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14.3 因式分解
因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个
多项式分解因式.
注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而
不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式
乘法是一种运算.
题型1：因式分解的概念
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【答案】C
【解析】【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法运算，故不符合题意；
B、x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3的右边不是积的形式，故不符合题意；
C、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2是因式分解，符合题意；
D、x3﹣x＝x（x2﹣1）=x（x+1）（x-1），原式分解不彻底，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式在一个范围内化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做
这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解必须进行到每一
个因式都不能再分解为止，据此判断即可.
【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x-3)=x2-2x-3 B．x2- y2=(x+ y)(x- y)
C．x2-xy-1=x(x- y) D．x2-2x+2=(x-1) 2+1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、从左到右的变形为整式乘法，故不符合题意．
B、左边为多项式，右边为整式的积，故符合题意．
C、左边为多项式，右边为整式的积，但等号不成立，故不符合题意．
D、左边、右边均为多项式，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义对每个选项一一判断即可
【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a(x+ y)=ax+ay B．a2-4=(a+2)(a-2)
1
C．-x4+16=(x2-4)(4+x2 ) D．2a2+2=2a(a+ )
a
【答案】B
【解析】【解答】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；
B、是因式分解，选项正确；
C、 -x4+16=(-x2+4)(x2+4)=(-x+2)(x+2)(x2+4) ，选项错误；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误.
故答案为：B.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这
个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
注意：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最
大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
题型2：找公因式
2.代数式 15a3b3 (a-b) ， 5a2b(b-a) ， -120a3b3 (a2-b2 ) 中的公因式是
（ ）
A．5a2b(b-a) B．5a2b2 (b-a)
C．5ab(b-a) D．120a3b3 (b2-a2 )
【答案】A
【解析】【解答】解：因为5a2b（b−a）＝−5a2b（a−b），−120a3b3（a2−b2）＝
−120a3b3（a＋b）（a−b），
所以代数式15a3b3（a−b），5a2b（b−a），−120a3b3（a2−b2）中的公因式是5a2b（b−a）．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因
式的定义求解即可
【变式2-1】多项式m2－4n2与m2－4mn＋4n2的公因式是（ ）
A．（m＋2n）（m－2n) B．m＋2n
C．m－2n D．（m＋2n）（m－2n）2
【答案】C
【解析】【分析】此题先运用平方差公式将m2-4n2因式分解，然后用完全平方公式
化简m2-4mn+4n2，然后提取公因式即可．
【解答】m2-4n2=（m-2n)（m+2n)，
m2-4mn+4n2=（m-2n)2，
∴m2-4n2与m2-4mn+4n2的公因式是m-2n．
故选：C．
【点评】此题考查的是对公因式的提取，运用平方差公式将原式因式分解或运用完
全平方公式进行计算
【变式2-2】多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是 ．
【答案】5a2b
【解析】【解答】因为每一项都有5a2b，
所以多项式各项的公因式为5a2b；
故答案为5a2b.
【分析】由题可知每一项都有5a2b，即可求解；
提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公
因式m，另一个因式是 ，即 ，而
正好是 除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。
注 意 ： （ 1 ） 提 公 因 式 法 分 解 因 式 实 际 上 是 逆 用 乘 法 分 配 律 ， 即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系
数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提
取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
题型3：提公因式法分解因式
3.（1）分解因式：a2-3a；
（2）分解因式：3x2y-6xy2．【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）利用提公因式法，进行分解即可解答．
【解答】解：（1）a2-3a=a（a-3）；
（2）3x2y-6xy2=3xy（x-2y）．
【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的
关键．
【变式3-1】分解因式：
（1）a（x-2y）-b（2y-x）；
（2）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2．
【解答】解：（1）a（x-2y）-b（2y-x）
=a（x-2y）+b（x-2y）
=（x-2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2．
=x（x+y）[x-y-（x+y）]
=x（x+y）（x-y-x-y）
=-2xy（x+y）．
【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的
关键．
【变式3-2】因式分解
（1）-3x3y2+6x2y3-3xy4；
（2）3x（a-b）-6y（b-a）．
【解答】解：（1）原式=-3xy2（x2-2xy+y2）
=-3xy2（x-y）2；
（2）原式=3x（a-b）+6y（a-b）
=3（a-b）（x+2y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
题型4：提公因式法与整体思想
4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．
【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵xy=-3，x+y=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式4-1】已知a+b=3，ab=2，求代数式a2b+2a2b2+ab2的值．
【解答】解：（1）a2b+2a²b²+ab2=ab（a+2ab+b）=ab（a+b+2ab），
∵a+b=3，ab=2，
∴ab（a+b+2ab）=2×（3+2×2）=14．
【点评】本题考查了因式分解的提取公因式法，找到公因式是解决此题关键．【变式4-2】若a=-5，a+b+c=-5.2，求代数式a2（-b-c）-3.2（c+b）的值．
【分析】首先提取公因式（b+c），进而利用a=-5，a+b+c=-5.2，得出b+c=-0.2求出
即可．
【解答】解：a2（-b-c）-3.2（c+b）
=-a2（b+c）-3.2（b+c）
=-（b+c）（a2+3.2），
∵a=-5，a+b+c=-5.2，
∴b+c=-5.2-a=-5.2+5=-0.2，
∴原式=-（b+c）（a2+3.2）=0.2×（25+3.2）=5.64．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
公式法——平方差公式
a2 b2 abab
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
注意：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数
（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
a b a b
（3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式或
多项式.
题型5：平方差公式法分解因式
5.因式分解：
（1）a2-9；
解：（1）原式=a2-32
=（a+3）（a-3）；
1
（2）25− m2
4
1 1 1
解：原式=52-（ m）2=（5+ m）（5- m）
2 2 2
【点评】本题主要考查了因式分解，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练
应用是解题关键．
【变式5-1】因式分解：（1）a4-b4．
【分析】逆用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：a4-b4
=（a2+b2）（a2-b2）
=（a2+b2）（a+b）（a-b）．
（2）-x4+16．
解：-x4+16
=-（x4-16）
=-（x2+4）（x2-4）=-（x2+4）（x+2）（x-2）．
【变式5-2】把（a2-a）2-（1-a）2因式分解．
【解答】解：（a2-a）2-（1-a）2
=（a2-a+1-a）[a2-a-（1-a）]
=（a2-2a+1）（a2-a-1+a）
=（a-1）2（a2-1）
=（a-1）2（a+1）（a-1）
=（a-1）3（a+1）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平
a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2
a2 2abb2
方 ． 即 ， . 形 如 ，
a2 2abb2
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数
之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
a b a b
（4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式或
多项式.
题型6：完全平方公式法分解因式
6.因式分解：
（1）x2-4x+4．
解：原式=x2-4x+22
=（x-2）2．
（2）16m2-8mn+n2．
解：（2）16m2-8mn+n2=（4m-n）2．
（3）4x2+20x+25；
解：（3）4x2+20x+25
=（2x）2+2⋅2x⋅5+52
=（2x+5）2；
1
（4）4x2-2x+
4
1
解：（4）(2x− )2
2
【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是
解题的关键．【变式6-1】因式分解：（1）（x-y）2-6（x-y）+9
解：原式=（x-y-3）2．
（2）（x2+9）2-36x2
【解答】解：原式=（x2+9+6x）（x2+9-6x）=（x+3）2（x-3）2．
【点评】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-
b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
【变式6-2】因式分解：（1）（a2+b2）2-4a2b2．
解：原式=（a2+b2-2ab）（a2+b2+2ab）
=（a-b）2（a+b）2．
1
（2）−x3+x2y− xy2；
4
1
解：（1）原式=-x（x2-xy+ y2）
4
1
=-x（x- y）2；
2
（3）（7x2+2y2）2-（2x2+7y2）2．
解：原式=[（7x2+2y2）+（2x2+7y2）][（7x2+2y2）-（2x2+7y2）]
=（9x2+9y2）（5x2-5y2）
=45（x2+y2）（x+y）（x-y）．
题型7：十字相乘法分解因式
7.因式分解：（1）x2-3x+2；
解：（1）x2-3x+2=（x-2）（x-1）；
（2）x2-2x-15
解：原式=（x+3）（x-5）；
（3）x2-7x+12．
解：x2-7x+12
=x2+（-3-4）x+（-3）（-4）
=（x-3）（x-4）．
【变式7-1】因式分解：（1）（x2+4x）2-（x2+4x）-20．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：原式=（x2+4x-5）（x2+4x+4）
=（x+5）（x-1）（x+2）2．
（2）（x-y）2+4（x-y）+3
令A=x-y,
则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），
所以（x-y）2+4（x-y）+3=（x-y+1）（x-y+3）；
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
题型8：分组分解法分解因式
8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．
解：x2+4x-a2+4
=x2+4x+4-a2
=（x+2）2-a2
=（x+2+a）（x+2-a）．
（2）9-x2+2xy-y2．
解：9-x2+2xy-y2
=9-（x2-2xy+y2）
=9-（x-y）2
=（3+x-y）（3-x+y）．
【变式8-1】因式分解：（1）x3+3x2y-4x-12y.
【解答】解：x3+3x2y-4x-12y
=（x3+3x2y）-（4x+12y）
=x2（x+3y）-4（x+3y）
=（x+3y）（x2-4）
=（x+3y）（x+2）（x-2）．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个
四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．
（2）x2-4xy+4y2-1
解：x2-4xy+4y2-1=（x2-4xy+4y2）-1=（x-2y）2-1=（x-2y+1）（x-2y-1）．
（3）2x2-4xy+3x-6y
解：原式=2x（x-2y）+3（x-2y）
=（x-2y）（2x+3）．
【变式8-2】因式分解：
（1）1-x2+2xy-y2
（2）25（x+y）2-36（x-y）2
【解答】解：（1）1-x2+2xy-y2
=1-（x2-2xy+y2）
=1-（x-y）2
=（1-x+y）（1+x-y）；
（2）25（x+y）2-36（x-y）2
=[5（x+y）]2-[6（x-y）]2
=（5x+5y+6x-6y）（5x+5y-6x+6y）
=（11x-y）（11y-x）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法的一般步骤是解题的关键．题型9：利用因式分解简便运算
9.计算：（1）2022+202×196+982
解2022+202×196+982
=2022+2×202×98+982
=（202+98）2
=3002
=90000．
（2）652-352；
解：（2）原式=（65+35）×（65-35）
=100×30
=3000；
【变式9-1】利用因式分解简化计算：（1）2002-400×199+1992
解：（1）2002-400×199+1992
=2002-2×200×199+1992
=（200-199）2
=1．
（2）2.22+4.4×17.8+17.82．
解：原式=（2.2+17.8）2
=202
=400．
【变式9-2】利用因式分解计算：
（1）9002-894×906；
（2）2.68×15.7-31.4+15.7×1.32．
【解答】（1）9002-894×906
=9002-（900-6）（900+6）
=9002-（9002-62）
=9002-9002+62
=36．
（2）2.68×15.7-31.4+15.7×1.32
=15.7×（2.68+1.32）-31.4
=15.7×4-31.4
=31.4×2-31.4
=31.4．
【点评】本题考查因式分解的应用，关键是熟记因式分解的方法．
题型10：利用因式分解求系数的值
10.已知多项式2x -x +m有一个因式(2x+1),求m的值.
【答案】解答：解法一：设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b
a=-1
{
{2a+1=-1
b=
1
1
比较系数得 a+2b=0 ,解得 2 ,∴m=
2
b=m 1
m=
2
解法二：设2x3-x2+m=A·（2x+1）（A为整式）
1
由于上式为恒等式，为方便计算，取x=- ，
2
( 1) 3 ( 1) 2 1
2× - - - +m=0，故m= .
2 2 2
【解析】【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.
【变式10-1】已知x2+mx-15=（x+3）（x+n），求n+m的值．
【分析】根据多项式乘多项式法则运算：（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n,再由题
意可得3+n=m,3n=-15，求出m、n即可．
【解答】解：∵（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n,
∴3+n=m,3n=-15，
∴n=-5，m=-2，
∴m+n=（-2）+（-5）=-7．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关
键．
【变式10-2】将多项式 x2-3x+2 分解因式 x2-3x+2=（x-2）（x-1），说明多项式 x2-
3x+2有一个因式为x-1，还可知：当x-1=0时x2-3x+2=0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx-8有一个因式为x-2，求k的值；
（2）若x+2，x-1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
【分析】（1）把x=2代入x2+kx-8得到4+2k-8=0，求得k的值即可；
（2）分别将x=-2和x=1代入2x3+ax2+7x+b得到有关a、b的方程组求得a、b的值即
可．
【解答】解：（1）令x-2=0，即当x=2时，4+2k-8=0，解得：k=2；
（2）令x=-2，则-16+4a-14+b=0①，
令x=1，则2+a+7+b=0②，
由①，②得a=13，b=-22．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反
方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个
因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，
∵a+b=5，ab=3，
∴ab（a+b）2=3×52=75，
∴a3b+2a2b2+ab3的值为75．
【变式11-1】根据已知条件，求出下列代数式的值：
（1）已知x+2y=4，xy=1，求代数式x2+4y2+3xy的值；
（2）已知m2+m-1=0，求代数式m3+2m2+2022的值．
【分析】（1）将代数式x2+4y2+3xy通过添加xy项，逆用完全平方公式把代数式化
成x+2y与xy的形式，然后代入求值；
（2）将代数式m3+2m2+2022通过裂项、提公因式法分解因式化成与m2+m有关的形
式，然后整体代入，进行降次后，在整体代入求值．
【解答】解：（1）x2+4y2+3xy
=x2+4y2+4xy-xy
=（x+2y）2-xy
∵x+2y=4，xy=1，
∴原式=42-1
=15．
（2）m3+2m2+2022
=m（m2+m）+m2+2022
∵m2+m-1=0，
∴m2+m=1
原式=m+m2+2022
=1+2022
=2023
【点评】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是利用因式分解把代数式分解化
成与已知条件有关的式子，然后代入求值即可．
3 4
【变式11-2】已知a+b= ，ab=- ，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
2 3
【分析】先利用因式分解的方法得到原式=ab（a+b）2，然后利用整体代入的方法计
算原式的值．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
3 4
∵a+b= ，ab=-
2 3
4 3
∴原式=ab（a+b）2=- ×（ ）2=-3，
3 2即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是-3．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解
决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
题型12：利用因式分解解决整除问题
12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
【答案】解： (n+7) 2-(n-5) 2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]，
=24（n+1），
∴能被24整除.
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到
（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
【变式12-1】如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【答案】证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n
=3n⋅ 32-2n⋅ 22+3n-2n
=3n(32+1)-2n(22+1)
=10 ⋅ 3n-10 ⋅ 2n-1
=10(3n-2n-1).
∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【解析】【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将代数式变形，再利用分组分解法分
解因式，从而得出含有10的因数，据此即可解决问题.
【变式12-2】求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差 (2n+1) 2-(2n-1) 2 是
8的倍数
【答案】证明：∵n是整数，
∴2n+1与2n-1是两个连续的奇数，
∴（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n，
∴两个连续奇数的平方差（2n+1）2-（2n-1）2是8的倍数．
【解析】【分析】运用平方差公式将（2n+1）2-（2n-1）2化简，得出结果含有因数8
即可．
题型13：因式分解与几何问题
13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的
值．【答案】解：由题意可得2（a+b）＝14，ab＝10，
∴a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+2ab +ab2＝ab（a+2+b）
＝ab（a+b+2）
＝10×（7+2）
＝90．
【解析】【分析】先求出 a+b＝7，ab＝10， 再计算求解即可。
【变式13-1】现有若干张长方形和正方形卡片,如图所示.请运用拼图的方法,选取图中
相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+4ab+3b2,并根据
拼成图形的面积,把多项式a2+4ab+3b2因式分解.
【答案】解：如图
a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)
【解析】【分析】本题主要考查因式分解与几何图形之间的联系，对小卡片的面积
和要拼成的大长方形的面积进行比较，从而得出所需小卡片的张数是解题的关键.
取1张边长为a的大正方形卡片，3张边长为b的小正方形卡片和4张长为a，宽为b
的小长方形卡片，可以
拼成题目所要求的大长方形，它的面积为 a2＋4ab＋3b2 ，它的边长分别为 (a＋b)
和 (a＋3b) . 所以a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b).
【变式13-2】如图，长为 m，宽为 x(m>x)的大长方形被分割成 7 小块，除阴影
A，B 外，其 余 5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为 y．记
阴影 A 与 B 的面积差 为 S．（1）分别用含 m，x，y的代数式表示阴影 A，B 的面积；
（2）先化简 S，再求当 m=6，y=1 时 S的值；
（3）当 x取任何实数时，面积差 S 的值都保持不变，问 m 与 y应满足什么条
件？
【答案】（1）由题意可知：长方形B的长=3y，长方形A的长与小长方形的长一
样；
阴影A的面积为(m−3y)(x−2y)=6y2−(2m+3)y+mx，
阴影B面积为3y(x−m+3y)=9y2−3my+3xy；
（2）S=[6y2−(2m+3)y+mx]−(9y2−3my+3xy)=−3y2+my−6xy+mx；
当m=6，y=1时，S=−3+6+6x−6x=3；
（3）S=(m−6y)x−3y2+my，
∵ 当 x 取任何实数时，面积差 S 的值都保持不变
∴ 由结果与x无关，得到m−6y=0，
整理得：m=6y.
【解析】【分析】（1）找出阴影A中的长与宽，表示出A的面积，找出阴影B中的
长与宽，表示出B的面积；（2）由A-B表示出S，然后根据多项式加减法法则进行
化简，把m与y的值代入计算即可求出S的值；（3）S变形后，根据结果与x值无
关确定出m与y的关系式即可
题型14：因式分解与三角形问题
14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三
角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
【答案】解：由原式可得，a（2+b）=c（2+b），
∵2+b≠0，a、b、c不等于0，
∴a=c，
∴ΔABC是等腰三角形.
【解析】【分析】先求出 a（2+b）=c（2+b）， 再求出 a=c， 最后判断求解即
可。
【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC
的形状.
【答案】解：∵b2+2ab=c2+2ac，∴b2-c2+2ab-2ac=(b+c)(b-c)+2a(b-c)=(b-c)(b+c+2a)=0，
∵△ABC的三边长分别为a、b、c，
∴b-c=0，，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形.
【解析】【分析】将已知等式转化为（b-c）（b+c+2a）=0，由此可证得b=c，即可
判断出△ABC的形状.
【变式14-2】已知在 △ABC 中，三边长分别为a，b，c，且满足等式
a2+bc-ac-b2=0， 请判断 △ABC 的形状，并写出你的理由.
【答案】解： △ABC 是等腰三角形
理由：∵a2+bc-ac-b2=0
∴a2-b2+bc-ac=0
∴(a+b)(a-b)+c(b-a)=0
∴(a-b)(a+b-c)=0
∵根据三角形的三边性质有： a+b>c 即 a+b-c≠0
故 a-b=0 ，即 a=b
∴△ABC 是等腰三角形
【解析】【分析】利用分组分解法将等式的左边因式分解把等式化为（a-b）（a+b-
c）=0的形式，得出a=b，即可判断△ABC是等腰三角形.
【变式14-3】已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足等式
a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想 该三角形的形状，并证明你的猜想．
【答案】 解：该三角形为等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，
即（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
∴a=b=c，
∴该三角形为等边三角形.
【解析】【分析】等式两边同时乘以2，移项，完全平方差公式，根据平方的非负
性，计算即可得出答案.
一、单选题
1．同学们把多项式 2x2-4xy+2x 提取公因式 2x 后，则另一个因式应为（ ）
A．x-2y B．x-2y+1 C．x-4 y+1 D．
x-2y-1【答案】B
【解析】【解答】解： 2x2-4xy+2x=2x(x-2y+1) .
故答案为：B.
【分析】用多项式的各项分别除以2x，将剩下的商式写在一起即可求解.
2．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）
1
A．a2+a+ B．a2+b2-2ab C．-a2+25b2 D．
4
-4-b2
【答案】D
1 1 2
【解析】【解答】解：A. a2+a+ =(a+ ) ，用完全平方公式；
4 2
B. a2+b2-2ab=(a-b) 2 ，用完全平方公式；
C. -a2+25b2=(5b+a)(5b-a) ，用平方差公式；
D. -4-b2=-(4+b2 ) 不能用公式.
故正确选项为D.
【分析】根据多项式的项数及各项的特点：A，B选项中含有三项，都能用完全平方公
式分解因式，可对A，B作出判断；C，D选项中的多项式都含有两项，每一项的绝对
值都能写成平方形式，但D选项中两项符号相同，因此C能分解，D不能分解.
3．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）
C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）
【答案】B
【解析】【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，
=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，
=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．
故选B．
【分析】根据互为相反数的两数的平方相等，把（y﹣x）2写成（x﹣y）2，然后提取公
因式（x﹣y），整理即可．
4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3
的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49【答案】B
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的面积和周长公式可得ab＝10，a+b＝7，再将代数式
a3b+2a2b2+ab3化简为ab（a+b）2，再将数据代入计算即可。
5．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
【答案】A
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×
（-2+1），即可得出答案.
6．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解： c2-a2-2ab-b2=10 ，
c2-(a+b) 2=10
(c+a+b)(c-a-b)=10
∵a+b+c=﹣5
∴c-a-b=-2
a+b-c=2
故答案为：A
【分析】利用分组分解因式可将原式化为(c+a+b)(c-a-b)=10，再将a+b+c＝﹣5
代入计算即可。
7．已知n是正整数，则下列数中一定能整除 (2n+3) 2-25 的是 ()
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：（2n+3）2-25
=[（2n+3）+5][（2n+3）-5]
=（2n+8）（2n-2）
=4（n+4）（n-1），∴（2n+3）2-25一定能被4整除，
故答案为：C.
【分析】先化简代数式求出（2n+3）2-25=4（n+4）（n-1），再求解即可。
8．观察下列分解因式的过程： x2-2xy+ y2-16=(x- y) 2-16=(x- y+4)(x- y-4) ，
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足
a2-b2-ac+bc=0 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描
述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
【答案】A
【解析】【解答】解： a2-b2+bc-ac=0 ，
(a+b)(a-b)+c(b-a)=0 ，
(a-b)(a+b-c)=0 ，
∴a=b 或 a+b=c ，
当 a=b 时，围成一个等腰三角形；
当 a+b=c 时，不能围成三角形；
故答案为：A．
【分析】利用分组分解因式的方法将a2-b2-ac+bc=0化为(a-b)(a+b-c)=0，可得
a=b 或 a+b=c ，再利用三角形三边的关系求解即可。
二、填空题
9．下列因式分解正确的是 （填序号）
①x2-2x=x(x-2)；②x2-2x+1=x(x-2)+1；③x2-4=(x+4)(x-4)；④
4x2+4x+1=(2x+1) 2
【答案】①④
【解析】【解答】解：①x2-2x=x(x-2)，符合题意；
②x2-2x+1=(x-1) 2，计算不符合题意；
③x2-4=(x+2)(x-2)，计算不符合题意；
④4x2+4x+1=(2x+1) 2，符合题意；
故答案为：①④．
【分析】①提取公因式x，再判断；②利用完全平方公式分解即可；③利用平方差公式
分解，再判断；④利用完全平方公式分解，再判断.
10．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．
【答案】a（x﹣2y）2【解析】【解答】解：原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2，
故答案为：a（x﹣2y）2
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵m+n=5，mn=4，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=4×5=20．
故答案为：20．
【分析】将原式提取公因式分解因式，进而代入求出即可．
12．因式分解：1－a2＋2ab－b2 ＝ .
【答案】(1-a+b)(1+a-b)
【解析】【解答】解：原式=1-(a2-2ab+b2
)
=1-(a-b) 2
=(1+a-b)[1－(a-b)]
=(1+a-b)(1-a+b)
故答案为： (1-a+b)(1+a-b).
【分析】原式可变形为1-(a2-2ab+b2)，然后利用完全平方公式以及平方差公式分解即可.
13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 a2b+ab2 的值为
．
【答案】70
【解析】【解答】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，
则a+b=7
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；
故答案为：70
【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再计算求解即可。
14．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状
是 .
【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，
∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0
∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0
∴（a-b）（a+b）（a2＋b2−c2）＝0‘
由于a+b≠0，’
∴a−b＝0或a2＋b2−c2＝0∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
【分析】利用分组分解法将左式进行因式分解，则可得出a−b＝0或a2＋b2−c2＝0，则
可判断出△ABC的形状.
15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为
．
【答案】(x+3) 2
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 (x+2)(x+4)
，
∴在 (x+2)(x+4) ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 (x+1)(x+9) ，
∴在 (x+1)(x+9) ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ (x+3) 2 ．
故答案为： (x+3) 2
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一
次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入
多项式进行因式分解即可。
三、解答题
16．因式分解：
（1）a3-36a
1
（2）
x2+xy+ y2
4
（3）(a2+4) 2-16a2
【答案】（1）解： a3-36a=a(a2-36)=a(a+6)(a-6)
1 1 2
（2）解： x2+xy+ y2=( x+ y)
4 2
（3）(a2+4) 2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2) 2 (a-2) 2
【解析】【分析】(1)先提取公因式a，然后再用平方差公式求解；(2)用完全平方公式
直接进行因式分解即可；(3)先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方式求解
即可．
17．把下列各式因式分解：
（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）
（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2（4）4m2﹣n2﹣4m+1．
【答案】解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）=x（y﹣2）（x+1）；（2）原式=25（x﹣
y）2﹣10（x﹣y）+1=[5（x﹣y）﹣1]2=（5x﹣5y﹣1）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2=
（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）=（x﹣y）2（x+y）2；（4）4m2﹣n2﹣4m+1=（4m2﹣
4m+1）﹣n2=（2m﹣1+n）（2m﹣1﹣n）．
【解析】【分析】（1）直接提取公因式x（y﹣2），进而分解因式得出即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可；
（3）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可；
（4）首先分组，进而利用公式法分解因式得出即可．
18．已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项
与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
【答案】解：（x-1）（x-9）=x2-10x+9，
由于二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，
∴q=9，
（x-2）（x-4）=x2-6x+8，
由于二次三项式x2+px+q的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，
∴p=-6．
∴原二次三项式是x2-6x+9．
∴x2-6x+9=（x-3）2．
【解析】【分析】先计算出（x-1）（x-9）与（x-2）（x-4），根据二次三项式x2+px+q
的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，确
定二次三项式，再因式分解．
1 1 1
19．给出三个多项式： x2+2x﹣1， x2+4x+1， x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项
2 2 2
式进行加法运算，并把结果因式分解．
1 1
【答案】解：情况一： x2+2x﹣1+ x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
2 2
1 1
情况二： x2+2x﹣1+ x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
2 2
1 1
情况三： x2+4x+1+ x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
2 2
【解析】【分析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可
以了．
四、综合题
20．已知 a2-3a+1=0 ，求1
（1）a2+
的值。
a2
（2）已知a是 4+√5 的小数部分，b是 -√5+5 的小数部分，c是 2+√3 的整数
部分，求代数式 a2c-b2c 的值
【答案】（1）解：∵a≠0，
1 1
∴a2-3a+1=0 两边同除以a得： a-3+ =0 ，即 a+ =3 ，
a a
1 1 2
∴a2+ =(a+ ) -2=7 ；
a2 a
（2）解：∵2＜ √5 ＜3，-3＜ -√5 ＜-2，1＜ √3 ＜2，
∴a= √5 -2，b= 3-√5 ，c=3，
∴
a2c-b2c=c(a2-b2 )=c(a+b)(a-b)=3×(√5-2+3-√5)(√5-2-3+√5)=3×(2√5- 5)=6√5-15
.
1
【解析】【分析】（1）方程两边同除以a求出 a+ =3 ，然后将所求式子利用完全平
a
方公式恒等变形，再整体代入计算；
（2）首先根据无理数估算得到a，b，c的值，然后将所求的代数式利用因式分解变形，
最后代入a,b,c的值即可算出答案.
21．求值
（1）先化简再求值：5x2-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)，其中x=-1．
（2）已知a+b=4，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
【答案】（1）解：当x=-1时，
原式=5x2-(3x2-5x-2)-2(x2-4x-5)
=5x2-3x2+5x+2-2x2+8x+10
=13x+12
=-13+12=-1
（2）解：当a+b=4，ab=2时，
原式=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
=2×16
=32
【解析】【分析】(1)先根据整式的运算化简，然后将x的值代入即可求出答案． (2)先
将原式进行因式分解，然后a+b、ab的值代入即可求出答案．
22．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的
（1）请根据此图填空：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=（ ）（ ）.
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=
=（ ）（ ）
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.
尝试运用：
例题：把x2+3x+2分解因式.
解：x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).
（2）请利用上述方法将下面多项式因式分解：x2-7x+12；
【答案】（1）x+p；x+q；（x+p）x+（x+p）q；x+p；x+q
（2）解：x2-7x+12
=x2+[(-3)+(-4)]x+(-3)×(-4)
=[x+(-3)][x+(-4)]
=(x-3)(x-4)．
【解析】【解答】(1)解：x2+(p+q)x+pq
=x2+px+qx+pq
=(x+p)(x+q) ；x2+(p+q)x+pq
=x2+px+qx+pq
=(x2+px)+(qx+pq)
=(x+p)x+(x+p)q
=(x+p)(x+q)；
故答案为：x+p，x+q；（x+p）x+（x+p）q，x+p，x+q
【分析】（1）结合图象求解即可；
（2）参考题干中的计算方法求解即可。
