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专题 05 概率初步（考点清单，9 个考点清单+6 种题型解读）
【清单01】随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然
事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
【清单02】可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进
行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，
如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的
估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
【清单03】概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就
叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理
解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合
具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
【清单04】概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝ ．（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
【清单05】几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又区
域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点
M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体
积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何
概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度
量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
【清单06】列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【清单07】游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公
平．
（2）概率＝ ．
【清单08】利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
【清单09】模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省
时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课
标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
【考点题型一】列举法计算概率
【例1】（2023秋•历城区期末）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择
一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两人恰好都选择铅球项目的结果数，然后根据概率公
式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两人恰好都选择铅球项目的结果数为1种，
所以两人恰好都选择铅球项目的概率 ．
故选： ．
【点评】本查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事
件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式求出事件 或 的概率．
【变式1-1】（2023秋•商河县期末）某校举行以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒
演讲，小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中电脑给小亮和小敏派发的是同一个题目的结果有3种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：把三个题目分别记为 、 、 ，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中电脑给小亮和小敏派发的是同一个题目的结果有3种，
电脑给他们派发的是同一个题目的概率是 ，
故选： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情
况数与总情况数之比．
【变式1-2】（2023秋•登封市校级期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除
颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋
中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
频率
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到
（2）试估算口袋中白球有 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中
各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【分析】（1）根据统计数据，当 很大时，摸到白球的频率接近0.75．
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.75，然后利用概率公式计算白球的个数．
（3）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；
故答案为：0.75
（2）由（1）得摸到白球的概率率为0.75，
所以可估计口袋中白球有 （个 ；
故答案为：3
（3）将第一个口袋中3个白球分别记为白 ，白 ，白 ，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
两个球颜色相同的概率为 ．
【点评】本题考查了如何利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间
的关系．
【变式1-3】（2023秋•安州区期末）一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球
除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过
大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右．
（1）请你估计箱子里红色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球
颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【分析】（1）根据摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25，设红色小球
的个数为 ，根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，求出概率即可．
【解答】解：（1） 摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，
摸到白色小球的概率是0.25，
设红色小球的个数为 ，由题意，得： ，解得： ，
经检验 是原方程的解；
箱子里红色小球的个数为3；
（2）画出树状图，如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为 ．
【点评】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频
率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
【变式1-4】（2023秋•莱西市期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色
外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，
不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 10 50 150 750 1500 3000 5000
摸到白球的频 0.5 0.8 0.82 0.747 0.749 0.750 0.750
率
（1）试估算口袋中白球有 个．
（2）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中
各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【分析】（1）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为 0.75，然后利用概率公式计算白球的个
数．
（2）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率
公式求解．
【解答】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，所以摸到白球的概率为0.75，
所以可估计口袋中白球有 （个 ；
故答案为：3；（2）将第一个口袋中3个白球分别记为白 ，白 ，白 ，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
两个球颜色相同的概率为 ．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的关
系．
【变式1-5】（2023秋•顺德区期末）一个盒子中有红球、白球共3个，这些球除颜色外都相同．
（1）随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒子中，不断重复这一过程．在120次摸球中有80次摸到白球
估计盒子中白球的数量；
（2）在（1）的结论下同时摸出两个球，求摸到的球颜色相同的概率．
【分析】（1）设盒子中大约有白球 个，根据“白球数量 黑白球总数 白球所占比例”来列等量关系式，
其中“黑白球总数 黑球个数 白球个数“，“白球所占比例 随机摸到的白球次数 总共摸球的次数”；
（2）列表或树状图后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
故白球有2个；
（2）根据题意列树状图得：
共6种等可能的结果，颜色相同的有2种，
颜色相同的概率为 ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和利用频率估计概率的知识．注意列表法或画树状图
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．【考点题型二】抽象概率模型解决实际问题
【例2】（2023秋•南山区期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的
一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内
随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.6左右，则据此估计此二维码中黑色
阴影的面积为
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
【变式2-1】（2023秋•沙河口区期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用
计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次 80 229 392 779 1251 1562
数
“有2个人同月过生日”的频 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到 大约是
A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78
左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率．
【解答】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
故选： ．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
【变式2-2】（2023秋•新昌县期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得
到如下表格：
抽取件数 50 100 200 300 500 1000
（件
合格频数 49 94 192 285 950
合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95
（1）表格中 的值为 ， 的值为 ．
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．
（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今
天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
【分析】（1）根据频率 频数 总数求解即可；
（2）用1减去合格品频率的稳定值即可；
（3）总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可．
【解答】解：（1） ， ，
故答案为：475、0.95；
（2） ．
答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05；
（3） （元 ．
答：估计要在他奖金中扣除46元．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
【变式2-3】（2023秋•湖州期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一
批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000优等品的频数 9 96 962 1920 2880
优等品的频率 0.9 0.96 0.96
（1） ； ．
（2）估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ．（精确到
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？
【分析】（1）用频数除以总数即可；
（2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概
率为0.96．
（3）用总数量乘以优等品的概率即可．
【解答】解：（1） ，
，
故答案为：0.962，0.96；
（2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96．
（3）这批公仔中优等品大约有 （只 ，
答：估计这批公仔中优等品大约有9600只．
【点评】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置
左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这
个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精
确．
【变式2-4】．（2023秋•丰满区期末）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行
试验研究时，收集的以下试验结果：
500 1000 1500 2000 3000 4000
试验的种子数
471 946 1425 1898 2853 3812
发芽的种子粒数
0.942 0.946 0.949 0.953
发芽频率
（1）求表中 ， 的值；
（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到 ；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育．【分析】（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出 、 的值；
（2）根据频率估计概率求解即可；
（3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率可得答案．
【解答】解：（1） ， ，
故答案为：0.95，0.951；
（2）任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95；
（3） ，
答：估算至少需要准备8000粒种子进行发芽培育．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
【考点题型三】建立方程模型求解概率问题
【例3】（2023秋•长安区期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球
个，绿球 个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋
中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则 的值应为 ．
【分析】若游戏对甲、乙双方都公平，则口袋中绿球和黑球的个数相等，则黑球的个数为 个，列式求出
即可．
【解答】解： 游戏对甲、乙双方都公平，
口袋中绿球和黑球的个数相等，
黑球的个数为 个，
，
解得 ．
故答案为：4．
【点评】题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
【变式3-1】（2022秋•沈河区期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋
中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇
匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设红球的个数为x个，根据题意得：
∴ ＝0.15，
解得：x＝17，
经检验x＝17是原方程的解，
则红球的个数为17个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相
等是解决问题的关键．
【变式3-2】（2022秋•邯郸期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，
某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过
程，下表是试验进行中的统计数据．
摸球的次数n 10 100 200 500 1000
摸到黑球的次 3 26 51 126 251
数m
摸到黑球的频 0.3 0.26 0.255 0.252 0.251
率
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.01），该袋子中的黑球有 个；
（2）该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球
的颜色不同的概率．
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，根据概率公式可求得黑球的个数；
（2）根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
估计摸到黑球的概率为0.25，设黑球有a个，则 ，
解得：a＝1，
故答案为：0.25，1；（2）树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为 ．
【点评】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．
【变式3-3】（2023秋•崇义县期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 30只，这些球除
颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒
子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次 100 200 300 500 800 1000 3000
数
摸到白球 52 138 178 302 481 599 1803
的次数
摸到白球 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
的频率
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到 ；
（2）盒子里白色的球有 只；
（3）若将 个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求 的值．
【分析】（1）由表中 的最大值所对应的频率即为所求；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6，
故答案为：0.6；
（2） 摸到白球的概率为0.6，共有30只球，
则白球的个数为 （只 ，
故答案为：18；
（3）根据题意得： ，
解得： ．答： 的值为30．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体
数目 总体数目 相应频率．
【变式3-4】（2023秋•上饶期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表所示；
（1）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（2）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透
明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于
，问至少取出了多少个黑球？
抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000
优等品频数 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
【分析】（1）利用频率估计概率求解即可；
（2）①利用概率公式求解即可；②设从袋中取出 个黑球，根据摸出一个是黄球的概率不小于 列方程求
解即可．
【解答】解：（1）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是0.95；
（2）①从袋中摸出一个球是黄球的概率为 ；
②设从袋中取出 个黑球，
根据题意得： ，
解得 ，
答：至少取出了9个黑球．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
【考点题型四】利用概率判断游戏的公平性
【例4】（2023秋•雨花区期末）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上
红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
【分析】（1）画出树状图，进一步一一列举得出所有情况即可；
（2）计算甲、乙获胜的概率，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），
（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） 共9种情况；
（2） （甲获胜） ，
（乙获胜） ，
（甲获胜） （乙获胜），
所以游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就
公平，否则就不公平．利用概率 所求情况数与总情况数之比解决问题．
【变式4-1】（2023秋•惠城区校级期末）如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几
个扇形，并涂上图中所示的颜色．小强和小亮用转盘 和转盘 做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若
其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获
胜 ； 在 其 他 情 况 下 ， 小 强 和 小 亮 不 分 胜 负（1）用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（2）小强认为此游戏不公平，请你帮他说明理由；
（3）请你在转盘 的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘 替换转盘 后，游戏对小强和小亮是公平的
（在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果即可）．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，即可得出答案；
（2）由（1）中的树状图知，共有15种等可能出现的结果，其中可配成紫色的结果有3种，两个转盘转出
的颜色相同的结果有4种，然后利用概率公式求解即可求得小强获胜与小亮获胜的概率，比较大小即可；
（3）使得小强获胜与小亮获胜的概率相等即可．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有15种等可能出现的结果；
（2）小强认为此游戏不公平，理由如下：
由（1）得：共有15种等可能出现的结果，其中可配成紫色的结果有3种，两个转盘转出的颜色相同的结
果有4种，
小强获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为 ，
，
此游戏不公平；
（3）如图，（答案不唯一）．【点评】本题考查了游戏公平性、树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
【变式4-2】（2023秋•越城区期末）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小丽和小芳
想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案．甲同学的方案：
将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之
和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并
说明理由．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该
事件的概率，比较即可．
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概
率，比较即可．
【解答】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：
列表法，
小丽 2 3 4 5
小芳
2
3
4
5
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有8种，故小丽获胜的概率为：
，则小芳获胜的概率为： ，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；
（2）公平．理由如下：列表如下：
小丽 2 3 5 7
小芳
2
3
5
7
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：6种，故小丽获胜的概率为：
，则小芳获胜的概率为 ，
故此游戏两人获胜的概率相同，即他们的游戏规则公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列
表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件．用到的知识点为：概率 所
求情况数与总情况数之比．
【变式4-3】（2023秋•万年县期末）万年县举行校园安全知识竞赛，要求每个学校只派一名学生参赛．某
学校举行了校内选拔赛，其中袁梦和孟想两位同学获得最高分（分数相同），袁梦和孟想想通过游戏来决
定谁参加县里比赛．游戏规则：在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、
3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的三个扇形区域，分别标有数字5、6、7（如图）：
一人从口袋中摸出一个球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 8，那么
袁梦去；否则孟想去．
（1）用树状图或列表法求出袁梦参加比赛的概率．
（2）你认为该游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．
【分析】（1）根据题意画出树状图即可计算出概率；
（2）根据概率比较概率是否相等，即可判断游戏是否公平．
【解答】解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，满足条件的有3种情况，
；
（2）不公平，
（和小于 ，
（和大于或等于 ，
故游戏不公平；
可改为：若指针所指数字之和为偶数，则袁梦获胜；若指针所指数字之和为奇数，则孟想获胜；
（和为偶数） （和为奇数） ．
【点评】本题主要考查了游戏公平性的判断，树状图或列表法求概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．
【变式4-4】（2023秋•翠屏区期末）将正面分别写着数字0、1、2的三张卡片（注：这三张卡片的形状、
大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，
背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 ，然后放回洗匀，背面朝上放在
桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 ，组成一数对 ．
（1）请用树状图或列表的方法求出所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，
数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）利用枚举法解决问题即可．
（2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断．
【解答】解：（1）列表如下：
0 1 2
0
1
2
所有可能出现的结果为： ， ， 0， ， ， ， ， ， ， 共9种．（2）数字之和为奇数的概率 ，数字之和为偶数的概率 ，
，
这个游戏不公平．
【点评】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式4-5】（2023秋•大同期末）如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中间剪
断，再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀．小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地摸取
一张（不放回），小英接着再随机地摸取一张．
（1）小康抽到甲图片上半部分图片的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况；
（3）游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为
这个游戏公平吗？并说明理由．
【分析】（1）利用概率的计算公式计算即可；
（2）设四张小图片分别用 ， ， ， 表示，画树状图得出所有等可能的情况数即可；
（3）分别求出小康和小英获胜的概率，比较即可得到结论．
【解答】解：（1）小康抽取一张共有4种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有1种结果，
小康抽到甲图片上半部分图片的概率是 ；
（2）设四张小图片分别用 ， ， ， 表示，画树状图得：
（3） 共有12种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有4种，
小康获胜的概率为 ；
摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有8种，
小英获胜的概率为 ；，
游戏不公平．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率 所求情况数与总情况
数之比．
【考点题型五】概率与其他知识的综合应用
【例5】（2023秋•江夏区校级期末）如图，阴影部分是分别以正方形 的顶点和中心为圆心，以正
方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形 上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域
内的概率是 ．
【分析】令正方形的边长为 ，针头落在阴影部分区域内的概率是阴影部分的面积与正方形面积的比．
【解答】解：如图，令正方形的边长为 ，
则阴影部分的面积为 ，
所以针头落在阴影部分区域内的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率的计算，涉及圆的面积在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．
【变式5-1】（2023秋•武侯区校级期末）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、 、3，将卡片的背面朝
上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将
卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理
由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案．
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 ，
故答案为： ；
（2）小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0 1 3
0 1 3
1 2
2 3 5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
甲获胜的概率 乙获胜的概率 ，
小敏设计的游戏规则公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的
概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
【变式5-2】（2023秋•缙云县期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字 ，0，1，2的四张卡片反面
朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为 ；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，
记下数字为 ．
（1）计算 的结果为0的概率；
（2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若 ， 满足 ，则甲胜；若 ， 满足 ，则乙胜．
这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则．
【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出 的结果为0的结果数，然后根据概率公式
求解；
（2）由（1）得共有12种等可能的结果，再值出 的结果和 的结果数为2种，则可计算出甲胜
的概率 ，乙胜的概率 ，于是利用 可判断这个游戏规则不公平；若 ， 满足 ，则甲胜；若 ， 满足 ，则乙胜，此时游戏规则公平．
【解答】解：（1）画树状图为：
，
共有12种等可能的结果，其中 的结果为0的结果数为2种，
所以 的结果为0的概率 ；
（2）由（1）得共有 12种等可能的结果，其中 的结果为 0的结果数为 2种，所以甲胜的概率
；
的结果为0的结果数为4种，所以乙胜的概率 ，、
因为 ，
所以这个游戏规则不公平．
公平的游戏规则可为：若 ， 满足 ，则甲胜；若 ， 满足 ，则乙胜．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，
概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
【变式5-3】（2023秋•蓬莱区期末）如图，有四张背面完全相同的卡片 ， ， ， ，其中正面分别
写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数 随 的增大而减小的概率是 ；
（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两
张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公
平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得
出答案．
【解答】解：（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数 随 的增大而减小的概率是 ．
故答案为： ．
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中抽出的两张卡片上的函数增减性相同的有 4种，抽出的两张卡片上的函数
增减性不同的有8种，
则抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率是 ，抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是
，
，
不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
【变式5-4】（2023秋•安次区期末）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为
“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．
（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；
（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这
个游戏公平吗？试说明理由．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数；
（2）由（1），可求得胜与乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案．
【解答】解：（1）画树状图得：所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432． （5分）
（2）这个游戏不公平．
组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，
甲胜的概率为 ，
而乙胜的概率为 ，
这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．
【变式5-5】（2023•内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动
（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；
E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，
并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角 ＝ 度；
（3）现从“文学社团”里表α 现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列
表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以C的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
故答案为：200，
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中圆心角 ＝360°× ＝54°，
故答案为：54； α
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
【考点题型六】概率中跨学科试题
【例6】（2023秋•枣庄期末）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中
华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同
的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉
字“龘”的概率为
A． B． C． D．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，再利
用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
龙 行 龘 龘
龙 （龙， （龙， （龙，
行） 龘） 龘）
行 （行， （行， （行，
龙） 龘） 龘）
龘 （龘， （龘， （龘，
龙） 行） 龘）
龘 （龘， （龘， （龘，
龙） 行） 龘）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【变式6-1】（2023秋•卫辉市期末）如图，电路图上有4个开关 ， ， ， 和1个小灯泡，同时闭合
开关 ， 或同时闭合开关 ， 都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概
率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，小灯泡发光的概率为 ，
故选： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放
回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
【变式6-2】（2023秋•泗县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让红灯
发光的概率是
A． B． C． D．
【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，
树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率 所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树
状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
能让红灯发光的概率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握概率公式．
【变式6-3】（2023秋•渝中区期末）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完
全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果
数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将4张卡片分别记为 ， ， ， ，
则属于化学变化的有 和 ．
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有： ， ，
共2种，
这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【变式6-4】（2023秋•驻马店期末）韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片（除
图案和文字不同外，其他完全相同），将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像
与绰号完全对应的概率是A． B． C． D．
【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：设宋江、李逵、及时雨、黑旋风分别用 、 、 、 表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的可能性有4种，
抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率为 ，
故选： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
【变式6-5】（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，
将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0＜x≤20 20
20＜x≤40 a
40＜x≤60 25
60＜x≤80 15
x＞80 10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中a＝ ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四
本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用
列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【分析】（1）将40＜x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以 20＜x≤40
组的百分比即可求出a的值；
（2）将60＜x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时
长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数；
（3）将x＞80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生
人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》
的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片 A，B，C，D标记，
画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝ ．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的
概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的
关键．
