文档内容
第七章 证明
回顾与思考导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、通过梳理本章知识点掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．
2、初步掌握证明题书写格式，会证明两条平行的相关判断定理，两直线平行的相关性质定理．
3、体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展学生的推理论证能力，
提高学生的表达能力和合作交流意识。
学习重点：
通过形成形成完整的知识链，能熟练应用所学知识进行解题.
学习难点：
推理意识的建立，掌握证明的步骤与格式
►
教学过程
一、展示思维导图
二、知识梳理
1、实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅
仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明
2、论证方法：实验论证；举出反例：推理论证。
3、命题
（1）判断一件事情的句子叫做命题。
（2）命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题。
（3）.要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子就可以，像这样的例子称为反证。
（4）经过实践验证的真命题称为基本事实。
（5）经过演绎推理得到的重要的真命题叫做定理
练一练；
1．下列句子中不是命题的是( )
A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗
D．同角的补角相等 C．若|a|＝|b|，则a =b
2. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)绝对值相等的两个数一定相等；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
解：
(1) ．
(2) ．
3.下列命题是真命题的是( )
A．若a ＝b ，则a＝b B．若x＝y，则2－3x＞2－3y
C．若x ＝2，则x＝±√2 D．若x ＝8，则x＝±2
4、平行线的判断
练一练：
（1）.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，AB∥CD吗？为什么？
解：
（2）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
（3）如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？
5、平行线的性质
练一练
（1）如图，已知AB∥CD，∠1＝150°，则∠2＝ .
（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDC＝40°，∠ECD＝45°，则∠ACB＝ .
（3）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°， 点D在BC的延长线上，则
∠ACD等于( )
A．100° B．120° C．130° D．150°
(4)、证明三角形的内角和定理．三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 下列语句是命题的有 .
（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；
（3）对顶角相等； （4）对应角相等的两个三角形是全等三角形。
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，
请举出反例！
（1）同角的补角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）若|a|=|b|，则a=b；
3.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则： ∠1+∠2+∠3= 。
4.如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°，则∠A= ， ∠ACB= .
第3题 第4题 第5题
5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED= 78° 。
6.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b。求证：∠1+∠2=180°。
7. 已知：如图，∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠4。能力提升：
8. 如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD，
且PE交直线BC于点E.
(1) 若∠B＝35°，∠ACB＝85°，
求∠E的度数；
(2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝ (∠ACB－∠B)．
拓展迁移：
9.嘉淇同学要证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是正确的，她先画出了如图所
示的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，____________，求证：__________．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按嘉淇的想法写出证明过程．
四、总结反思、拓展升华
【课堂总结】
通过本节课的学习，你有哪些收获？你学到了什么知识和方法,还有什么困惑？
1、知识方面.
2、能力方面.
3、思想方面.
4、模型方面.
五、【作业布置】
基础达标：1.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( )
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理.
2.下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
5．如图，已知在△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不一定成立的是(
)
A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC
第4题 第5题
6.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
能力提升：
7. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝BD，∠C＝∠ADC，∠BAC＝57°，求∠DAC的度数．
8.如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.(1)求证：EA平分∠BEF；
(2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD.
拓展迁移：
9.如图，直线AB∥ED。求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD。
A B
C
D
E
10.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
B
A
C
E
D
11.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说
明理由。
A B
F
E D
C课堂作业参考答案
1、(1),(3),(4)
2、（1）真命题，（2）真命题，（3）假命题，若a=-1，b=1，则|a|=|b|，但a≠b
3、90°
4、65°，60°
5、78°
6，证明：∵a∥b（已知），
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠3=∠2（对顶角相等），
∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
7、证明：∵∠2=∠5（对顶角相等），
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代换），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）。
8、解(1)：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝65°.
又∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC＝25°.
(2)证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB)．
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－ (∠ACB－∠B)．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠ADC＋∠E＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC.
∴∠E＝ (∠ACB－∠B)．
9.(1)解：补全图形如图所示．
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，
点D在射线BP上，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
求证：DE＝DF.(2)证明：∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°.
在△BED和△BFD中，
∵∠DEB＝∠DFB，∠EBD＝∠FBD，BD＝BD，
∴△BED≌△BFD(AAS)．
∴DE＝DF.
课外作业参考答案
1、A
2、B
3、A
4、D
5、A
6、解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE.
∴AB∥EF.
∴∠BDE＝∠DEF.
又∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A.
∴DE∥AC.
∴∠ACB＝∠BED＝60°.
7、解：设∠DAC＝x，则∠BAD＝57°－x.
∵∠C＝∠ADC，∴∠ADC＝ (180°－x)．
又∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝57°－x.
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴ (180°－x)＝2(57°－x)，解得x＝16°.
即∠DAC的度数为16°.
8、证明：(1)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°.
∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.
又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4.
∴∠1＝∠2.
∴EA平分∠BEF.
(2)∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝2(∠1＋∠4)＝180°.
∴∠B＋∠D＝(180°－2∠1)＋(180°－2∠4)＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°.
∴AB∥CD.
9、证法一：如图，过点C作CF∥AB。
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥ED（已知），
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质），
即∠BCD=∠ABC+∠CDE。
证法二：如图，延长BC交DE于点G。
∵AB∥DE（已知），
∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义），
∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1），
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）。
10、解：∠ABC+∠CDE+∠BCD=360°，理由是：
如图，过点C作CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥ED（已知），
B
A
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）， F
C
∴∠EDC+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
E
D
∴∠ABC+∠CDE+∠BCD=∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF
=180°+180°=360°（等式性质）。
=180°+180°=360°（等式性质）。
11、解：∠ABC=∠CDE+∠BCD，理由是：
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFE（两直线平行，同位角相等）
∵∠CFE是△CDF的一个外角（外角定义）
∴∠CFE=∠CDE+∠BCD（三角形的外角定理1）
∴∠ABC=∠CDE+∠BCD（等量代换）。
