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专题 16.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与题型分类讲
解）
第一部分【考点目录】
一、选择填空题（常考综合题）
【考点1】与三角形有关的边角................................................2
【考点2】全等三角形的判定和性质............................................3
【考点3】等腰三角形的判定与性质............................................4
【考点4】乘法公式中的几何图形..............................................5
【考点5】因式分解中的几何图形..............................................6
【考点6】乘法公式..........................................................7
【考点7】因式分解..........................................................8
【考点8】分式的运算与化简..................................................9
【考点9】分式方程的增根与无解..............................................9
【考点10】分式方程的解的情况求参数........................................10
【考点11】列分式方程......................................................10
二、解答题（常考综合题）
【考点12】乘法公式的运算..................................................11
【考点13】乘法公式的化简求值..............................................11
【考点14】因式分解........................................................12
【考点15】分式的运算......................................................12
【考点16】分式的化简求值..................................................12
【考点17】解分式方程......................................................12
【考点18】全等三角形......................................................12
【考点19】轴对称..........................................................13
三、选择填空题（压轴题）
【考点20】几何中折叠问题..................................................14
【考点21】几何中最值问题..................................................15【考点22】几何中动点问题..................................................16
【考点23】代数中的规律问题................................................17
四、解答题（压轴题）
【考点24】全等三角形与轴对称探究性问题....................................19
第二部分【考点展示与方法点拨】
一、选择填空题
【考点1】与三角形有关的边角
【1-1】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点 为 中 边的中点，点 为 的中点，
设 ， ，下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 、 大小关系无法确定
【1-2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示的图形是一瓷砖镶嵌图的一部分，AB⊥CD，则x的
值为 ．
【1-3】（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，将线段 平移得到线段 ，点 在 延长线上，点
在射线 上， 、 的角平分线所在直线相交于点 ，若 ， ，则．（用 ， 表示）
【考点2】全等三角形的判定和性质
【2-1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的 网格，图形
中各个顶点均为格点，设 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【2-2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个
正方形放置在大长方形 中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【2-3】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形 是等腰梯形，上底 ，过点 作
，且 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的长为 ．【2-4】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中，点P，M在坐标轴上， ， ，
， ，则点M的坐标是
【考点3】等腰三角形的判定与性质
【3-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形 沿直角
边 翻折，点B落在点C处，若点A坐标为 ，则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
【3-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）如图， ， ， ，若
，则 与 间的数量关系为（ ）A． B．
C． D．
【3-3】（24-25八年级上·上海·期末） 中， 是锐角， 与 的平分线交于点D，
过A作 交 的延长线于点E．当 是直角三角形，且 与 中有一个锐角相等时，
的度数是 ．
【3-4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知 是线段 的垂直平分线，直线 经过点 ，过
点作 ，垂足是 ，点 是线段 上一点，连接 、 ， ， 平分 ，
则线段 、 、 之间的等量关系是 ．
【考点4】乘法公式中的几何图形
【4-1】（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，两个正方形的泳池，面积分别是 和 ，两个泳池的面
积之和 ，点B是线段 上一点，设 ，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面
积为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．10【4-2】（20-21七年级下·河南郑州·期末）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆
放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影
部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【4-3】（23-24七年级下·广东汕头·期末）用四个长为 ，宽为 的小长方形构成如图的大正方形．根据
图形面积的关系，写出一个含 ， 的等式 ．
【4-4】（23-24八年级上·北京·期末）把一个边长为 的正方形按图1的方式叠放在边长为 的正方形中
（ ），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个
过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ．
【考点5】因式分解中的几何图形
【5-1】（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形 与边长为b的正方形 按如图所
示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知 ， ．则图中阴影部分的面积为（ ）A．28 B．39 C．61 D．68
【5-2】（22-23八年级上·山东淄博·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一
个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式 ．将若干张
图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式 分解因式为（ ）
A． B． C． D．
【5-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图 是一个棱长为 的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体
，将剩余部分进行切割得到如图 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式
进行因式分解，即 ．
【5-4】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，这三种规格的卡片共有 张，其中边长为 的正方形卡
片 张，边长为 的正方形卡片 张，长、宽分别为 ， 的长方形卡片 张 现要用这 张卡片拼成一个
大正方形，则这个大正方形的边长为 ．【考点6】乘法公式
【6-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若 是完全平方式； 是完全
平方式，则 和 的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【6-2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在
中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了 （n为非负整数）展
开式的项数及各项系数有关规律，如下：
……
则 展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．0 D．
【6-3】（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法；①若 ， 则 ；②若 ，
则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的说法是
．
【6-3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将 转化为方程 ，我们规定：方程 称为 的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
则 的还原方程是 ．
【考点7】因式分解
【7-1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【7-2】（2024八年级上·全国·专题练习）若 ，则 的值与
的公因式为（ ）
A．a B． C． D．
【7-3】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知 ， 则 = .
【7-4】（22-23八年级下·四川成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数
学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式 进行因式分解
得到 ，若取 ，则2→2，x→12，y→7， →14，可得密码为 ，对于代数
式 ，若取 ，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案
即可）
【考点8】分式的运算与化简
【8-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知 ， ，那么 的值为（ ）
A．2 B． C．7 D．0【8-2】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“ ”不
小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（ ）
A． B． C． D．
【8-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于正数x，规定 ，则
的值为 ．
【8-4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知分式 可以表示为 的形式，则 ．
【考点9】分式方程的增根与无解
【9-1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． 和 B． C． 和−2 D．
【9-2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于 的分式方程 无解，则所有满足条件
的整数 的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【9-3】（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”： ，例如：
，则分式方程 无解时，m的值是 ．
【9-4】（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知 ．
（1）若关于 的方程 有增根，则 的值是 ；
（2）若 为整数，当 时， 的所有整数值的和为 ．【考点10】分式方程的解的情况求参数
【10-1】（2024八年级上·全国·专题练习）关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【10-2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【10-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若关于 的不等式组 有解，关于 的分式方程
有非负数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【10-4】（24-25九年级上·重庆·期中）关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，
且关于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的值之和为 ．
【考点11】列分式方程
【11-1】（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，
由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了 ，结果提前4天完成任务．若设实际每天植
树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【11-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一
道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为 ，
其中x表示（ ）
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．快马需要的时间
【11-3】（2024·广东深圳·模拟预测）畅达绿脊蓝湾美城，趣享山海户外天堂．从2022年，深圳市政府工
作报告明确提出，打造“鹏城万里”多层次户外休闲步道体系建设，全面进入建设“超1000公里远足径
郊野径体系”的实施阶段．需要铺设一段全长为1000公里的绿道，为了尽量减少施工对城市交通所造成
的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x
公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【11-4】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）某地为了处理污水，需要铺设一条长4000米的管道，为了
尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成了任务．小
明根据题意列出了一个分式方程： ，则这个方程中的x表示的是（ ）
A．实际每天铺设的管道长度 B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设的管道长度 D．原计划施工的天数
二、解答题（常考综合题）
【考点12】乘法公式的运算........................................8
【12-1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算：
(1) (2)
【12-2】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算
(1) ； (2) ．
【考点13】乘法公式的化简求值
【13-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式 ．(1)化简代数式A；
(2)若 是一个完全平方式，求A的值．
【13-2】（24-25八年级上·全国·期末）化简求值
(1)已知 ，求 的值；
(2)先化简后求值： ，其中 ．
【考点14】因式分解
【14-1】（24-25八年级上·全国·期末）分解因式：
(1) ； (2) ．
【14-2】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算或因式分解：
(1)计算： ； (2)计算： ；
(3)因式分解： ； (4)因式分解： ．
【考点15】分式的运算
【15-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算：
(1) (2) ．
【15-2】（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算：
(1) ； (2) ．
【考点16】分式的化简求值
【16-1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值： ，再从 ，
，0，1，2中取一个数代入求值其中．
【16-2】（23-24八年级下·全国·期末）先化简，再求值： ，其中x满足【考点17】解分式方程
【17-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）解分式方程：
(1) (2)
【17-2】（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程
(1) (2)
【考点18】全等三角形
【18-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，已知 ， ，点E在 上．
(1)判断点A是否在 的平分线上，并说明理由；
(2)当 时，求 的长度．
【18-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（ ， ），
如图1所示放置，使得一直角边重合，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)延长 ，交 于点 F，求 的度数．
(3)若按图2放置，试探究 与 之间的关系．（只写结论，不必说明理由）
【考点19】轴对称
【19-1】（24-25九年级上·全国·期末） 与 都是以点A为顶角的等腰三角形，且
， ， 的延长线交 于点F，
(1)求证： ；
(2)探究线段 与 的数量关系，并说明理由．【19-2】（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形 中， ，过点B作
，垂足为点E，过点A作 ，垂足为点F，且 ．
(1) °；
(2)求证： ；
(3)连接 ，且 平分 交 于点G．探究 的形状并说明理由．
三、选择填空题（压轴题）
【考点20】几何中折叠问题
【20-1】（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在 中， ， ， ，
的平分线交 于点E，且 ．将 沿 折叠使点C与点E恰好重合，① ；②点
E到AC的距离为8；③ ；④ ，以上结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【20-2】（2022·浙江台州·模拟预测）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到
△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）A． B． C． D．
【20-3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将笔记本活页一角以 为折痕折叠，使所折部分与活
页在同一平面内，其中 ．现将图中的另一角 的边BD沿着过点 的直线折叠，折痕为
，点 在活页纸边 上(边 足够长)，点 的对应点 也落在活页的同一平面内．若 ，
则 (用含 的代数式表示)．
【20-4】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形纸片 中， ，将纸片沿 折叠，
点A、D分别落在 、 处，且 经过点B， 交BC于点G，连结 ， 平分 ．若
， ，则 的度数是 ．
【考点21】几何中最值问题
【21-1】（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在等腰 中，在 、 上分别截取 、 ，
使 ．再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线
，交 于点 ．已知 ， ， ．若点 、 分别是线段 和线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
【21-2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知在 中， ，点 为直角边
的中点，点 为 形内的一个动点，点 为 的中点，若 ， ， ，当
取得最小值时， 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【21-3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在 中， ， ，
， ， 是 的平分线，若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
．
【21-4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线 ，垂足为O，点A是射线 上一
点， ，以 为边在 右侧作 ，且满足 ，若点B是射线 上的一个动点（不
与点O重合），连接 ．作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段 取最
小值时， 的度数为 ．【考点22】几何中动点问题
【22-1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图， 的两条高 与 交于点 ， ，
．点 在射线 上，且 ，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向
终点 运动，同时动点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，当点 到达点 时，
， 两点同时停止运动，设运动时间为 秒，当 与 全等时，则 的值为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒
【22-2】（18-19八年级上·江苏无锡·期中）如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别
以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，
当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【22-3】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知： 中， ， ，D为射线CB上一
动点，连接AD，在直线 右侧作 ，且 ．连接 交直线 于M，若 ，则 的值为 ．
【22-4】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰 中， ，点 为射
线 上的动点， ，且 ， 与 所在的直线交于点 ，若 ，则 与
的比值为 ．
【考点23】代数中的规律问题
【23-1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【23-2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定 ，且满足以下规律
， ， ，…， ，……
， ， ，…， ，……．
， ， ， ，……．其中n为正整数，以此类推．
以下说法：① ；
② ；
③当 时， ；
④当 时， ．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【23-3】（17-18七年级·四川成都·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为
“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到
小的顺序）；
请依据上述规律，写出 展开式中含x2015项的系数是 ．
【23-4】（19-20九年级上·山东潍坊·期中）下列一组方程：① ，② ，③ ，…小
明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为 ；
第②个方程的解为 ；第③个方程的解为 .若n为正整数，且关于x的方程的一个解是 ，则n的值等于 .
四、解答题（压轴题）
【考点24】全等三角形与轴对称探究性问题
【24-1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为直线
上一动点，连接 ．在直线 的右侧作 ，且 ．
观察发现：
（1）如图①，当点 在线段 上时，过点 作 的垂线，垂足为 ，判断线段 与 之间的关系，
并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的 ， 连接，交直线 于点 ，我们很容易发现 ．如图②，当点 在线
段 的延长线上时，连接 交直线 于点 ，线段 和线段 之间的关系有没有变化？此时
吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，当 ， 时，求 和 的面积．
【24-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学
区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成
一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．(1)【模型探究】如图1， 和 中， ， ，且 ，连接 ， ．
这一图形称“手拉手模型”．求证 ，请你完善下列过程．
证明： ，
．
即 ．
在 和 中
（________） ．
(2)【模型指引】如图2， 中， ， ，以 为端点引一条与腰 相交的射线，在
射线上取点 ，使 ，求 的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在 上
找一点 ，使 ，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3， 中， ， 为任意角度，若射线 不与腰 相交，而是从
端点 向右下方延伸．仍在射线上取点 ，使 ，试判断 与 有何数量关系？
并写出简要说明．
【24-3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB
和 为腰的等腰 ，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】
如图 ，在 中， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ．求证：；
【实践探究】
如图 ，在等腰 中， ，点 是 上的点，过点 作 于点 ．若 ，
猜想线段 和AD的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
如图 ，在等腰 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，当 的值
最小时，则 的度数为 ．
【24-4】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【问题情境】
【
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作
，垂足为 ，延长 交 于点 ，可根据______证明 ≌ ，则 ，
（即点 为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于 ，若 ， ，通过上述构造全等
的办法，可求得 ______．
【拓展延伸】
如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长线上，试
探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进
行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知，，面积为26，则划出的的面积是多少？
