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14.3 因式分解
因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个
多项式分解因式.
注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而
不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式
乘法是一种运算.
题型1：因式分解的概念
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )
A．(x+1)(x-3)=x2-2x-3 B．x2- y2=(x+ y)(x- y)
C．x2-xy-1=x(x- y) D．x2-2x+2=(x-1) 2+1
【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a(x+ y)=ax+ay B．a2-4=(a+2)(a-2)
1
C．-x4+16=(x2-4)(4+x2 ) D．2a2+2=2a(a+ )
a
公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
注意：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最
大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
题型2：找公因式
2.代数式 15a3b3 (a-b) ， 5a2b(b-a) ， -120a3b3 (a2-b2 ) 中的公因式是
（ ）
A．5a2b(b-a) B．5a2b2 (b-a)
C．5ab(b-a) D．120a3b3 (b2-a2 )
【变式2-1】多项式m2－4n2与m2－4mn＋4n2的公因式是（ ）
A．（m＋2n）（m－2n) B．m＋2n
C．m－2n D．（m＋2n）（m－2n）2
【变式2-2】多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是 ．
提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公
因式m，另一个因式是 ，即 ，而
正好是 除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。
注 意 ： （ 1 ） 提 公 因 式 法 分 解 因 式 实 际 上 是 逆 用 乘 法 分 配 律 ， 即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系
数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提
取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
题型3：提公因式法分解因式
3.（1）分解因式：a2-3a； （2）分解因式：3x2y-6xy2．
【变式3-1】分解因式：
（1）a（x-2y）-b（2y-x）； （2）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2．
【变式3-2】因式分解
（1）-3x3y2+6x2y3-3xy4； （2）3x（a-b）-6y（b-a）．题型4：提公因式法与整体思想
4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．
【变式4-1】已知a+b=3，ab=2，求代数式a2b+2a2b2+ab2的值．
【变式4-2】若a=-5，a+b+c=-5.2，求代数式a2（-b-c）-3.2（c+b）的值．
公式法——平方差公式
a2 b2 abab
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
注意：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数
（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
a b a b
（3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式或
多项式.
题型5：平方差公式法分解因式
5.因式分解：
1
（1）a2-9； （2）25− m2
4
【变式5-1】因式分解：（1）a4-b4． （2）-x4+16．
【变式5-2】把（a2-a）2-（1-a）2因式分解．公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平
a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2
a2 2abb2
方 ． 即 ， . 形 如 ，
a2 2abb2
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数
之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
a b a b
（4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式或
多项式.
题型6：完全平方公式法分解因式
6.因式分解：
（1）x2-4x+4．
（2）16m2-8mn+n2．
（3）4x2+20x+25；
【变式6-1】因式分解：（1）（x-y）2-6（x-y）+9
（2）（x2+9）2-36x2
【变式6-2】因式分解：（1）（a2+b2）2-4a2b2．
1
（2）−x3+x2y− xy2；
4（3）（7x2+2y2）2-（2x2+7y2）2．
题型7：十字相乘法分解因式
7.因式分解：（1）x2-3x+2；
（2）x2-2x-15
（3）x2-7x+12．
【变式7-1】因式分解：（1）（x2+4x）2-（x2+4x）-20．
题型8：分组分解法分解因式
8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．
（2）9-x2+2xy-y2．
【变式8-1】因式分解：（1）x3+3x2y-4x-12y.
（2）x2-4xy+4y2-1
（3）2x2-4xy+3x-6y
【变式8-2】因式分解：
（1）1-x2+2xy-y2
（2）25（x+y）2-36（x-y）2题型9：利用因式分解简便运算
9.计算：（1）2022+202×196+982
（2）652-352；
【变式9-1】利用因式分解简化计算：
（1）2002-400×199+1992
（2）2.22+4.4×17.8+17.82．
【变式9-2】利用因式分解计算：
（1）9002-894×906；
（2）2.68×15.7-31.4+15.7×1.32．
题型10：利用因式分解求系数的值
10.已知多项式2x -x +m有一个因式(2x+1),求m的值.
【变式10-1】已知x2+mx-15=（x+3）（x+n），求n+m的值．
【变式10-2】将多项式 x2-3x+2 分解因式 x2-3x+2=（x-2）（x-1），说明多项式 x2-
3x+2有一个因式为x-1，还可知：当x-1=0时x2-3x+2=0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx-8有一个因式为x-2，求k的值；
（2）若x+2，x-1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．题型11：利用因式分解求代数式的值
11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【变式11-1】根据已知条件，求出下列代数式的值：
（1）已知x+2y=4，xy=1，求代数式x2+4y2+3xy的值；
（2）已知m2+m-1=0，求代数式m3+2m2+2022的值．
3 4
【变式11-2】已知a+b= ，ab=- ，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
2 3
题型12：利用因式分解解决整除问题
12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
【变式12-1】如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【变式12-2】求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差 (2n+1) 2-(2n-1) 2 是
8的倍数
题型13：因式分解与几何问题
13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的
值．【变式13-1】现有若干张长方形和正方形卡片,如图所示.请运用拼图的方法,选取图中
相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+4ab+3b2,并根据
拼成图形的面积,把多项式a2+4ab+3b2因式分解.
【变式13-2】如图，长为 m，宽为 x(m>x)的大长方形被分割成 7 小块，除阴影
A，B 外，其 余 5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为 y．记
阴影 A 与 B 的面积差 为 S．
（1）分别用含 m，x，y的代数式表示阴影 A，B 的面积；
（2）先化简 S，再求当 m=6，y=1 时 S的值；
（3）当 x取任何实数时，面积差 S 的值都保持不变，问 m 与 y应满足什么条
件？
题型14：因式分解与三角形问题
14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC
的形状.
【变式14-2】已知在 △ABC 中，三边长分别为a，b，c，且满足等式
a2+bc-ac-b2=0， 请判断 △ABC 的形状，并写出你的理由.
【变式14-3】已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足等式
a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想 该三角形的形状，并证明你的猜想．
一、单选题
1．同学们把多项式 2x2-4xy+2x 提取公因式 2x 后，则另一个因式应为（ ）
A．x-2y B．x-2y+1 C．x-4 y+1 D．
x-2y-1
2．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）
1
A．a2+a+ B．a2+b2-2ab C．-a2+25b2 D．
4
-4-b2
3．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）
C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）
4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3
的值为（ ）A．2560 B．490 C．70 D．49
5．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
6．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
7．已知n是正整数，则下列数中一定能整除 (2n+3) 2-25 的是 ()
A．6 B．3 C．4 D．5
8．观察下列分解因式的过程： x2-2xy+ y2-16=(x- y) 2-16=(x- y+4)(x- y-4) ，
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足
a2-b2-ac+bc=0 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描
述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
二、填空题
9．下列因式分解正确的是 （填序号）
①x2-2x=x(x-2)；②x2-2x+1=x(x-2)+1；③x2-4=(x+4)(x-4)；④
4x2+4x+1=(2x+1) 2
10．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．
11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．
12．因式分解：1－a2＋2ab－b2 ＝ .
13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 a2b+ab2 的值为
．14．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状
是 .
15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为
．
三、解答题
16．因式分解：
（1）a3-36a
1
（2）
x2+xy+ y2
4
（3）(a2+4) 2-16a2
17．把下列各式因式分解：
（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）
（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
（4）4m2﹣n2﹣4m+1．
18．已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项
与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
1 1 1
19．给出三个多项式： x2+2x﹣1， x2+4x+1， x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项
2 2 2
式进行加法运算，并把结果因式分解．
四、综合题
20．已知 a2-3a+1=0 ，求
1
（1）a2+
的值。
a2
（2）已知a是 4+√5 的小数部分，b是 -√5+5 的小数部分，c是 2+√3 的整数
部分，求代数式 a2c-b2c 的值
21．求值
（1）先化简再求值：5x2-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)，其中x=-1．
（2）已知a+b=4，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．22．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的
（1）请根据此图填空：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=（ ）（ ）.
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=
=（ ）（ ）
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.
尝试运用：
例题：把x2+3x+2分解因式.
解：x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).
（2）请利用上述方法将下面多项式因式分解：x2-7x+12；
