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专题15.5 分式的乘除（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：
a c ac
b d bd ，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0 .
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：
a c a d ad
b d b c bc a、b、c、d bcd 0
，其中 是整式， .
要点提醒：
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是 1的代数式）和分式的分子相乘
作为分
子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
【知识点2】分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
a n an
b bn n
（ 为正整数）.
要点提醒：
a n an a n an
b bn b b
写成
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时
应先
分解因式，再约分.
ab 2 ab2 a2 b2
b b2 b2
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如 .
【考点目录】【考点一】分式的乘除法； 【考点二】分式的乘除混合运算；
【考点三】分式的乘方； 【考点四】含有乘方的分式混合运算.
【考点一】分式的乘除法
【例1】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）计算：
（1） ； （2） ÷ ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先把分式的分子或分母分解因式，再根据分式的乘法法则进行计算，约分化为最简分
式即可；
（2）先把分式的法则或分母分解因式，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，约
分化为最简分式即可．
解：（1）
＝ ；
（2） ÷ ．
= ．
= ．
【点拨】本题考查分式乘除混合运算，掌握分式乘除混合运算顺序，因式分解，约分，最简分式是解
题关键．
【举一反三】
【变式1】（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）计
算：（1） ； （2） ；
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用因式分解进一步约分化简即可.
（2）将除法转换为乘法，然利用因式分解进一步约分化简即可.
解：（1）原式=
；
（2）原式
.
【点拨】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握相关方法是解题关键.
【变式2】（2022上·八年级单元测试）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．
（1）解：；
（2）
．
【点拨】本题考查了分式的乘法运算以及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
【考点二】分式的乘除混合运算
【例2】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的基本性质约分即可得到答案．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1） . （2） .
【答案】（1） ；（2）【分析】（1）直接根据分式的乘除运算法则解答即可；
（2）分式的分子、分母先分解因式，把除法转化为乘法，再约分即可得到答案.
解：（1）原式 ；
（2）原式 .
【点拨】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键.
【变式2】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约
分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．
（1）解：原式
（2）解：原式
【点拨】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是
解题关键．
【考点三】分式的乘方【例3】（2022上·湖北武汉·八年级校考期末）计算：
（1） ； （2） ；
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据多项式乘多项式可进行求解；
（2）先算乘方，然后再根据分式的乘除进行求解．
（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点拨】本题主要考查多项式乘以多项式及分式的乘除运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2018上·湖北·八年级统考期中）计算：（1） ；（2）
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则时行计算即可;
（2）先计算乘方，再将除法转换成乘法，再相乘即可.
解：（1）
=
= ;
（2）=
= .
【点拨】考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘除法法则，解题关键是熟记其计算法则.
【变式2】（2023上·全国·八年级课堂例题）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】先计算分式的乘方，再令 即可求解．
原式
∵
令
则
【点拨】本题考查分式的乘方运算．抓住“ ”是解决此题的关键．
【考点四】含有乘方的分式混合运算
【例4】（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据含乘方的分式的乘除混合运算法则求解即可；（2）根据分式的乘除混合运算法则求解即可．
解：（1）
；
（2）
；
【点拨】此题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握含乘方的分式的乘除混合
运算法则．
【举一反三】
【变式1】（2021上·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先计算乘方，再约分即可；
（2）先计算乘方，再约分即可．
解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点拨】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；
（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
