文档内容
专题 15 圆的有关性质（6 个知识点 4 种题型 2 个易错点 4 种中考考
法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.圆（重点）
知识点2.圆的有关概念
知识点3.垂直于弦的直径（难点）
知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）
知识点5.圆周角（重点）
知识点6.圆内接多边形
【方法二】 实例探索法
题型1.垂径定理的应用
题型2.弧、弦、圆心角之间的关系的应用
题型3.圆周角定理及其推论的运用
题型4.圆内接四边形性质的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系
易错点2.不能正确理解圆周角及其性质
【方法四】 仿真实战法
考法1.弧、弦、圆心角的关系定理及其推论
考法2.垂径定理
考法3.圆周角定理及其推论
考法4 圆内接四边形的对角互补
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 了解圆及弦、弧（劣弧、优弧）圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念。
2. 通过观察实验，认识圆的对称性，理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
3. 掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决实际问题。
4. 掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
5. 掌握圆周角定理及其推论，并能进行相关的证明和算计。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.圆（重点）
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成
的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆
O”．要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
面，一个闭合的曲面.
知识点2.圆的有关概念
1.弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2.直径：
经过圆心的弦叫做直径.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
3.弧的有关概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.4.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
5.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例1】判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)
①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）
②弦是直径；（ ）
③长度相等的两段弧是等弧；（ ）
④直径是圆中最长的弦. （ ）
【例2】如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例3】下列说法中，结论错误的是（ ）A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【例4】下列命题中，正确的个数是（ ）
⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例5】（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
知识点3.垂直于弦的直径（难点）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的逆定理1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的逆定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在
这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【例5】（2023秋·浙江·九年级专题练习）垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以
及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问
题的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】（2022秋·九年级统考期中）如图， 的弦 ，M是 的中点，且 ，则 的半径
等于（ ）
A．7 B．4 C．5 D．6
知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的
其余各对量也相等．
要点诠释：
等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
【例7】（2023•杭州二模）如图，A，B，C是 O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是
（ ） ⊙
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于 O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°⊙
【例8】（2022秋•越城区期末）如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝
4，则 O的周长为（ ） ⊙ ⊙
⊙
A．4 B．6 C．8 D．9
知识点π5.圆周角（重点） π π π
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例 9】（2023•西湖区校级三模）如图，点 A、B、C在圆 O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为
（ ）A．40° B．45° C．50° D．55°
【例10】（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是 O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝
60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ ． ⊙
知识点6.圆内接多边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接
圆。
1.圆内接四边形的对角互补．
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
【例11】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 是弦，延长 交 的延长线于
点 ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【方法二】实例探索法
题型1.垂径定理的应用1．（2023秋•赣榆区校级月考）如图所示的拱桥，用 表示桥拱．
（1）若 所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作
法，但要保留作图
痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（ 的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径
R．
2．（2023秋•市北区校级月考）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是
长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4米，宽2.8米，求这辆送家具的卡车能否通过这个
通道．3．（2023秋•仓山区校级月考）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：
“如图，CD为 O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
⊙
4．（2023秋•诸暨市校级月考）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意
图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝
4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形
EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船
可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y
（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，
最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加
多少吨货物才能通过？题型2.弧、弦、圆心角之间的关系的应用
5．（2023秋•建邺区校级月考）如图，点A、B、C、D都在 O上．若 ，求证：AC＝BD．
⊙
6．（2023秋•沭阳县月考）如图，A、B、C、D是 O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
⊙7．（2023秋•滨海县月考）如图，在扇形AOB中，点C、D在 上， ，点F、E分别在半径OA、
OB上，OF＝OE，联结DE、CF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）设点P为 的中点，联结CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，
求证：四边形MNED是矩形．
8．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，AB，CD是 O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分
别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结⊙论．9．（2023秋•亭湖区校级月考）如图，AB是 O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点
⊙
F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求 O的半径及CE的长．
⊙
题型3.圆周角定理及其推论的运用
10．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在 O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD
于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4⊙．
（1）求 O的半径．
（2）A，⊙B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由．11．（2023秋•赣榆区月考）如图所示， O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交 O于点D．
（1）判断△ADB的形状，并证明； ⊙ ⊙
（2）求BD的长．
12．（2023秋•东台市月考）如图，AB是 O的直径，弦CE平分∠ACB交 O于点E．交AB于点D．连
接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝6． ⊙ ⊙
（1）求四边形ACBE的面积；
（2）求CE的长．
13．（2023秋•海门市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的 O经过点B．
（1）求 O的半径； ⊙
（2）点⊙P为 中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长．
题型4.圆内接四边形性质的应用
14．（2023秋•台江区校级月考）如图，在 O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD
的一个外角．求证：∠DAE＝∠DAC． ⊙
15．（2023秋•广陵区月考）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
16．（2023秋•高邮市校级月考）如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形， ＝ ，∠BAC＝70°，
⊙
∠ACB＝50°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求∠BAD的度数．
【方法三】差异对比法
易错点1.不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系1.如图，∠AOB=90°，CD是 的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
易错点2.不能正确理解圆周角及其性质
2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= ．
3.如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．
求证：∠ABC=2∠CBO．
【方法四】 仿真实战法
考法1.弧、弦、圆心角的关系定理及其推论
1．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角 （ ＜180°）与剩余圆心角 的比值为黄金比时，扇子会
显得更加美观，若黄金比取0.6，则 ﹣ 的度数α 是α ． β
β α2．（2021•南京）如图，AB是 O的弦，C是 的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则
⊙
O的半径为 cm．
⊙
考法2.垂径定理
3．（2023•永州）如图， O是一个盛有水的容器的横截面， O的半径为10cm，水的最深处到水面AB
的距离为4cm，则水面⊙AB的宽度为 cm． ⊙
4．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱
呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
5．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，
CD为 O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
⊙考法3.圆周角定理及其推论
6．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为 O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的
度数是（ ） ⊙
A．20° B．18° C．15° D．12°
7．（2023•广西）如图，点A，B，C，在 O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．（2023•青海）如图，AB是 O的弦，C是 O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A＝20°，则∠ABC
＝（ ） ⊙ ⊙A．20° B．30° C．35° D．55°
考法4 圆内接四边形的对角互补
9．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的
度数是（ ） ⊙
A．65° B．115° C．130° D．140°
10．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝
2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
11．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BC是 O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的
度数是 °． ⊙ ⊙
【方法五】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•广陵区月考）如图，线段CD是 O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，
则 O半径是（ ） ⊙
⊙A．5 B．6 C．8 D．10
2．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB，CD是 O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，
∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（ ⊙ ）
A．30° B．25° C．10° D．20°
3．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则
∠BDC的度数为（ ）
A．90° B．100° C．130° D．140°
4．（2022秋•泸县月考）如图，四边形ABCD内接于 O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分
∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ） ⊙
A．3 B． C． D．5．（2023秋•沭阳县月考）如图， M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是 M上的任意一点，
PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别⊙交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则⊙AB的最大值为（
）
A．13 B．14 C．12 D．28
6．（2023秋•仓山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中， O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与
O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ） ⊙
⊙
A． B． C． D．以上都不对
7．（2023秋•五华区校级月考）如图，AB为 O的直径，点C，D在 O上，若∠BCD＝28°，则∠ABD
等于（ ） ⊙ ⊙
A．28° B．56° C．62° D．68°
8．（2023秋•广陵区月考）如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（
）A． B． C． D．
9．（2023秋•沭阳县月考）如图，EF、CD是 O的两条直径，A是劣弧 的中点，若∠EOD＝32°，则
⊙
∠CDA的度数是（ ）
A．37° B．74° C．53° D．63°
10．（2023秋•仓山区校级月考）简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），A
为三角板与直尺的交点，B为量角器与直尺的接触点，C为量角器与三角板的接触点．若点A处刻度为
4，点B处刻度为6，则该量角器的直径长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•东台市月考）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是
．
12．（2023秋•路桥区校级月考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，
BD，OC⊥BD，若∠A等于70°，则∠ADB的度数为 ⊙ ．13．（2023秋•雨花区校级月考）如图，AB是 O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则 O半径
的长为 ． ⊙ ⊙
14．（2023秋•雨花区校级月考）如图所示，在 O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若
OC＝3，则DE的长为 ． ⊙
15．（2023秋•广陵区月考）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一
千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问
径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯
道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径
是 寸．
16．（2023秋•高邮市校级月考）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
台．
17．（2023秋•岳麓区校级月考）如图，四边形ABCD内接于 O，延长CO交 O于点E，连接BE，若
∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为 °． ⊙ ⊙
18．（2023秋•台江区校级月考）如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ADB＝∠CDB．
⊙ ⊙
若 ，AD＝2，则CD的长度为 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•沭阳县月考）如图，在 O中，AB是直径，CD是弦，延长AB，CD相交于点P，且AB＝
2DP，∠P＝18°，求∠AOC的度数．⊙20．（2023秋•海淀区校级月考）如图所示，C为 的中点，CN⊥OB于点N，弦CD⊥OA于点M，若
O的半径为5cm，ON为4cm，则CD的长为多少？
⊙
21．（2023秋•邗江区校级月考）如图，AB是 O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB
的延长线交 O于点E，CD与CE相等吗？为⊙什么？
⊙
22．（2023秋•沭阳县月考）如图，在 O中，B，C是 的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
⊙
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．23．（2023秋•诸暨市校级月考）如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明； ⊙ ⊙
（2）若AB＝ ，AD＝1，求CD的长度．
24．（2023秋•广陵区月考）如图AB、CD是 O的两条弦，相交于点P，若AB＝CD，求证：
（1）AD＝BC； ⊙
（2）PA＝PC．
25．（2023秋•建邺区校级月考）点A、B、C都在 O上，且CA＝CB，连接CO．
（1）如图，当∠ACB为钝角时，求证：CO⊥AB⊙；
（2）若AB＝8， O的半径为5，则AC的长为 ．
⊙26．（2023秋•雨花区校级月考）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC； ⊙
（2）若AB＝4， ，求 O的半径．
⊙
