文档内容
专题 15 分式的运算（6 个知识点 6 种题型 3 个易错点 5 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.分式的乘除（重点）
知识点2分式的乘方（重点）
知识点3.分式的加减（重点）
知识点4.分式的混合运算（难点）
知识点5.整数指数幂
知识点6.科学记数法（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.分式运算的规律技巧
题型2.分式的化简求值
题型3.求分式为整数时字母的取值
题型4.分式运算的实际应用
题型5.负整数指数幂的应用
题型6.分式的探究创新题
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视分数线的括号作用
易错点2.忽视运算的顺序
易错点3.最后结果不是最简形式
【方法四】 仿真实战法
考法1.分式的乘除
考法2.异分母分式的加减
考法3.分式的混合运算
考法4.科学记数法
考法5.零指数幂与负整数指数幂【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，并能进行分式的混合运算。
2. 掌握负整数指数幂的意义，会进行简单的整数范围内的幂运算。
3. 通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会“类比”的数学思想。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.分式的乘除（重点）
a c ac
（1）乘法运算 ，其中 是整式， .
b d bd a、b、c、d bd 0
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
a c a d ad
（2）除法运算 ，其中 是整式， .
b d b c bc a、b、c、d bcd 0
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
【例1】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）计算下列各题：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除运算．熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据分式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
知识点2分式的乘方（重点）
乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
【例2】（2023上·河北邢台·八年级统考期中）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式乘方的法则，
根据分式乘方的法则，分子分母分别乘方即可，
熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】
故答案为 ．
知识点3.分式的加减（重点）a b ab
加减运算 c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
【例3】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）如果 ，那么代数式 的值是
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的加减法，先计算同分母分式的减法，再将分子、分母因式分解，最后约分，
继而将 代入计算可得．
【详解】
，
∵ ，
∴原式 ，
故选：B．
知识点4.分式的混合运算（难点）
分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【例4】（2023上·山东淄博·八年级统考期中）（1）化简： ；
（2）先化简： ，再从 ，0，1中取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】（1） （2） ，【分析】本题考查了分式的化简及求值：
（1）先变形为 ，通分，再利用同分母分式减法法则计算即可；
（2）先将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，将除法化为乘法，再约分得到最简结果，
把合适的值代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
或1时，原分式无意义，
，
当 时，原式 ．
知识点5.整数指数幂
整数指数幂的概念
（1）正整数指数幂 ；
（2）负整数指数幂 ；（3）零指数幂
【例5】（2023上·山东淄博·八年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的整数指数幂，积的乘方，根据积的乘方法则“先把积中的每一个乘数分别乘方，
再把所得的幂相乘”，即可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
知识点6.科学记数法（难点）
小于 1 的正数可用科学计数法表示为 a 的形式，其中 n 为原数左起第一个不为 0 的数
字前面所有 0 的个数（包括小数点前的那个 0）， .
【例6】（2023上·八年级课时练习）将下列用科学记数法表示的数还原．
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将小数点向左移动4位即可；
（2）将小数点向左移动6为即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记数
法表示绝对值小于1的数的方法： ，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原．
【方法二】实例探索法
题型1.分式运算的规律技巧
1.（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：(1)计算：若n为正整数，猜想 ___________
(2)计算：
(3)利用上述方法，解决以下问题：如图，将形状大小完全相同的“〇”按照一定的规律（如图所示）摆放，
其中图①的“〇”的个数为a，图②中的“〇”的个数为a，图③中的“〇”的个数为a，…以此类推，
1 2 3
则 的值是 ___________（n为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目所给的运算方法即可解答；
（2）根据题目所给的运算方法即可解答；
（3）由题可知归纳得出 ，再进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：由题可知 ， ， ， ， ， ，…，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了规律探寻和分式的运算，正确找到规律是解题的关键．
题型2.分式的化简求值
2.（2023上·广西北海·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；2【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可，熟练掌
握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】．解：
，
当 时，原式 ．
题型3.求分式为整数时字母的取值
3．（2018上·四川南充·八年级统考期末）当分式 的值为正整数时，自然数x的取值可能有（ ）．
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】A
【分析】根据题意可知2x-3必是6的因数，从而可求出答案．
【详解】解：根据题意可知2x-3必为6的因数
或 或 或 时，可使 的值为正整数
∴2x-3= 1 2 3 6
此时 或 或 或
x=2 3
自然数 的取值为： 或
∴故选A．x x=2 3
【点睛】本题考查分式的值，解题的关键正确得出2x-3是6的正因数，本题属于基础题型．
题型4.分式运算的实际应用
4．（2023上·河北承德·八年级统考期中）数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成
甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若在a克糖水里面含糖b克 ，则该糖水的甜度为______；
(2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一
现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如 所以 ，同样如果
，就说明 ）【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了列代数式，分式加减的实际应用．
（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；
（2）设往杯中加入 克糖，则此时糖水的甜度为： ，再利用作差法比较大小即可．
选择合适的方法比较分式的大小是解答本题的关键．
【详解】（1）解： 糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，
在a克糖水里面含糖b克 ，则该糖水的甜度为 ；
（2）设往杯中加入 克糖，则此时糖水的甜度为： ，
，
， ，
， ， ，
，
，
向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜．
题型5.负整数指数幂的应用
5．在学习了负整数指数幂的知识后，小明和小军两同学做了一个数学游戏，小明出了题目：将
的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为 ，则“*”处的数是多少？聪明
的你替小军填上“*”处的数是 ．
【答案】【分析】先用负整数指数幂将 化简为 ，再结合积的乘方、幂的乘方
解题即可．
【详解】解：
由题意得，
故答案为： ．
【点睛】本题考查负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
题型6.分式的探究创新题
6．阅读理解：
类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；
类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似
地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.
拓展定义：
对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如： ；.
理解定义：
（1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号）
① ；② ；③ ；④ .
拓展应用：
（2）将分式 化成整式与真分式的和的形式；
（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式．
【答案】（1）③；①②④；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；
（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．
【详解】（1）① ，是假分式；
② ，是假分式.
③ 是真分式；
④ ，是假分式；
（2） = = = = ，
（3） .
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视分数线的括号作用
1．计算： ．【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，积的乘方运算的逆用，零次幂及绝对值的性质进行
计算即可．
【详解】解：原式
．
易错点2.忽视运算的顺序
2．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）计算 ．
【答案】
【分析】根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】
．
故答案为： .
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
易错点3.最后结果不是最简形式3.（2023·全国·八年级专题练习）计算： = ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先将除法改写成乘法，再按照分式的乘法法则进行计算即可，
先将除法改写成乘法是解题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
【方法四】 仿真实战法
考法1.分式的乘除
1．化简： .
【答案】
【详解】试题分析：根据分式的乘除法，先对分子分母分解因式，然后直接约分即可.
试题解析：原式
.
考点：分式的乘除
考法2.异分母分式的加减
2．（2023·福建·统考中考真题）已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】1【分析】根据 可得 ，即 ，然后将 整体代入 计算即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到 是解答本题的关键．
考法3.分式的混合运算
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序．
考法4.科学记数法
4．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分式的加法运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；
（1）根据零次幂及负指数幂可进行求解；（2）根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）有如下计算过程：
第（1）步
第（2）步
第（3）步
其中出现错误的步骤是（ ）
A．第（1）步 B．第（2）步 C．第（3）步 D．没有错误
【答案】B
【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握减法法则，分母不变，分子相减．
【详解】解：出现错误的步骤是第（2）步，
原因是计算分子相减时未加括号，
故选B．
2．（2023上·山东滨州·八年级统考期中）下列计算中，正确的个数是（ ）
①
②
③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以单项式，单项式的除法同底数幂的除法，幂的乘方运
算法则是解题关键．
【详解】解：① ，运算正确；
② ，运算正确；
③ ，运算错误；
④ ，运算错误；
正确的个数为2，
故选：B．
3．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）某新型冠状病毒的直径约为 ， ，则
该病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义,科学记数法的表现
形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小
于1时n是负数．
【详解】解： ，
故选B．
4．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）人的眼睛可以看见的红光的波长为 ，将数据
0.000077 精确到0.00001，并用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据将一个绝对值小于1的数表示成 的形式，其规律如下： 是整数数位只有一位的数，
为该数第一个非零数字前面所有零的个数这一规律，即可求出；
本题主要考查科学记数法熟练掌握其规律是解题的关键．
【详解】解：
故选：A．
5．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据负整数指数幂及零指数幂的计算公式分别进行计算，即可得出结论．
【详解】解：A、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故此选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂及零指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂及零指数幂的计算公式
是解题的关键．
6．（2023下·七年级课时练习）下面运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D错误．
【易错点分析】根据合并同类项、幂的乘方法则及同底数幂的乘法的法则解答．合并同类项要注意符号不
要出错．
7．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查积的乘方、零次幂、负指数幂、单项式除以单项式及分式的运算，熟练掌握各个运
算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、零次幂、负指数幂及分式的运算可进行排除选项．
【详解】解：A、 ，原计算错误，故不符合题意；
B、 ，原计算正确，故符合题意；
C、 ，原计算错误，故不符合题意；
D、 ，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
8．（2023上·广西北海·八年级统考期中）细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细
菌小比病毒大的微生物，直径在 ， 用科学记数法表示为（ ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用科学记数法表示一个数，一般形式为 ， 是只有一位整数的数，当原数的绝
对值 时， 为正整数， 等于原数的整数位数减 ；当原数的绝对值 时， 为负整数， 的绝对值等
于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．掌握这个方法是解答本题的关键．
绝对值小于 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其
所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定．
【详解】解：
故选： ．
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了分式的加减以及分式性质，根据 得出 ，代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知b>a>0,下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．由b>a>0,得b-a>0,b-1不能确定符号．由 不能确定符号,A错误,
故A不符合题意;
B．由b>a>0,得a-b<0,b+1>0．由 <0,得 ,B错误,故B不符合题
意;
C．由b>a>0,得a+1>0．
由 <0,得 ,故C符合题意．
D．由b>a>0,得a-b<0．由 无法确定符号,D错误,故D不符合题意
二、填空题
11．（2023上·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）计算：（1） ； （2）
．
【答案】
【分析】本题考查零指数幂和多项式除以单项式，
（1）直接根据零指数幂运算法则（任何非零实数的零次幂都等于1）即可得出答案；（2）直接根据多项式除以单项式的运算法则（先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相
加）即可得出答案；
掌握相应的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ．
12．（2023上·北京西城·八年级北京师大附中校考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据非零数的零指数幂为1求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13．（2023上·福建龙岩·八年级龙岩二中校考期中） ．
【答案】1
【分析】本题考查了零次幂，直接根据零次幂的性质求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：1．
14．（2023上·山东济南·八年级校考期中）已知关于x的分式方程 其中A、B为
实数，则实数 ，
【答案】 1 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，先化简等式右边，然后利用待定系数法列出关于A、B的方程组，
解答即可．熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：依题意， ，去分母，得
整理得
因为A、B为实数，
所以 ，
，得 ，
则 ，
故答案为：1，2
15．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）已知 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简，发现已知与未知式子之间的联系是解题的关键．
由已知 得到 ，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值．
【详解】解：由已知 得， ，
．
故答案为： ．
16．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）已知 则a的值为 ．
【答案】 或0/0或
【分析】分 和 ，以及 ，三种情况进行讨论．
【详解】解：∵ ，非零数的0次幂为1，1的任何次幂均为1， 的偶次幂为1，
∴分三种情况讨论：① ，解得： ；
② ，解得： ；
③ ，解得 ，此时 ，不满足题意；
故答案为： 或0．
【点睛】本题考查指数幂．熟练掌握非零数的0次幂为1，1的任何次幂均为1， 的偶次幂为1，是解
题的关键．
17．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）下列各式变形正确的有 ．
① ；② ；③ ；④
【答案】 /
【分析】①本题③主③要①考查了分式的约分，分式加减运算，根据分式的基本性质、分式的加减运算即可求出答
案．
【详解】解：①原式 ，故①正确，符合题意．
②原式 ，故②错误，不符合题意．
③原式 ，故③正确，符合题意．
④原式 ，故④错误，不符合题意．
故答案为：①③．
18．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）已知： ， ， ， ，…，
，那么 的值为 ．（用含 的代数式表示）
【答案】【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，分别求出 的值得到 的值3个一次
循环，再由 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
则 的值3个一次循环，
因为 ，
则 ，
故答案为： ．
三、解答题
19．（2023上·安徽宿州·八年级校考期中）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算．
（1）直接利用算术平方根的性质化简，再计算得出答案；
（2）直接利用零指数幂、算术平方根的性质以及立方根的性质分别化简，再计算得出答案．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可．
（1）先算乘方，再约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ．21．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算平方、绝对值、零指数幂，然后计算加减即可；
（2）先化简各式，然后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
23．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）（1）计算： ．
（2）因式分解： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】此题主要考查了单项式与单项式乘除及利用公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用单项式与单项式乘除的运算法则及积的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用公式法分解因式得出答案．
【详解】解：原式
（2）解：原式23.（2023·安徽合肥·校考三模）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 个等式：__________．
(2)写出你猜想的第 个等式：__________（用含 的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据前 个等式的规律求解此题；
（2）根据前 个等式归纳出此题规律进行求解．
【详解】（1）解：∵第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
∴第 个等式： ，
故答案为： ；
（2）由（1）可得：第 个等式： ，
证明如下：
∵左边
右边，
∴等式成立，
故答案为： ．
【点睛】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、
计算、归纳进行求解．
24．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的混合运算和整式的运算；
（1）将除法转化为乘法，继而约分即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，进而约分即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
25.（2023上·山东泰安·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把 ， 代入化简后的式子
进行计算即可解答．
【详解】原式
，
当 ， 时，原式 ．26．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了分式的混合运算问题；
（1）先算除法再算减法即可；
（2）先算括号再算除法即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式．
