x+(x−3)=1，
（第二步）去括号，得：x+x−3=1，
（第三步）合并同类项，得：2x=4，
（第四步）系数化为1，得：x=2，
（第五步）检验：当x=2时，x−2=0，所以x=2是增
根，
（第六步）所以原分式方程无解．
甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法；
(2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值．
【答案】(1)一，正确解法见解析
1
(2)m=
2
【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；
③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程．
（1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可；
（2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到x=2，将其代入整式方程即可求解．
【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误，
正确的解法：
去分母，得：x+(x−3)=x−2，
去括号，得：x+x−3=x−2，移项、合并同类项，得：x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
所以x=1是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得：mx+(x−3)=x−2，
∵原方程有增根，
∴x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得2m+(2−3)=2−2，
1
解得m= ，
2
1
∴原方程有增根时，m= ．
2
25．（10分）华联商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，每件
按58元很快卖完．由于销路很好，又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，单价比广
州贵了10%，但商厦仍按原售价销售，最后剩下的15件按八折销售，很快售完．
(1)求第一次购进饰品的单价
(2)求该商厦这两批饰品生意共赚了多少钱？（不考虑其他因素）
【答案】(1)40元
(2)7626元
【分析】本题考查分式方程的应用．
（1）设第一次进价为x元，后根据进货量多了100件列出方程求出x的值，
（2）分别求出第一次和第二次共卖了多少钱，再根据利润=售价－成本得出答案．
【详解】（1）解：设第一次进价为x元，根据题意得
8000 13200
= −100
x 1.1x
解得x=40，
经检验：x=40是原分式方程的解，
答：第一次进价为40元；
（2）第一次每件的进货价为40元，进了8000÷40=200件，一共卖了58×200=11600（元） ，
第二次进了200+100=300件，前285件，每件卖58元，一共卖了58×285=16530（元），最后15
件卖了15×58×0.8=696（元），
两次一共卖了11600+16530+696=28826（元），
成本一共是8000+13200=21200（元），
所以一共赚了28826−21200=7626（元）．答：该商厦这两批饰品生意共赚了7626元．
26．（10分）阅读理解:
定义：若分式A和分式B满足A−B=n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”．
3x 3 3x 3
例如： − =3，我们称 是 的“3差分式”，
x−1 x−1 x−1 x−1
解答下列问题：
1 x
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
1−x 1−x
C 2x
(2)分式 A= 是分式 B= 的“2差分式”．
9−x2 3−x
①C= （含x的代数式表示）；
②若A 的值为正整数，x为正整数，求A的值．
x−3 y y+x
(3)已知xy=1，分式 是 − 的“4差分式”（其中x，y为正数），求x−y的值．
y x
【答案】(1)1
(2)①18+6x；②A的值为3或6
(3)x−y的值为±2
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“2差分式”的计算方法可得A−B=2，结合分式的混合运算即可求解；
x−3 y y+x
（3）根据“4差分式”的计算方法可得 + =4，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可
y x
得(x−y) 2 ，结合 ，由此即可求解．
=4 xy=1
xy
1 x 1−x
【详解】（1）解： − = =1，
1−x 1−x 1−x
故答案为：1；
（2）解：① C 2x(3+x) C−2x2−6x ，
A−B= − = =2
(3+x)(3−x) (3+x)(3−x) (3+x)(3−x)
∴C−2x2−6x=18−2x2，
解得，C=18+6x；② 18+6x 6(3+x) 6 ， 为正整数，
A= = = x
9−x2 (3+x)(3−x) 3−x
∴当3−x=1时，x=2，则A=6；
当3−x=2时，x=1，则A=3；
当3−x=3时，x=0，不符合题意，舍去；
当3−x=6时，x=−3，不符合题意，舍去；
∴A的值为3或6；
（3）解：x−3 y ( y+x) ，
− − =4
y x
x−3 y y+x
+ =4
y x
x2−3xy y2+xy
+ =4
xy xy
x2−2xy+ y2
=4
xy
(x−y) 2 ，且 ，
=4 xy=1
xy
∴ ，
(x−y) 2=4
∵x，y为正整数，
∴x−y=±2，
∴x−y的值为±2．
