文档内容
猜想 04 整式的乘法与因式分解（易错必刷 30 题 10 种题型专项训练）
一．幂的乘方与积的乘方（共4小题） 二．同底数幂的除法（共2小题）
三．多项式乘多项式（共4小题） 四．完全平方公式的几何背景（共4小题）
五．完全平方式（共2小题） 六．平方差公式（共3小题）
七．平方差公式的几何背景（共3小题） 八．整式的除法（共3小题）
九．因式分解的意义（共2小题） 十．因式分解的应用（共3小题）
一．幂的乘方与积的乘方（共4小题）
1．（2023春•顺义区期中）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（ ）
A．35 B．19 C．12 D．10
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a•22b
＝2a•（22）b
＝2a•4b
＝5×7
＝35，
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
2．（2023春•宝塔区期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6因为x，y均为正整数，求出
x，y，再求了出x+y．，
【解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128，
∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6
∵x，y均为正整数，∴ 或
∴x+y＝5或4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．
3．（2023秋•叙州区校级月考）给出下列等式：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝（a+2b）9；②25•25＝26；
③a2m＝（﹣am）2；④a2m＝（﹣a2）m．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝﹣（a+2b）9，故①错误；
②25•25＝210，故②错误；
③a2m＝（﹣am）2，故③正确；
④a2m＝（﹣a2）m（m为偶数），故④错误；
所以，上列等式，其中正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2023秋•东城区校级期中）若am＝2，an＝3，则a2m+n＝ 1 2 ．
【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an，又由am＝2，an＝
3，即可求得答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：
（ab）n＝anbn（n是正整数）与同底数幂的乘法法则：am•an＝am+n（m，n是正整数），注意公式的逆用．
二．同底数幂的除法（共2小题）
5．（2023秋•龙华区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7 B．（a3）2＝a5
C．（﹣ab3）2＝﹣a2b6 D．a9÷a6＝a3
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a3与a4不能合并，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；C、（﹣ab3）2＝a2b6，故C不符合题意；
D、a9÷a6＝a3，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题
的关键．
6．（2023秋•叙州区校级月考）已知 ， ，那么2016m﹣n＝（ ）
A．0 B．1 C．2016 D．20162
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则，零指数幂进行计算，即可解答．
【解答】解： ＝ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴m﹣n＝0，
∴2016m﹣n＝20160＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
三．多项式乘多项式（共4小题）
7．（2023秋•长沙期中）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m、n的值分别是（ ）
A．m＝1，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝5，n＝﹣6 D．m＝5，n＝6
【分析】运用多项式乘多项式的计算方法求解（x﹣2）（x+3），再分别求得m，n的值．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）
＝x2+x﹣6，
∴m＝1，n＝﹣6，
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
8．（2023秋•榆树市校级月考）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把 m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式
是解题的关键．
9．（2023秋•洛阳期中）[知识回顾]
有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含
x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3．
[理解应用]
（1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值；
（3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠
地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，
1
左下角的面积为S ，当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2 1 2
【分析】（1）令2m﹣3＝0，解出m的值即可；
（2）将原式中的y看作系数合并同类项，令x的系数为0，求出y值即可；
（3）设AB＝x，根据图形分别将S 和S 用x、a和b表示出来，求出S ﹣S 的表达式并合并同类项，令
1 2 1 2
x的系数为0，求出a和b的等量关系即可．
【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
∴m＝ ．（2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3[2x2﹣x﹣1﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝﹣3（2﹣5y）x﹣9．
∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，
∴2﹣5y＝0，
∴y＝ ．
（3）设AB＝x，由图形得S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），
1 2
∴S ﹣S ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab．
1 2
∵S ﹣S 的值始终保持不变，
1 2
∴（a﹣2b）x+ab与x无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
【点评】本题考查多项式乘多项式及合并同类项，熟练运用它们是本题的关键．
10．（2022秋•南昌期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ﹣ 1 ，n的值是
﹣ 6 ；
（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+ ，
①求（a﹣2）（b﹣2）的值；
②求 + +1的值．
【分析】（1）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，列等式，计算；
（2）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出（a+b）、ab的值，①把（a+b）、ab的值代
入整理后的整式计算即可；
②通分后，配方，再把（a+b）、ab的值代入后计算．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，
∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
故答案为：﹣1，﹣6；
（2）∵ ，∴a+b＝﹣2， ，
①（a﹣2）（b﹣2）
＝ab﹣2（a+b）+4
＝
＝ ，
②
＝
＝
＝
＝13．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，等式的恒等性、整体性、配方是
解题的关键．
四．完全平方公式的几何背景（共4小题）
11．（2023秋•安溪县期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为
（ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 （ a b + a c + b c ） ；
（2）若实数a，b，c满足2a•4b•8c＝16，a2+4b2+9c2＝30，求2ab+3ac+6bc的值．【分析】（1）用两种方法计算正方形的面积：一是先计算正方形的边长，再根据正方形的面积公式计
算；二是对各部分图形的面积求和进行计算．这两种方法计算的结果相等；
（2）将2a•4b•8c＝16中的幂和16化为以2为底的幂，得到a、b、c的关系式，将该关系式等号两边同
时平方并按照（1）中的等式展开，再利用a2+4b2+9c2＝30求出2ab+3ac+6bc的值即可．
【解答】解：（1）（方法一）S正方形 ＝（a+b+c）2，
（方法二）S正方形 ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）．
（2）∴2a•4b•8c＝2a•22b•23c＝2a+2b+3c＝16＝24，a2+4b2+9c2＝30，
∴a+2b+3c＝4，
∴（a+2b+3c）2＝a2+（2b）2+（3c）2+2（a•2b+a•3c+2b•3c）＝a2+4b2+9c2+2（2ab+3ac+6bc）＝16，
即30+2（2ab+3ac+6bc）＝16，解得2ab+3ac+6bc＝﹣7．
【点评】本题考查完全平方公式及其几何背景、同底数幂的乘法等，熟练掌握它们是本题的关键．
12．（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学
等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： （ a + b ） 2 ＝ a 2 + b 2 + 2 a b ． ；
（2）解决问题：如果 ，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
求这个长方形的面积．
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用（1）中得到的公式计算．
（3）将8﹣x，x﹣2当成两个字母后用公式．
【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝ ﹣24
＝63﹣24
＝39．
（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，
则a+b＝6，a2+b2＝20．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴36＝20+2ab．
∴ab＝8．
∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方
公式的结构特征是求解本题的关键．
13．（2023秋•方城县月考）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长
为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图
形并解答下列问题．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；
方法1： （ a + b ） 2 ；方法2： a 2 + 2 a b + b 2 ；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式 （ a + b ） 2
＝ a 2 + 2 a b + b 2 ．
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多
少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S +S ＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面
1 2
积．
【分析】（1）先表示面积，再求关系．
（2）先表示大长方形的面积，再确定三种纸片张数．
（3）通过（1）中结论计算．
【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b，面积为（a+b）2；
还可以用1张A，B，两张C拼出，
∴面积还可以为：a2+2ab+b2；
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．
（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，
∵S +S ＝20，
1 2
∴a2+b2＝20
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，
∴ ．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
14．（2023•永修县开学）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）
剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 m ﹣ n （用含m，n的式子表示）；
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
（i）若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值；
（ii）若a+ ＝3，求a2+ 的值．【分析】（1）观察图形即可．
（2）通过面积找到三者间的关系．
（3）利用（2）中关系计算即可．
【解答】解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n）；
故答案为：m﹣n．
（2）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），面积为：（m﹣n）2，
（图②中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：（m+n）2﹣4mn．
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
（3）（i）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣20＝29．
（ii）a2+ ＝ ﹣2＝9﹣2＝7．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，观察图形，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的
关键．
五．完全平方式（共2小题）
15．（2023秋•滨海新区校级期中）若x2+mx+49是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．7 B．14 C．﹣14 D．±14
【分析】首末两项是x和7这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7积的2倍．
【解答】解：∵x2+mx+49是一个完全平方式，
∴①x2+mx+49＝（x+7）2+（m﹣14）x，
∴m﹣14＝0，m＝14；
②x2+mx+49＝（x﹣7）2+（m+14）x，
∴m+14＝0，m＝﹣14；
∴m＝±14；
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用．解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
16．（2022秋•青云谱区期末）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 1 0 x 或
﹣ 1 0 x 或 ．
【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答．
【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，
∴可添加的项是10x或﹣10x，
②25x2是乘积二倍项时， +25x2+1＝ ，
∴可添加的项是 ，
综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或 ，
故答案为：10x或﹣10x或 ．
【点评】本题主要考查了完全平方、多项式，掌握满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2
两种，分情况讨论是解题关键．
六．平方差公式（共3小题）
17．（2023秋•路南区期中）若x+y＝5，x﹣y＝6，则x2﹣y2的值为（ ）
A．1 B．11 C．30 D．35
【分析】根据平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：∵x+y＝5，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×6＝30，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
18．（2023秋•尧都区期中）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值．
【解答】解：∵a+b＝6，
∴a2﹣b2+12b
＝（a+b）（a﹣b）+12b
＝6（a﹣b）+12b＝6a﹣6b+12b
＝6a+6b
＝6（a+b）
＝6×6
＝36，
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是能够正确利用平方差公式进行因式分解．
19．（2023秋•衡南县期中）下列能使用平方差公式的是（ ）
A．（x+3）（x+x） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（ m+n）（﹣ m﹣n） D．（3m+n）（3m﹣n）
【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（x+3）（x+x），不符合平方差公式的特点，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，
∴选项B不符合题意；
∵（ m+n）（﹣ m﹣n）＝﹣（ m+n）2，不符合平方差公式的特点，
∴选项C不符合题意；
∵（3m+n）（3m﹣n），符合平方差公式的特点，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决
问题的关键．
七．平方差公式的几何背景（共3小题）
20．（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部
分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（
）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积
为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：
（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根
据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
21．（2022秋•海珠区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部
分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为 b的小正方形后的面积＝a2﹣b2，新的图形面积等于
（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的
面积不变得到等量关系．
22．（2023•无为市校级开学）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影
部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．
（2）利用（1）中得到的平方差公式计算．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选A．
（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．
∴6（2a﹣b）＝24，
∴2a﹣b＝24÷6＝4．
故答案为：4．
② ＝
＝
＝＝ ．
【点评】本题考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求
解本题的关键．
八．整式的除法（共3小题）
23．（2023秋•龙华区校级期中）计算（x2y）3÷（2xy）3的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先算乘方，再算除法，即可解答．
【解答】解：（x2y）3÷（2xy）3
＝x6y3÷8x3y3
＝ x3，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2023秋•朝阳区校级月考）一个三角形的面积是8（a2b）3，它的一边长是（2ab）2，那么这条边上
的高为（ ）
A．2a4b B．4a4b C．2a3b D．4a3b
【分析】依据题意，由三角形的面积公式可得高，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵三角形的面积＝边×高÷2，∴高＝2×面积÷边．又一个三角形的面积是 8
（a2b）3，它的一边长是（2ab）2，∴这条边上的高为2×8（a2b）3÷（2ab）2＝16a6b3÷4a2b2＝4a4b．故
选：B．
【点评】本题主要考查了整式的除法的应用以及三角形的面积计算公式，解题时要熟练掌握并理解是关
键．
25．（2023春•房山区期末）计算：（8a4+6a）÷2a＝ 4 a 3 + 3 ．
【分析】依据题意，由整式的除法运算法则可以得解．
【解答】解：原式＝8a4÷2a+6a÷2a
＝4a3+3．
【点评】本题主要考查了整式的除法，解题时需要熟练掌握并准确计算．
九．因式分解的意义（共2小题）
26．（2023秋•晋江市期中）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．xy﹣1＝xy（1﹣ ）
【分析】运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．
【解答】解：∵a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘单项式运算，
∴选项A不符合题意；
∵x（x﹣2）+3不是整式的乘积形式，
∴选项B不符合题意；
∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）是因式分解，
∴选项C符合题意；
∵xy（1﹣ ）中含有分式，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义进行求解．
27．（2023秋•东城区校级期中）因为x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），令x2+x﹣6＝0，则（x+3）（x﹣2）＝
0，x＝﹣3或x＝2，反过来，x＝2能使多项式x2+x﹣6的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，求m的值；
（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，试求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+ax2﹣5x+b因式分解的结果为 （ x ﹣ 1 ）（ x + 2 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】（1）由已知条件可知，当x＝4时，x2+mx+8，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x＝1和x＝﹣2时，x3+ax2﹣5x+b＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得a和b的
值；
（3）将（2）中a和b的值代入x3+ax2﹣5x+b，提取公因式x，则由题意知（x﹣1）和（x+2）也是所给
多项式的因式，从而问题得解．
【解答】解：（1）∵x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，
∴x＝4时，x2+mx+8＝0，
∴16+4m+8＝0，
∴4m＝﹣24，∴m＝﹣6，
∴m的值为﹣6．
（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，
∴x＝1和x＝﹣2时，x3+ax2﹣5x+b＝0，
∴ ，
解得 ，
∴a、b的值分别为2和2．
（3）∵a＝2，b＝2，
∴x3+ax2﹣5x+b可化为：x3+2x2﹣5x+2，
∴x3+2x2﹣5x+2
＝（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．
故答案为：（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．
【点评】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
十．因式分解的应用（共3小题）
28．（2023春•渠县校级期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是
等腰三角形 ．
【分析】依据题意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再进行适当变形得（a﹣
b）（a+b﹣c）＝0，结合三角形两边之和大于第三边，有a+b＞c，从而可以得解．
【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵在△ABC中，a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
29．（2023秋•乐至县校级期中）观察下列分解因式的过程：
x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）．
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2﹣4xy﹣5y2；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
【分析】（1）依据题意，由x2﹣4xy﹣5y2＝x2﹣4xy+4y2﹣9y2＝（x﹣2y）2﹣9y2，再利用平方差公式进
行计算可以得解；
（2）依据题意，将a2+b2＝8a+6b﹣25移项并配方得（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，从而求出a，b，再由三
边关系进行判断，可得周长的最大值．
【解答】解：（1）由题意，x2﹣4xy﹣5y2＝x2﹣4xy+4y2﹣9y2
＝（x﹣2y）2﹣9y2
＝（x﹣2y+3y）（x﹣2y﹣3y）
＝（x+y）（x﹣5y）．
（2）由题意，a2+b2＝8a+6b﹣25，
∴a2﹣8a+b2﹣6b+25＝0．
∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0．
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0．
∴a＝4，b＝3．
∴1＜c＜7．
又c为正整数，
∵△ABC周长的最大，
∴c＝6．
∴a+b+c＝4+3+6＝13．
答：满足题意得△ABC周长的最大值为13．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能运用配方法是关键．
30．（2022秋•天山区校级期末）在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几
何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽
为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：（a+b）2
＝a2+2ab+b2．请你解答下面的问题：
（1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： （ 2 a + b ）（ a + b ）＝ 2 a 2 + 3 a b + b 2 ；
（2）利用图1中的三种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，请你分析这个长方形的长和
宽．
【分析】（1）根据长方形的面积公式进行计算即可解答；
（2）利用因式分解﹣十字相乘法分解即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
图3的面积＝（2a+b）（a+b），
图3的面积＝2a2+3ab+b2，
∴利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2；
（2）2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），
∴这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b．
