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专题 08 锐角三角函数（考点清单，8 个考点清单+12 种题型解读）【清单01】锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【清单02】特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【清单03】解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【清单04】仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【清单05】坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【清单06】方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【清单07】解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.【清单08】解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【考点题型一】求三角函数的值
1.（22-23九年级下·河北张家口·期末）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，若 的半径为
2， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先连接 ，由 是圆O的直径，可得 ，又由圆O的半径为 ， ，即可求
得 的值，又由 ，即可求得答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是圆O的直径，
∴ ，
∵ 的半径为2， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握
转化思想与数形结合思想的应用．
2.（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在 中， 是 上一点，连接 ，若
，则 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，取
的中点E，连接 ，根据直角三角形的性质可得 ，再由 ，可得
，可证明 ，从而得到 ，设 ，则 ，可得
， ，从而得到 的长，再由勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点E，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴可设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3.（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，在 中， 是边 的中点， ，
垂足为点E．已知 ．
(1)求线段 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据三角函数求出 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 的
长即可；
（2）先运用勾股定理求出 ，再由于D为 上的中点可得 ，推出 ，利用正弦函数求出 ，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题
【考点题型二】锐角三角函数在几何图形中的应用
4．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为
，依次连接四个垂足，可得到矩形 ．设对角线 与 的夹角为 ，那
么矩形 与矩形 面积的比值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导 ，得到 ，然后利
用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】如图，设对角线 与 交于点O，
∵ ， 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
，∴ ，
∴矩形 与矩形 面积的比为 ，
故选B．
5.（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 顺时针旋转得
到矩形 ，若点 在 上，连接 ， ，则 值为 ．
【答案】
【分析】过 作 于点 ，交 于点 ，由旋转和矩形的性质可得： ， ，
，设 ，则 ，根据勾股定理求出 ，进而得到
，根据同角的余角相等可得 ，推出 ，可求出 ，
进而求出 、 和 ，证明四边形 是矩形，得到 ， ，根据勾股定
理求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，交 于点 ，
由旋转和矩形的性质可得： ， ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关
知识．
6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， 于点 ， ， ，
．(1)求 的大小；
(2)若点 ， 分别为 ， 的中点，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理：
（1）根据等腰三角形的判定可得 ，在 中，可得 ，即可求解；
（2）根据直角三角形的性质可得 ，再由三角形中位线定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ ．
【考点题型三】三角函数在实际中应用
7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 处测得灯塔
最高点 的仰角 ，再沿 方向前进至 处测得最高点 的仰角 ，则
灯塔的高度 大约是（结果精确到 ，参考数据： ）（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，由题意得： ，设 ，则
， ，再结合 得出 ，求出 的值即可
得解，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
灯塔的高度 大约是 ，
故选：A．
8．（20-21九年级上·陕西铜川·期末）如图，在河流的右岸边有一高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡
，点C与点B在同一水平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在
坡底C处测得楼顶A的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米（即 米）到达点D处，此时
在D处测得楼顶A的仰角为 ．（参考数据： ， ， ）(1)求点C到点D的水平距离 的长；
(2)求楼 的高度．
【答案】(1)40米
(2)楼 的高度约为80米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得 ，设 米，则 米，然后利用勾股定理可求出 ．据此即可
求得 的长；
（2）过点D作 ，垂足为G，则 米， ，然后设 米，在 中，
利用锐角是三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义
列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵山坡CF的坡度 ，
∴ ，
设 米，则 米，
∴ （米），
∵ 米，
∴ ，
∴ ，
∴ 米， （米）；
（2）解：过点D作 ，垂足为G，则四边形 是矩形，∴ 米， ，
设 米，
∴ 米，
在 中， ，
∴ （米），
∴ 米，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴ 米，
∴楼 的高度约为80米
【考点题型四】三角函数在生活中的应用
9．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一个钟摆的摆长 的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆
角 为 ，点C是 的中点， 与 交于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，由点C是 的中点， 为 ，
可得 的度数，已知 的长为a，用余弦公式可表示 ，根据 ，可得 的长．
【详解】解： 点C是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10．（23-24九年级下·江苏常州·期末）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所
示，遮阳棚展开长度 ，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点 距离地面高
度 ，遮阳棚与墙面的夹角 ，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角
，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长为 （结果保留根号）．
【答案】 /
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．作 于点E， 于点H，延
长 交 于点K，则 ，则四边形 是矩形，在 中，可得
， ，从而得到 ，然后在 中，根据，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，作 于点E， 于点H，延长 交 于点K，则 ，则四边
形 是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
11．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是
向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻
碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为 ，从室内看门框露在外面部分的宽为 ，求
室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到
， ）【答案】室内露出的墙的厚度约为
【分析】该题主要考查了解直角三角的应用，此题读懂题意，理解题目叙述的意义是解题的关键，理解实
际图形后才能把它转化成数学问题，然后利用三角函数解决问题．
宽为 的门框及开成 的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60°，根据已知条件解直
角三角形就可以求出a．
【详解】解：从图中可以看出，在室内厚为 的墙面、宽为 的门框及开成 的门之间构成了一个
直角三角形，且其中有一个角为60度．
从而
．
即室内露出的墙的厚度约为 ．
【考点题型五】在一般四边形中应用
12．（20-21九年级上·湖南邵阳·期末）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，
，则AB=（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥AB于E，得到四边形DEBC是矩形，得到BE=DC=2米，DE=BC=5米，根据
，求得AD=13米，根据勾股定理求出AE=12米，即可得到答案．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，
∴∠DEB=∠B=∠C=90°，
∴四边形DEBC是矩形，
∴BE=DC=2米，DE=BC=5米，
∵ ，∴ ，
∴AD=13米，
∴AE= 米，
∴AB=AE+BE=12+2=14米，
故选：D．
．
【点睛】此题考查矩形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，正确引出辅助线构建直角三角形解决问
题是解题的关键．
13．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，求 的长．
【答案】 ．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理和通过余弦值求边长，过 作 于点 ，证明四
边形 是矩形，根据性质得出 ，由 求出 ，最后通过勾股定理即可求解，解题
的关键是熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线．
【详解】过 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
14．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）如图，在四边形 中， 平分 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)37.5
【分析】（1）根据所给条件证出 ，即可得出 ；
（2）先根据三角函数求出 的值，再根据勾股定理求出 的值，最后根据 和三角形面积公式
求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，三角函数和勾股定理
是解题的关键．
【考点题型六】在平行四边形中应用
15.（21-22九年级上·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，以 为直
径作 ，点 恰好在 上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连结OM，过点M作MC⊥AB于C，根据圆周角定理得出∠MOB=2∠MAB=60°，由 得出
OA=OB=OM=4，根据扇形面积公式求得 ，在Rt△OMC中，利用三角函数求得
MC=OMsin∠MOC=4 ，利用割补法求阴影部分面积即可．
【详解】解：连结OM，过点M作MC⊥AB于C，
∴∠MOB=2∠MAB=60°，∵ ，
∴OA=OB=OM=4，
，
在Rt OMC中，MC=OMsin∠MOC=4 ，
△
∴S ABNM=AB·MC=8× ，S MAO= ，
平行四边形
△
∴S = S ABNM- S MAO- ，
阴影部分 平行四边形
△
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积，掌握圆周角
定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积是解题关键
16.（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点
E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE= ，求CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到∠B=∠D，AB=CD，再由∠B+∠BAE=90°，
∠DAF+∠D=90°即可得到∠BAE=∠DAF；（2）由tan∠BAE ，AE=4，得到BE=3，可求出 ，证明△ABE∽△ADF 得到
，求出DF的长，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90°，∠AFD=90°
∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°
∴∠BAE=∠DAF；
（2）解：∵tan∠BAE ，AE=4，
∴BE=3，
∴在△ABE中， ，
∴
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF
∴ ，
∴ ，
∴FC= = ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，熟记相关知识是解题
的关键．
【考点题型七】在菱形中应用
17．（21-22九年级上·陕西西安·期末）在菱形ABCD中，连接AC、BD，若 ，且AC＝4，则
菱形ABCD的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据菱形的性质和三角函数的意义，即可得到AB的长，再根据勾股定理求得BO的长，即可得到
BD的长，最后根据菱形的面积计算公式，即可得到结论．
【详解】解：设AC与BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC＝2，
∴∠AOB＝90°，
∵ ，且AO＝2，
∴ ，
∴AB＝3，
∴Rt△ABO中，BO＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2BO＝2 ，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ＝ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和三角函数，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，菱形的面积等
于两条对角线乘积的一半
18．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在菱形 中， ， 于点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，则 ．（ 表示面积）
【答案】
【分析】设 ，则 ，根据勾股定理求出 ，然后证明 ，最后根据相似三
角形的性质求解即可．
【详解】解∶ ∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的
面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形 中， ，点E、F分别是边
上的动点，点E与点A，B不重合，且 ，作 ，交边 于点G，连接 ，将四边形 沿直线 翻折得到四边形 ．
(1)当E是AB的中点时，求四边形 面积；
(2)设 ，四边形 面积为S，求S关于x的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，过 作 于 ，延长 交 于点P，作 于 ，记 与 的
交点为 ，证明三角形 是等边三角形，则 ，可求 ，
由 ，可得 ， ，由翻
折的性质可知， ， ，则 ， ，可得
，四边形 是矩形，则 ， ，
，则 ， ，由E是 的中点，可
得 ， ， ， ，根据
，计算求解即可；（2）由 ，可得 ，同理（1）可知， ， ，
，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，过 作 于 ，延长 交 于点P，作 于 ，记 与
的交点为 ，
∵ ， ，
∴三角形 是等边三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵菱形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由翻折的性质可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴四边形 面积为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
同理（1）可知， ， ， ，
∴
，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，矩
形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角
形的判定与性质，矩形的判定与性质，余弦是解题的关键．
【考点题型八】在矩形中应用
20．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形 中，点E在 上，使点D落在 边上的点
F处，若 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质和翻折的性质以及勾股定理 ，求出 ，再求出 ，在
中，根据勾股定理得： ，可求出 ，再利用锐角三角形函数即可解决问题．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由翻折可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握
翻折的性质，灵活利用勾股定理求出未知线段的长
21．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形 中， ， ，P为边 上一个动点，
连接 ，将 沿 所在直线折叠后，点A的对应点落在点 处，连接 ，则当 取最小值时，
的值为 ．【答案】 /0.75
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，根据折叠可得出 ，则 在
以B为圆心， 为半径的圆上运动，则当B、 、D三点共线时， 取最小值，最小值为 ，然
后在 中利用正切的定义求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵折叠，
∴ ，
∴ 在以B为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ ，
∴当B、 、D三点共线时， 取最小值，最小值为 ，
∴ ．
故答案为： ．
22．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知 是矩形 的对角线， ， 交 延
长线于 ， 交 于 ， 交 于 .
(1)求证：点 是 的重心；(2)如果 ，求 的正弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键．
（1）证明 是 的中线， 是 的中线即可得到结论．
（2）根据重心的性质得到 ，求出 的值，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）证明： 矩形 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是 的中线，
，
，
是 的中线，
点 是 的重心；
（2）解： 点 是 的重心，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，【考点题型九】在正方形中应用
23．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形
与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小
的锐角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函
数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．
【详解】解： 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为 ，则较长的直角边是 ，其中 ，
由勾股定理得： ，
整理得：
解得： ， （不合题意，舍去）．
，
．
故选：D．
24．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点， ，
垂足为D，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先
求出 ，然后利用利用 解题即可．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
25．（22-23九年级上·海南儋州·期末）如图，在正方形 中，P是 边上的一点，且 ，Q
是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）根据正方形的性质得到 ，进而推出 ，即可证得
结论；
（2）设 ，则 ，勾股定理求出 ，根据相似三角形的性质证
得 ，勾股定理求出 即可．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，Q是 的中点．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值，正确掌握各知
识点并熟练应用是解题的关键【考点题型十】在圆中求三角函数值
26．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图， 的半径为8， 内接于 ， 于点D，F
为弦 的中点，连接 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，求角的正弦值．连接 ，推出 ，等角的余角相等，得到
，得到 ，即可得出结果．
【详解】解：连接 ，则： ， ，
∵F为弦 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
27．（20-21九年级上·河南信阳·期末）如图， ， 两点在以 为直径的 上，若 ， 的半
径为2，则 的值为 ．【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠DBA，根据AB为⊙O是直径，可知∠ADB=90°，然
后利用勾股定理求出BD，则tan∠ACD=tan∠DBA = ．
【详解】解：∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵AB为⊙O是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD=3，AB=4，
∴BD= ，
∴tan∠ACD=tan∠DBA = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求一个角的正切及圆周角，解题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．
28．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，四边形 中， ，以 为直径画
恰好经过点C，与 交于点E．（1）求证： 与 相切；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD即可；
（2）连接AC，EC，证明 DEC∽ DCA，求得CD，证明 DAC∽ CAB，求 ．
【详解】（1）连接OC，△ △ △ △
∵OC＝OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠COB+∠B+∠OCB=180°，
即∠COB+2∠B=180°，
∵∠DAB+2∠B=180°，
∴∠DAB=∠COB，
∴OC∥AD，
∴∠OCD=∠D，
∵∠D=90°，
∴∠OCD=90°，
∴ 与 相切；
（2）如图，连接AC，EC，
∵四边形AECB是圆的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠CAB，
∵∠DCA=90°-∠ACO，∠CAB=∠ACO，
∴∠B=∠DCA，
∴∠DEC=∠DCA，∴ DEC∽ DCA，
∴△DC：DA△=DE：DC，
∴ ，
∴DC= DE；
∵∠DAB=∠COB，∠DAB=∠DAC+∠OAC，∠COB=2∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴ DAC∽ CAB，
∴△AC：BC=△AD：DC，
∴ = AC：BC=AD：DC=5DE： DE= ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角形的相似，圆的内接四边形的性质，三角函数的定义，直径
的性质，熟练掌握连接半径证垂直证切线，灵活证明三角形的相似是解题的关键．
【考点题型十一】在圆中求三角函数求角
29．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图， 中， ， ，G是 的重心，AB
的中点为D，以G为圆心， 长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段 ，其中E、F为切点，
则 与 的度数和为（ ）
A．30° B． C． D．
【答案】B【分析】连接 ， ， ，根据重心的性质得出 ，进而得出 ，根据切线长定理得
出 ，根据三角形内角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ， ，
∵ 是 的重心， 的中点为 ，
∴ 在 上，
∴ ，
∵ 、 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线长定理，根据特殊角的三角函数值求角度，三角形重心的性质，三角形内角和定
理，掌握三角形重心的性质是解题的关键
30．（2022九年级下·全国·专题练习）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是 和 ，则∠BAC的度
数是 ．
【答案】15°或75°/75°或15°
【分析】由题意可知半径为1，弦AB、AC分别是 和 ，作OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可求出
AM与AN的长度，然后分别在直角三角形AOM与直角三角形AON中，利用余弦函数，可求出
∠OAM=45°，∠OAN=30°，然后根据AC与AB的位置情况分两种进行讨论即可．
【详解】解：如图，作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM= AB，AN= AC，
∵弦AB、AC分别是 、 ，
∴AM= ，AN= ；
∵半径为1，
∴OA=1；
∵ ，
∴∠OAM=45°；
同理∵ ，
∴∠OAN=30°；
∴∠BAC=∠OAM+∠OAN或∠OAM-∠OAN
∴∠BAC=75°或15°．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角形函数．本题综合性强，关键是画出图形，作好辅助
线，利用垂径定理和直角三角形的特殊余弦值求得角的度数，注意要考虑到两种情况．
31．（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）如图， 是 的直径， 切 于点B， 的延长线交直
线 于点A，点F在 上， ．
(1)求 的度数；(2)求 的长．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）如图1，连接 ，由 切 于点B，可得 ，由 是 的直径，
，可得 ， ，由 ，可得
，则 ，由圆周角定理得 ，计算求解即可；
（2）如图2，连接 ，由 是 的直径，可得 ，由 ，可得 ，
根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，
∵ 切 于点B，
∴ ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：如图2，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，正弦，余弦，圆周角定理，直径所对的圆周角为直
角．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点题型十二】在圆中利用三角函数求线段长
32．（22-23九年级上·重庆·期末）如图， 为 的弦，直径 ，交 于点 ，连接 、 、
、 ，若 ， 的半径为2，则 的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求出 ，再求出先求出 ，即可求出．【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，特殊三角函数等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
33．（22-23九年级上·湖北随州·期末）如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， 切⊙ 于点B，
E为 上一点，且 ，延长 交 于点D．
(1)求证： ；
(2)若⊙ 的半径为5， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到 ，则
，再由等边对等角，对顶角相等证明 ，推出
，即可证明 ；
（2）由 得到 ，设 ，则 ， ，由勾股定理
建立方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， 切 于点B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，
锐角三角函数等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
34．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，且 ，垂足
为E，连接 ，过点B作 的切线，交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若点 是 的中点，且 ，求线段 的长；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线性质定理，勾股定理，正切函数计算；（1）根据切线性质，垂直的定义，圆周角定理，余角的性质，证明即可．
（2）根据点 是 的中点，且 ，得到 ，利用勾股定理，得到 ，
结合 计算即可．
【详解】（1）∵ 是 的直径，过点B作 的切线，交 的延长线于点F，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
（2）如图，连接 ，
∵点 是 的中点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
．
