文档内容
专题 04 整式的乘法与因式分解突破核心考点
【聚焦考点+题型导航】
考点一 同底数幂的乘法与逆用 考点二 幂的乘方运算与逆用
考点三 积的乘方运算与逆用 考点四 幂的混合运算
考点五 单项式乘多项式及多项式乘多项式 考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值
考点七 多项式乘多项式与图形面积 考点八 求完全平方式中的字母系数
考点九 整式四则混合运算及化简求值 考点十 乘法公式与几何图形
考点十一 通过对完全平方公式变形求值及求最值
考点十二 判断是否是因式分解 考点十三 已知因式分解的结果求参数
考点十四 因式分解 考点十五 因式分解的应用
【知识梳理+解题方法】
一、同底数幂的乘法性质
(其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即 （ 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之
和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）.
二、幂的乘方法则
(其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决
问题.
三、积的乘方法则
(其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ( 为正整数).
（2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算
更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
四、单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它
们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的
乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相
加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
五、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
m(abc)mambmc
即 .
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单
项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
六、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
abmnamanbmbn
.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数
之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘：
xaxb x2 abxab
.
七、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
a,b
要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，
又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
八、完全平方公式
(ab)2 a2 2abb2
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加
（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
九、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里
的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正
确.
十、补充公式
； ；
； .
十一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因
式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运
算.
十二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各
项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.十三、提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是
，即 ，而 正好是 除以m所得的商，
这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时
多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项
变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
十四、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
a2 b2 abab
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这
两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
十五、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2
即 ， .
形如a2 2abb2 ，a2 2abb2
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是
两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【专题过关+能力提升】
考点一 同底数幂的乘法与逆用
例题1：（2022·河南平顶山·七年级期末）计算： ______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则并熟练计算．
例题2：（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知 ， ，则 =____
【答案】10
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算可得答案．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中） =________________．
【答案】
【分析】根据同底数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．
2．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学七年级期中）计算： ____________．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法来进行计算求解．
【详解】解： ．
答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，理解同底数幂相乘，底数不变，指点数相加是解答关
键．
3．（2022·山东·北辛中学七年级阶段练习） ＝_____．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变，指数相加减是解题的关键．
4．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）已知 ， 的值是_______．
【答案】12
【分析】根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算，熟练掌握 （其中m，n为正整数）是解题
的关键．
5．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）若 ， ，则 ______．
【答案】20
【分析】根据 （ ， 是正整数）可得 ，再代入 ， 计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，
指数相加．
考点二 幂的乘方运算与逆用
例题1：（2022·湖南永州·七年级期中）计算 ______．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则求解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的运算法则，掌握幂的乘方法则是解本题的关键．
例题2：（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知 ， ，则 ＝
（ ）
A．24 B．36 C．48 D．12
【答案】D
【分析】利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行运算
即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是熟记相应的运算法则并灵活运用．
【变式训练】1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）当 时，则 =_____
【答案】64
【分析】先将8改成 ，再用幂的乘方公式将 化为 ，最后将 代入计算即可；也可以利用
求出m，代入 计算．
【详解】解法一：∵ ，
∴ ．
解法二：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：64．
【点睛】本题考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式是解题的关键．由于数字的特殊性导致m的值可求，
但解法一适用范围更广更需掌握．
2．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知2m＝8n＝4，则m＝_____，2m+3n＝_____．
【答案】 2 16
【分析】先求得m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
3．（2022·江西抚州·七年级期中）已知： ， ，则 ______．
【答案】15
【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）已知 ， ，则 ＝（ ）
A．10 B．5 C．2 D．40
【答案】C
【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则可得 ，再根据幂的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方．掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵ =962=3124， =3123， =3122，
∴a>b>c，
故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
考点三 积的乘方运算与逆用
例题1：（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）计算 的结果是（ ）
A．8x6 y2 B．4 x6 y2 C．4 x5 y2 D．8 x5 y2
【答案】B
【分析】根据幂的乘方、积的乘方进行运算即可．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
例题2：（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级开学考试）计算：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知n为正整数，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由积的乘方公式解题；
（2）由积的乘方公式解得 ，再利用整体代入法解题．
(1)
解：．
(2)
原式 ．
【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项不合题意；
B、 ，故本选项不合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2021·江苏·南京钟英中学七年级阶段练习）若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．
利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果 ，求x的值；
（2）如果 ，求x的值；（3）若 ， ，用含x的代数式表示y．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；
（2）利用积的乘方逆运算解答；
（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为 ， ，即可得到x与y的关
系式，由此得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）∵ ，
∴ ，
，
，
；
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，
熟记法则及其逆运算是解题的关键．
4．（2020·吉林·长春市第十三中学校七年级期中）已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，
求 的值．
【答案】（1）-32，-32；（2）1000000，1000000；（3） ；（4）-4
【分析】（1）分别将 ， ，代入题中计算即可；
（2）分别将 ， 代入题中计算即可；
（3）根据（1）（2）中结论的规律解题；（4）根据（3）中结论 ，即 将 转化成 ，再结合公式
解题即可．
【详解】（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3） （n为正整数）．
（4）
【点睛】本题考查积的乘方及其逆运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点四 幂的混合运算
例题：（2022·安徽阜阳·八年级期末）计算: ；
【答案】0
【分析】先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，然后计算整式的减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关
键．
【变式训练】
1．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）计算： ．
【答案】0
【分析】先根据幂的乘方计算，计算同底数幂，最后合并，即可求解．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．
2．（2022·江苏·七年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)
解：
．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算：
(1) (2) +
【答案】(1)2x4
(2)6a8
【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后合并同类项计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，然后合并同类项计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
原式
．
【点睛】题目主要考查整式的加减运算，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握运算法则是解
题关键．
4．（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：
(1) ； (2) ．【答案】(1)0；
(2) ．
【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；
(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．
(1)
解：原式=
；
(2)
解：原式=
．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相
应的计算法则是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可．
【详解】解：（1） ，
= ，
= ，
= ；
（2） ，
，
．
【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．
考点五 单项式乘多项式及多项式乘多项式
例题1：（2022·江苏·阜宁县实验初级中学七年级阶段练习）计算 的结果是________．
【答案】
【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而得出答案．
【详解】解：
=
故答案为：
【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
例题2：（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【详解】原式= ．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则：先用多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项，再把所有的积相加是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算∶
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)0
【分析】（1）直接利用单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）直接利用单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（3）利用整式的混合运算法则计算即可；
（4）利用整式的混合运算法则计算即可；
（1）
（2）（3）
（4）
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟记单项式与多项式以及整式混合运算的法则是解题的关键．
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值
，其中 ．
【答案】4m，
【分析】先根据单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当 时，原式＝ ．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
3．（2021·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】用单项式乘多项式的法则和多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）计算 ．
【答案】
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则去掉括号，然后再合并同类项即可求解．
【详解】
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
考点四 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）如果 的结果中不含x的五次
项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
【详解】解：
∵结果中不含x的五次项，
∴ ，
解得： ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）如果 的展开式中不含 项，则a的
值是（ ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项，根据题意得出 ，求解即可．
【详解】解：
，∵展开式中不含 项，
∴ ，
解得：a=5，
故选A．
【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某项求参数的问题，理解题意，熟练掌握运算法则是解题
关键．
2．（2021·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则
m的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
【答案】A
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3﹣m＝0，再解得出答案．
【详解】解：（x﹣m）（x+3）＝ +3x﹣mx﹣3m＝ +（3﹣m）x﹣3m，
∵乘积中不含x的一次项，
∴3﹣m＝0，
解得：m＝3，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2022·河北·安新县第二中学七年级阶段练习）已知多项式A＝2x3﹣2mx2+3x﹣1，B＝﹣x3+2x2+nx+6，
若A﹣B的结果中不含x2和x项，则m，n的值为（ ）
A．m＝﹣1，n＝3 B．m＝﹣1，n＝﹣3 C．m＝1，n＝3 D．m＝1，n＝﹣3
【答案】A
【分析】先计算 ，令x2和x项的系数为0，再计算即可．
【详解】
∵结果中不含x2和x项，
∴ =0， =0，
解得： ， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式的，理解多项式的定义及正确合并同类项是解题的关键．
4．（2022·四川·达川区金华学校七年级期中）在 与 的积中，不含有xy项，则a=_____．
【答案】3
【分析】先将两多项式相乘，然后将含xy的项进行合并，然后根据乘积结果不含有xy项，即xy项系数为
0，即可求出a的值．
【详解】解：(ax+3y)(x-y)=
= ，
∵ 与 的积中，不含有xy项，
∴3-a=0，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题
型．
考点七 多项式乘多项式与图形面积
例题：（2022·广东·深圳市宝安区中英公学七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花
坛．（单位：米）
(1)用含 ， 的整式表示花坛的面积；
(2)若 ， ，工程费为 元 平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】(1)花坛的面积是 平方米
(2)建花坛的总工程费为 元
【分析】（1）用大长方形的面积减去一个小长方形面积即可；
（2）将a和b的值代入（1）中的结果，求出面积即可．
（1）
解：（1）
=
= 平方米 ．
答：花坛的面积是 平方米．
（2）
当 ， 时，
=
== (平方米)
（元）
答：建花坛的总工程费为14375元．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线
段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）
(1)用含 ， 的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若 米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【答案】(1)
(2)34000元
【分析】（1）利用大长方形的面积减去两个小正方形的面积可得“ ”型图形的面积，再根据整式的乘
法与加减法法则进行化简即可得；
（2）根据 米可得 米，代入（1）中的结论可得“ ”型图形的面积，再根据草坪每平方
米20元即可得．
（1）
解：“ ”型图形的面积=
，
答：“ ”型图形的面积为 ．
（2）
解：由 米得： 米，
则“ ”型图形的面积= （平方米），
所以草坪的造价为 （元），
答：草坪的造价为34000元．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及合并同类项的应用，根据图形正确列出代数式是解题关键．
2．（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割成 小块，除阴影
部分A，B外，其余 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为 ．(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含 的代数式表示）
(2)分别用含 ， 的代数式表示阴影部分A，B的面积．
(3)当 取何值时，阴影部分A与阴影部分 的面积之差与 的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分
的面积之差．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，阴影部分 与阴影部分 的面积之差与 的值无关；
【分析】（1）由图形可直接填空；
（2）由长方形面积公式结合图形即可解答；
（3）计算出 ，即得出当 时，阴影部分A与阴影部分
的面积之差与 的值无关，求出y的值，即得出阴影部分A与阴影部分 的面积之差．
（1）
由图可知每个小长方形较长一边长为 ．
故答案为： ；
（2）
，
．
（3）
，
，
当 时，阴影部分A与阴影部分 的面积之差与 的值无关，
解得： ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查列代数式，整式混合运算的应用．利用数形结合的思想是解题关键．3．（2022·浙江杭州·七年级期中）如图所示，有一块边长为(3a+b)米和(a+2b)米的长方形土地，现准备在这
块土地上修建一个长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
(1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
(2)若 ， ，求休息区域的面积；
(3)若游泳池面积和休息区域的面积相等，且 ，求此时游泳池的长与宽的比值．
【答案】(1) 平方米；
(2)休息区域的面积是325平方米；
(3)此时游泳池的长与宽的比值是 ．
【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积-游泳池的面积，将数值代入计算即可；
（2）将a=5，b=10代入（1）中化简后的式子计算即可；
（3）根据游泳池面积和休息区域面积相等列出方程，进而求解即可．
（1）
解：由题意可得，
休息区域的面积是： ，
即休息区域的面积是： 平方米；
（2）
解：当 ， 时，
（平方米），
即若 ， ，则休息区域的面积是325平方米；
（3）
解：由题意可得， ，
，
整理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即此时游泳池的长与宽的比值是 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式
的混合运算法则．考点八 求完全平方式中的字母系数
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若 是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴k＝±2 3＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式 是完全平方式，则k等于（ ）
A． B．8 C．16 D．
【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵ ，
∴kx=±2×8x,
解得k=±16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
2．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平
方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
3．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若 是关于 的完全平方式，
则 ______．
【答案】 或
【分析】根据完全平方式逆运用，可知 ，由此即可求得m的值．
【详解】解： ，
，
，或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的运用，解题重点是灵活运用公式，注意两种情况．
4．（2022·山东烟台·八年级期中）关于 的二次三项式 是完全平方式，则 的值是
______________．
【答案】2或0##0或2
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【详解】解： ∵关于 的二次三项式 是一个完全平方式，
∴
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征，是解题关键．
考点九 乘法公式化简运算
例题1：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便
计算的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有 ； ，
则能用平方差公式简便计算的有 个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构 是解题的关键．
例题2：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．
完全平方公式： ．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：
，其中x＝1，y＝2；
【答案】 ，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式=
=
= ，
当 时，
原式=
=
= ．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．
其中，a＝－2，b＝1．
【答案】 ，-15
【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子进行计算，即可解
答．
【详解】解：
，
当a=-2，b＝1时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．
4．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值： ，
其中x=-1，y=2．
【答案】 ，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可
解答本题．
【详解】解：
，
当x=-1，y=2时，原式 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
5．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求
得结果；
(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可
求得结果．
（1）
解：
（2）
解：【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
6．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， ；
(2) ，其中 ， ．
【答案】(1)原式 ，当 ， 时，原式
(2)原式 2ab，当a= ，b= -1时，原式 1
【分析】（1）先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
（2）首先利用多项式除以单项式的运算法则以及平方差公式对原式进行化简，然后去括号得到最简式，
再将 ， 代入最简式计算即可求解．
（1）
=
=
= ．
当 ， 时，
原式 ．
（2）
=
= ．
当 ， 时，
原式 1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，多项式除以单项式以及平方差公式，正确根据运算法
则进行化简是解题的关键．
考点十 乘法公式与几何图形
例题1：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可
以得到整式乘法公式： ；(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为 ，小正方形边长为b，面积为 ，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝ ，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝ ，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝ ；
（2）
①102×98
＝（100+2）（100﹣2）
＝
＝10000﹣4
＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝
＝ ．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
例题2：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式： ， ， ．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若 ， ，则 _______．
【答案】(1)m-n
(2) 或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，
即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分
的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得 ，再把 ， 代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即 ；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为 ；
故答案为： 或
（3）
解：由（2）得： ；
（4）
解：由（3）得：当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类
题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部
分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；
宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算： ．
【答案】（1） ，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2） ＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式 ＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论 ＝（a+b）（a﹣b），可得 ＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是 ；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积
（a+b）（a﹣b）；
故答案为： ，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式 ＝（a+b）（a﹣b），
故答案为： ＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果 ＝（a+b）（a﹣b），
可得【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所
得结论进行计算．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的
阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表
示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算： ；
(3)【拓展】计算： ．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出 ，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将 写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵ ，2m＋n＝4，
∴
故答案为：3②
=
（3）
=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
3．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸
片， 种纸片是边长为 的 正方形， 种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形，
并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为 的矩形， 则需要 号卡片 1 张， 号卡片 2 张， 号卡片________
张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ： ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)3；
(3)①ab的值为7；②x-2020=±3
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出 ， ， 三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为 ，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x-2020，从而得到a+1=x-2019，a-1=x-2021，代入计算即可．
（1）
大正方形的面积可以表示为： ，或表示为： ；因此有 ；
（2）
∵ ，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）
①∵ ，
∴25=11+2ab,
∴ab=7，
即ab的值为7；
②令a=x-2020，
∴x-2019
=[x-（2020-1）]
=x-2020+1
=a+1，
x-2021
=[x-（2020+1）]
=x-2020-1
=a-1，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
∴ ，
∴x-2020=±3．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．
4．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用
剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则 =_____．
(3)知识迁移：设A= ，B=x+2y﹣3，化简 的结果．
(4)知识延伸：若 ，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为 的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为 ，阴影部分
也可以看作边长为 的大正方形面积减去4个长为 ，宽为 的长方形的面积，即为 ，于是可
得等式；
（2）由（1）得 ，代入计算即可；
（3） 化简结果为 ，再代入计算即可；
（4）设 ， ，则 ， ，由 可求出 的值，
即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为 的正方形，因此面积为 ，
图2的阴影部分也可以看作边长为 的大正方形面积减去4个长为 ，宽为 的长方形的面积，即为
，
所以有： ，
故答案为： ；
（2）
由（1）得 ，
当 ， ，
则 ，
故答案为：49；
（3）
， ，
原式；
（4）
设 ， ，
则 ， ，
，
，
，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式
变形是解决问题的前提．
考点十一 通过对完全平方公式变形求值及最值
例题1：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式 的值．
【答案】37
【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
例题2：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．
求解过程如下：因为 ，因为 ，所以 ，即
的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程；(3)求 的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2) 的最小值为 ，过程见解析
(3) 的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可
求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出 的最小值为 ，
，
，
的最小值为 ；
（3）
解：∵
，
∴ 的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【答案】(1)32
(2)30
【分析】（1）结合题意， ，代入即可得出答案；
（2）由（1）可知， ，ab＝2，代入即可得出答案．
（1）
解：∵a+b＝6，ab＝2，
∴ ；
（2）
解：由（1）可知， ，ab＝2，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．
3．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道 ，所以代数式 的最小值为 学习了
多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用 来求一些多项式的最小值．
例如，求 的最小值问题．
解： ，
又 ， ， 的最小值为 ．
请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究： ______ ______；
(2)求 的最小值．
(3)比较代数式： 与 的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解： ﹣4x+5＝ ﹣4x+4+1＝ ．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2 +4x＝2（ +2x+1﹣1）＝ ，
∵ ≥0，
∴ ≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即 的最小值是﹣2．
（3）
－ ＝ ﹣2x+1+1＝ ，
∵ ≥0，
∴ +1＞0，
∴ ＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
4．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的
多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后
总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式 的最小值是_____；
(2)知识运用：若 ，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若 ，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式 变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对 变形，然后根据 可得答案；
（3）移项可得 ，利用完全平方公式对 变形，然后根据偶次方的非负性可得答
案．
（1）
解： ，
∵ ，
∴ 时，代数式 的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式 可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵ ，
∴当 时，代数式 的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴当 时， 的值最小，最小值为 ，
即当x＝ 时，y+2x的最小值为 ．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题
的关键．
考点十二 判断是否是因式分解
例题：（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，判断求解即可．
【详解】解：A、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
B、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本项错误，不符合题意；
D、是因式分解，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积
的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【变式训练】
1．（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+ ） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的
定义进行判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的
不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解： A．是因式分解，运用了提公因式法，符合题意；
B．是整式的乘法运算，不符合题意；
C．不是因式分解，右边不是乘积的形式，不符合题意，
D．左边是单项式，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．掌握因式分解的定义是解
题的关键．
考点十三 已知因式分解的结果求参数
例题：（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式 因式分解得(x+3)(x+2)，
则m＝_____．
【答案】5
【分析】把（x+3）（x+2）展开，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【详解】解：∵ ＝（x+3）（x+2）＝ ，
∴m＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北保定·八年级期末）若多项式 因式分解为 ，则 ________．
【答案】3
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出a即可．
【详解】解： ,
∵多项式 因式分解为 ，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互为逆运算是解题的关键．
2．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知二次三项式 分解后有一个因式为 ，则 ______．
【答案】6
【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设另一个因式为（x+n），
得x2-5x+m=（x-2）（x+n），
则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n．
∴ ，
解得 ．
∴m的值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程
组是解此题的关键．
考点十四 因式分解
例题1：（2022·黑龙江大庆·八年级期末）因式分解：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式mn，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】此题考查因式分解．熟练掌握因式分解的步骤和方法是关键．注意因式分解一定要分解到每一个
因式不能再分解为止．
例题2：（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】
【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键．
例题3：（2022·广东·南山实验教育集团八年级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十
字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就
会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后
提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式 ．
【答案】
【分析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后利用平方差公式进行分解即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了因式分解 分组分解法，公因式，因式分解 运用公式法，合理进行分组是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）因式分解
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数后利用平方差公式分解因式；
（2）先用平方差公式，再结合完全平方公式分解因式；
（1）
解：原式=
（2）
原式=【点睛】本题主要考查平方差公式 和完全平方公式 的灵活运用，
熟记公式是解题关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
（1）
解：
．
（2）
解：
．
（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
3．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把式子化成 ，再运用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式=
=
==
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．
4．（2022·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到 ．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把 分解因式
分析： 中的二次项系数为1，常数项 ，一次项系数 ，这是一个
型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
5．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2) 、
(3)
【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；
（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；
（3）根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
分组后能出现公因式，分组后能应用公式
（2）
，
，
故答案为： ， ．
（3）．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
考点十五 因式分解的应用
例题：（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若
，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知 ，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求△ABC的周长．
【答案】(1)3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得 ，然后由非负数性质求得结果；
（2）由 得 ，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得 ，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得
c，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由 得，
，
∵ ≥0， ，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案为：3；1；
（2）
由 ，得，
，
，∴ ，
∴ ；
（3）
由 得 ，
∴ ，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的周长为 ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）阅读材料：若 ，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则 ， ．
(2)已知 ，求 的值．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得 ，然后由非负数性质求得结果；
（2）由 得 ，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得 ，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角
形的周长．
（1）
解：由 ，得 ，
∵ ≥0， ，
∴a-3=0，b=0，∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）
由 得，
∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴ =16；
（3）
∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路
是解题的关键．
2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若 ，求m和n的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数， 的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若 ，求 的值．
(3)已知a，b，c是 ABC的三边长，满足 ，且c是 ABC中最长的边，求c的取值范
围．
△ △【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到 ，即可作出判断；
（2）根据题意由 得到 ，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；
（3）由 得到 ，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是 ABC的三边
长，且c是 ABC中最长的边，即可求得c的取值范围． △
（1）
△
解：
∵ ， ，
∴ ≥4
∴不论x，y为何有理数， 的值均为正数，
故选：A
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴ ；
（3）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是 ABC的三边长，且c是 ABC中最长的边，
∴ ，
△ △即5≤c＜9，
即c的取值范围是5≤c＜9．
【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平
方公式变形是解题的关键．
