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专题 07 因式分解
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重难突破
知识点一 因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式．
注意：
（1）因式分解是针对多项式，而不是单项式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解与整式乘法的区别：
①因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式；整式乘法是把几个整式相乘的形式转化为一个整
式的形式；
②因式分解是多项式的恒等变形；整式乘法是一种运算.典例1
（2021春•南山区校级期中）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
、 ，故本选项不合题意；
、 ，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
、 ，符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选： ．
典例2
（2020•郓城县模拟）把多项式 分解因式，得 ，则 ， 的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
， ，
故选： ．
知识点二 提公因式法
1、公因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式．
2、确定公因式的一般步骤：
①如果多项式的第一项是负数时，应把多项式的符号“﹣”提取；②提取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；
③把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式．
3、提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
典例1
（2020春•宝安区校级月考）下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是
A． B．
C． D． 一
【解答】解： 、 ，不能利用提公因式法分解因式，故此选项符合题意；
、 ，可以提公因式 ，能利用提公因式法分解因式，故此选项不
符合题意；
、 ，可以提公因式 ，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
、 一 可以提公因式 ，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
故选： ．
典例2
（2021春•历城区期中）把多项式 分解因式，应提的公因式是
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
典例3（2021春•龙岗区期中）因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
知识点三 公式法
1、平方差公式：
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
注意：
（1）公式特点
公式左边是两项的平方差，右边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相
反数.
（2）运用平方差公式分解因式的一般步骤：
①将多项式还原成平方差的形式；
②运用公式写成两数和与两数差的积的形式；
③分别在括号内合并同类项．
2、完全平方公式： ；
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
注意：
完全平方公式的结构：等式的左边是一个完全平方式，右边是左边两个平方项的底数和（或差）的平方.
典例1
（2020春•青白江区期末）下列多项式中不能用平方差公式分解的是A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
、 ，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
、 不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
、 ，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
故选： ．
典例2
已知 是完全平方式，则 为
A．6 B． C． D．12
【解答】解： 是完全平方式，
．
故选： ．
典例3
（2020春•涟源市期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
、 ，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
、 不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
、 不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选： ．
典例4
（2021•威海模拟）若 可以用完全平方式来分解因式，则 的值为 ．【解答】解： 可以用完全平方式来分解因式，
解得： 或8．
故答案为： 或8．
知识点四 因式分解的简算及化简求值
1、在要求的式子很复杂的情况下，如果各个项中有相同的因数，可以提取公因式简化运算．
2、化简求值中常用整体思想，若由已知条件先求得a，b的值再代入求值，则解题过程比较复杂，因此可
通过因式分解，将所求整式整理成用a+b，ab表示的形式，然后整体代入计算。此类题在变形的过程中，
进行
，
，ab与 四者之间的相互转换非常关键。因此，要能熟练运用它们之间的关系
将题目中的整式进行变形。
典例1
（2020秋•封开县期末）已知 ， ，则多项式 的值为
A． B．0 C．3 D．6
【解答】解：
将 ， 代入，得
原式 ．
故选： ．
典例2
（2021•高新区模拟）已知 ，则 ．
【解答】解： ，
、 ，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：2019．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2020春•龙岗区期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选： ．
2．（2020秋•福州期末）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项 ，不符合题意；
选项 ，不符合题意；
选项 不能进行因式分解，不符合题意；选项 ，符合题意．
故选： ．
3．多项式 分解因式的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式
故选： ．
4．（2021春•龙华区期中）把二次三项式 分解因式，下列结果正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
，
，
，
所以选项 符合题意，
故选： ．
5．（2019春•龙华区期末）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，则 一定是
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解： 、 、 是 的三边，
， ， ，
又 ，
，
则 ，即 ，
一定是直角三角形．
故选： ．6．（2019春•莘县期末）已知 ，则
A．2 B． C．4 D．
【解答】解： ，
即：
解得： ，
，
故选： ．
二、填空题（共5小题）
7．（2021春•铜仁市期末）多项式 ， 的公因式是 ．
【解答】解： ，
．
所以多项式 ， 的公因式是 ．
8．（2020•龙岗区模拟）因式分解： ．
【解答】解：原式 ．
故答案是： ．
9．（2020•盐田区二模）分解因式： ．
【解答】解：原式 ．
故答案是： ．
10．（2020•天心区校级模拟）因式分解 ．
【解答】解：
．
故答案为： ．11．已知 ， ，则 的值为 ．
【解答】解： ， ，
，
．
故答案为：72．
三、解答题（共2小题）
12．（2021春•福田区校级期中）将下列多项式因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
13．（2020秋•夏津县期末）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有
上述方法就无法分解，如 ，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项
可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因
式，过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：
（2） 的三边 ， ， 满足 ，判断 的形状．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
，
，
，
， ， 是 的三边，
，
，
得 ，
是等腰三角形．
