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专题突破卷 09 奇偶性、对称性与周期性
1.对称轴
1．定义在R上的奇函数 满足 ，且 在区间 上是增函数，给出下列三个命题：
① 的图象关于点 对称；
② 在区间 上是减函数；
③
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①②
【分析】根据给定条件，结合赋值法推理判断①；利用奇函数性质、函数对称性推理判断②；导出函数的
周期，计算判断③作答.
【详解】因为 是R上的奇函数，则 ，即 ，
从而 ，即有 ，因此 的图象关于点 对称，①是真命题；
学科网（北京）股份有限公司 1因为 是R上的奇函数，且在区间 上是增函数，则 在区间 上是增函数，
由 知，函数 的图象关于直线 对称，因此 在区间 上是减函数，②是真命题；
由 知， ，则 ，即 是周期为4的函数，
因此 ，③是假命题，
所以所有真命题的序号是①②
故答案为：①②
2．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时， ，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】分析可知函数 的图象关于直线 对称，且该函数 上单调递增，由
可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ， 是偶函数，
则 ，即 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
故函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，即 ，
即 ，即 ，解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 2因此，不等式 的解集为 .
故答案为： .
3．设函数 的定义域为R， ， ，当 时， ，则函数
在区间 上零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】分析函数 的性质，结合幂函数的图象，作出 在 上的图象，再作出 在
上的图象，求出两图象的交点个数作答.
【详解】由 ，得 的图象关于y轴对称，由 ，得 的图象关于直线
对称，
令 ，得 ，函数 是周期为1的偶函数，当 时，
，
在同一坐标系内作出函数 在 上的图象，函数 在 上的图象，如图，
观察图象知，函数 与 的图象在 上的交点有7个，
学科网（北京）股份有限公司 3所以函数 在区间 上零点的个数为7.
故选：D
4．（多选）若函数 满足 ， ，且 ， ，
，则（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．若 ，则
【答案】AC
【分析】先由函数的对称性可找到对称轴 ，即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性
比较函数值的大小，可判定BCD选项.
【详解】由题意可得 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递增，
则 在 上单调递减，且 的图象关于直线 对称，
由偶函数图象的特征得A正确．
结合函数 的单调性和 图象的对称性得，距离 越近，函数值越小， ，所以B不
正确．
对C， ，所以C正确．
对D，若 ，则直线 距离直线 更远，即 ，解得 或 ，所以D不正确．
故选：AC．
5．函数 满足 ，且在区间 上的值域是 ，则坐标 所表示的点在
图中的（ ）.
学科网（北京）股份有限公司 4A．线段AD和线段BC上 B．线段AD和线段DC上
C．线段AB和线段DC上 D．线段AC和线段BD上
【答案】B
【分析】根据函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得函数解析式并画出图象，根
据值域，可得 的取值范围，可得答案.
【详解】 函数 满足 ，
故函数的图象关于直线 对称，且开口向上下，
所以， ， .
再根据 ， ，画出函数 的图象，
如图所示：
故有 ， .
且当 时， ； 时， ，
故坐标 所表示的点在图中的线段AD和线段DC上，
故选：B.
2.对称中心
学科网（北京）股份有限公司 56．（多选）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为奇函数， ，
．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数 的一个周期
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据 可得 即可确定周期求解选项A；根据 为奇函数，
可得 即可求解选项B；根据题设条件可得 即可求解选项C；利用函数
的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为 ，
所以 ，即 ，
所以3是函数 的一个周期，A正确；
对B，因为 为奇函数，所以 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，B错误；
学科网（北京）股份有限公司 6对C，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以函数 是偶函数，C正确；
对D， ，
所以 ，
所以
，D正确；
故选:ACD.
7．（多选）函数 是定义在R上的奇函数，且在 上单调递增， 也是奇函数，则
（ ）
A．函数 是周期为4的周期函数
B．函数 是周期为2的周期函数
C．函数 的图像关于点 对称
D． 大小关系为
【答案】ACD
【分析】A选项，根据 与 均是定义在R上的奇函数，得到 ，得到 是周期为
4的周期函数；C选项，根据 的周期及对称性得到C正确；B选项，由 及 的周期得
学科网（北京）股份有限公司 7到 的周期；D选项，根据对称性及周期得到 ，结合 在
上单调递增，比较出大小关系，D正确.
【详解】A选项，由题意得 ，
又 ，所以 ，
又 是定义在R上的奇函数，所以 ，
即 ，
所以函数 周期为4，故A正确，B错误；
C选项，因为 的图像关于点 对称，周期为4，
所以函数 的图像关于点 对称，故C正确；
由 ，得 ，
即函数 是周期为4的周期函数，故B错误.
D选项，因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
由 ，
且 在 上单调递增，得 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
8．（多选）已知定义在R上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，则
下列说法中正确的是（ ）
A．函数 是周期函数
B．函数 为R上的偶函数
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 为R上的单调函数
学科网（北京）股份有限公司 8【答案】AC
【分析】由题可得 即可判断A；由 为奇函数可得 ，即可
判断B；由 、 可得 ，即可判断C；根据 为R上的奇
函数，结合单调函数的定义即可判断D.
【详解】A选项，由 ，得 ，即 ，故A正确；
B选项，因为 为奇函数， ，
用 换x，得 ，又 ，
所以 ，即函数 为R上的奇函数，故B错误；
C选项，因为 为奇函数，
所以 ，
则 的图象关于点 对称，故C正确；
D选项，因为函数 为R上的奇函数，其图象关于原点对称，
函数 在 和 的单调性相同，
但函数 在R上不一定为单调函数，故D错误.
故选：AC.
9．设函数 的定义域为R，且 是奇函数，则 图像（ ）
A．关于点 中心对称 B．关于点 中心对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质，结合对称性，即可得出答案.
学科网（北京）股份有限公司 9【详解】因为 为奇函数，所以 ，
所以函数 图象关于点 中心对称.
故选：A.
10．已知函数 为奇函数，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【分析】根据 为奇函数，得到 关于 对称，进而得到答案.
【详解】函数 为奇函数，图像关于 对称，
则函数 关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称．
故选：A.
11．已知函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于 对称，当
时， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的最小正周期为2
D．当 时，
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 10【分析】根据题中条件可得 的周期为4且关于 对称，结合 时， ，即可画出
函数的图象，由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数 对任意 都有 ，即 恒
成立，所以 的周期为4.
因为函数 的图象关于 对称，所以将 的图象向右平移一个单位，得到 的
图象，所以 的图象关于 对称，
故 ，因此 的图象关于 对称，
设 ，则 ，
因为函数 对任意 都有
所以 ，
所以 所以选项D错误.
作出 的图象如图所示：
由图象可知，函数 的图象关于点 中心对称，关于直线 对称，故A，
B错误；
对于C：函数 的图象可以看成 的图象 轴上方的图象保留，把 轴下方的图象翻折到
学科网（北京）股份有限公司 11轴上方，所以函数 的最小正周期为2.故C正确.
故选：C
3.奇偶性，对称性与周期性的相互转化
12．（多选）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心 D．方程 仅有3个实数解
【答案】CD
【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数 的部
分图象，数形结合判断D作答.
【详解】函数 的定义域为 ，由 为奇函数，得 ，即 ，
由 为偶函数，得 ，即 ，则 ，
即 ，于是 ，函数 是周期为 的周期函数，
当 时， ，
对于A， ，A错误；
对于B，函数 在 上单调递增，由 ，知函数 图象关于点 对称，
则函数 在 上单调递增，即有函数 在 上单调递增，因此 在 上单调递增，
B错误；
学科网（北京）股份有限公司 12对于C，由 及 ，得 ，即 ，
因此函数 图象关于点 对称，C正确；
对于D，当 时， ，由函数 图象关于点 对称，
知当 时， ，则当 时， ，
由 ，知函数 图象关于直线 对称，则当 时， ，
于是当 时， ，而函数 的周期是 ，因此函数 在R上的值域为 ，
方程 ，即 ，因此 的根即为函数 与 图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数 与 的部分图象，如图，
观察图象知，函数 与 图象在 上有且只有3个公共点，
而当 时， ，即函数 与 图象在 无公共点，
所以方程 仅有3个实数解，D正确.
故选：CD
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
(1)存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
(2)存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
13．（多选）已知函数 的定义域均为 ，且 , ，若
学科网（北京）股份有限公司 13的图象关于直线 对称，则以下说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B．
C． ， D．若 的值域为 ，则
【答案】BCD
【分析】由 得 ，与 联立得 ，再结
合 的图象关于直线 对称，可得 的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】 ， ，
， ，
关于 对称， ，
， ， ，
，故C正确；
关于 对称， ， ， 为偶函数，
， ， ， ， ，
为偶函数，故A错误；
， 图象关于点 中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于 对称 ，
，故D正确；
由 得 ，又 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有 混合关系的抽象函数，要探求 性质首先要消去一个函
数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对 进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再
考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题
学科网（北京）股份有限公司 14应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
14．（多选）定义在 上的函数 满足 ，函数 的图象关于 对称，
则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 是 的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【分析】由函数 的图象关于 对称，可得 ，即可判断A；先求出 最小
正周期为 ，再推出由 可判断B；令 ，求出 可判断C；求出
，可判断D.
【详解】对于A，由函数 的图象关于 对称，可推得 ，
令 等价于 ，则 ， 的图象关于 对称，所以A正确.
对于B，令 由 ， ，
所以， ，所以 关于 对称.
由 ，所以 ，
所以， ，所以， 关于 对称.
令 等价于 ，则 ，
又因为 ，所以
令 等价于 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 15所以可得出 最小正周期为 .
， ，所以 不是 的周期，所以B错误.
对于C，令 ，则 ，所以，所以C正确.
对于D，因为 图象关于 对称，所以 ，
因为 ， ，因为 最小正周期为 ，
所以 ，所以 ，
，
有 ，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：令 是解题的关键，通过研究 的对称性和周期性得到 的性质，
即可求解.
15．（多选）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为偶函数，则下列说法一
定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 为偶函数
D．函数 的图象关于点 对称
【答案】BCD
【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断A、B；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称
性意义判断C、D.
【详解】对于选项A：因为 ，则 ，
可得 ，所以函数 的周期为4，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司 16对于选项B： 因为 为偶函数，则 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于选项C：因为函数 的图象关于直线 对称，则 ，
由函数 的周期为4，可得 ，
所以函数 为偶函数，故C正确；
对于选项D：因为 ，且 ，可得 ，
又因为函数 的周期为4，则 ，
所以函数 的图象关于点 对称，D正确；
故选：BCD.
16．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
【答案】C
【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，求出函数 的周期，并结合 求
出a，b的值，即可判断A；由 的周期可求出 即可判断B； 为偶函数得
，结合 的周期即可判断C；由 即可判断D.
【详解】 为奇函数， ，
学科网（北京）股份有限公司 17令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
又 为偶函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
，用 替换 ，则 ，
，则 的一个周期为4，
由 ，解得 ，故A错误；
，故B错误；
由 ，得 ，得 为偶函数，故C正确；
时， ， ， 不关于 对称，故D错误，
故选：C.
17．已知 是定义在 上的函数，满足 ，且满足 为奇函数，则下列说法一定
正确的是（ ）
A．函数 图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 图象关于点 中心对称 D．
【答案】D
【分析】由 易得 图象关于直线 对称，再由 为奇函数，得到 图象
关于 对称，进而结合得到 ，有函数 的周期为4判断.
【详解】解：因为 满足 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 18所以函数 图象关于直线 对称，
因为 为奇函数，
所以 ，即 ，
则函数 图象关于 对称，则 ，
令 得 ，
由 ，得 ，
所以函数 的周期为4，
所以 ，
故选：D
4.比大小
18．已知函数 在 上单调递增，且 是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到函数 关于 对称，所以 ，结合单调性，即可求解.
【详解】由函数 是偶函数，可得函数 关于 对称，
所以函数 关于 对称，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 .
故选：B.
19．已知函数 是偶函数，当 时， 恒成立，设
学科网（北京）股份有限公司 19，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质,结合函数的对称性即可求解.
【详解】因为 时， 恒成立，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 是偶函数，
所以 的图象关于 对称，
因为 ， ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：A．
20．定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 恒成立，
设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得
的大小关系，可得答案.
【详解】因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 成轴对称，
学科网（北京）股份有限公司 20因为当 时， ，由 ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
由 ，
由 ，根据函数 在 上单调递增，则 ；
由 ，根据函数 在 上单调递增，则 .
由函数 在 上单调递减，则 ，即 .
故选：B.
21．已知 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数 的周期性，及在 上的单调性即可判断作
答.
【详解】由 为奇函数，得 ，即 ，
又由 为偶函数，得 ，即 ，
于是 ，即 ，因此 的周期为8，
又当 时， ，则 在 上单调递增，
由 ，得 的图象关于点 成中心对称，则函数 在 上单调递增，
因此函数 在 上单调递增，由 ，得 的图象关于直线 对称，
学科网（北京）股份有限公司 21， ， ，
，显然 ，即有 ，即 ，
所以a，b，c的大小关系为 .
故选：D
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
(1)存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
(2)存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
22．定义在R上函数 满足以下条件：①函数 图像关于 轴对称，②对任意
，当 时都有 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【详解】解：∵函数 图像关于 对称，且对任意 ，
当 时都有 ，
∴ 在 ，上单调递减，在 单调递增，
，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司 22故选：B．
5.解不等式
23．（ 2023·江苏·统考二模）（多选）已知函数 的图象是连续不间断的，函数
的图象关于点 对称，在区间 上单调递增.若
对任意 恒成立，则下列选项中 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数 为 上单调递增，进而得到 ，
利用参变分离和 的取值范围求出 的取值范围，进而求解.
【详解】由函数 的图象关于点 对称且在区间 上单调递增可得，函数
的图象关于 对称，函数 为 上单调递增，
由 可得，
，
也即 ，
则有 恒成立，即
因为 ，所以 ，
当 时，得到 恒成立；
当 时，则有 ，
令 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，且 ，
学科网（北京）股份有限公司 23所以 ，则 ，所以BC适合题意，AD不合题意.
故选：BC.
24．（ 2023·西藏林芝·统考二模）已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 为偶函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数 为偶函数，∴ ，即 ，
∴函数 的图象关于直线 对称，
又∵函数 定义域为 ，在区间 上单调递减，
∴函数 在区间 上单调递增，
∴由 得， ，解得 .
故选：D.
25．已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点 对称， ，且对任意的 ，
，满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 24C． D．
【答案】C
【分析】首先根据 的图象关于点 对称，得出 是定义在 上的奇函数，由对任意的 ，
， ，满足 ，得出 在 上单调递减，然后根据奇函数的对称性和
单调性的性质，求解即可．
【详解】 的图象关于点 对称， 的图象关于点 对称， 是定义在 上的奇函
数，
对任意的 ， ， ，满足 ， 在 上单调递减，所以 在
上也单调递减，
又 所以 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以由 可得 或 或 ，
解得 或 ，即不等式 的解集为 ．
故选：C.
26．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】确定函数 的图象关于 中心对称， 在 上单调递减，且 ，不等式转化
为 或 或 ，解得答案.
学科网（北京）股份有限公司 25【详解】依题意， ， ，
故 ，
故函数 的图象关于 中心对称，
当 时， ， ， 单调递减，
故 在 上单调递减，且 ，
函数 的图象关于 中心对称， 在 上单调递减， ，
而 ，故 或 或 ，
解得 或 ，故所求不等式的解集为 ，
故选：B.
27．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数， 为偶函数，记
，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 为奇函数可得 两边求导得到 ，即
，同理可得 ，即可得到 的对称性与周期，画出 与
的图象，数形结合即可得解.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，即 ，
两边同时求导得 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称，且 ①；
学科网（北京）股份有限公司 26又 为偶函数，所以 ，即 ，两边求导得
，即 ，
所以 的图象关于点 中心对称，且 ②；
由①②得 ，即 ，
所以 ，所以 的一个周期为 ，
因为当 时， ，
当 时，则 ，所以 ，
当 时，则 ，所以 ，
作出函数 与 的图象如图所示，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
结合图象可知不等式 的解集为 .
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是找到函数 的对称性与周期性，再利用数形结合法.
28．定义在 上函数 满足 ， .当 时，
，则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 27【答案】D
【分析】由已知可得出函数的对称性以及函数的周期为4.进而根据对称性可求出 在 以及 上
的解析式，作出函数图象，即可得出 的解集.分别令 取 ，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 关于点 对称，所以 ；
又 ，所以 ，所以有 ，故 关于直线 对
称，所以 .
所以， ，所以有 ，所以 ，
所以 的周期为4.
当 时， ，所以 ，
所以 时， .
当 时， ，所以 .
作出函数 在 上的图象如下图
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 ；
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 28根据图象可得 时， 的解集为 .
又因为 的周期为4，
所以 在实数集上的解集为 .
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故A项错误；
令 ，可得区间为 ，故B项错误；
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故C项错误；
令 ，可得区间为 ，故D项正确.
故选：D.
29．已知 是定义在 上的增函数，且 的图象关于点 对称，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的对称性，构造 ，原不等式可化为 ，利用其单调性
去函数符号解不等式即可.
【详解】由题意可知 ，设 ，显然有 ，
学科网（北京）股份有限公司 29又 是定义在 上的增函数，易知 在 上是增函数.
原不等式可化为 ，
即 ，解不等式组可得 .
故选：C
6.结合导数
30．（多选）定义在R上的函数 ， 的导函数为 ， ， 是偶函数.已知
， ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 图象的对称轴是直线
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用题中条件解出 ，利用奇函数得定义即可；
对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到 ，从而判定出 的对称轴；
对于C,对题中得两个条件进行变化，对 进行赋值，即可；
对于D,证明 的性质，从而得到结论.
【详解】 , ，
，又
为奇函数，故A正确.
是偶函数， ，
则
学科网（北京）股份有限公司 30又 ，则 ，
所以 ，则
则 ， ，
故 的图象关于 对称，故B正确.
因为 ，所以 ，
令 得， ，
又 ，令 ，
得 = ，故C正确.
， ，
又 ， 是奇函数，
， 是奇函数，
则 ， ，
则 ， ，
故 ，D错误.
故选：ABC.
31．（多选）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B． 为偶函数
学科网（北京）股份有限公司 31C． 的图象关于点 对称 D． 的一个周期为
【答案】BCD
【分析】由 ，可设 ，（ 、 为常数），再根据所给条件推出 ，
即可得到 ，从而判断A，即可得到 ，在两边求导，即可判断C，根据
为奇函数，得到 求导，即可判断B，最后推出 的周期性，即可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，（ 、 为常数），
又因为 ，所以 ，
即 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
所以 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，故C正确；
因为 为奇函数，所以 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 为偶函数，故B正确；
因为 ，且 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 的一个周期为 ，又 ，
所以 ，
所以 的一个周期为 ，故D正确；
故选：BCD
学科网（北京）股份有限公司 3232．已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域均为 ， 为奇函数， 关于
直线 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 为奇函数得 ，由 关于直线 对称得 为偶函数，对
于选项A，由 为偶函数满足 即可判断；对于选项B，由 得
即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判
断；对于选项D，由 得到 的对称性，从而得到导数的关系即可判断.
【详解】解法一：由 为奇函数得 ，
令 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ；
因为 关于直线 对称，所以 关于 轴对称，
即 为偶函数，所以 .
对于选项A，因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，故选项A错误.
对于选项B，由 得 ，
所以 ，故选项B错误.
学科网（北京）股份有限公司 33对于选项C，因为 的图像关于 轴对称，所以 轴左右两边对称点的切线关于 轴对称，所以切线的
斜率互为相反数，
即 ，所以 ，
所以 ，故选项C错误.
对于选项D，因为 ，所以 关于点 中心对称，
因为 ，所以 和 关于点 对称，
所以 在 和 处切线的斜率相等，即 ，
所以 ，故选项D正确.
故选：D.
33．（ 2023·河北唐山·统考三模）（多选）函数 及其导函数 的定义域均为R，若 为奇函
数，且 ，则（ ）
A． 为偶函数
B．
C． 的图象关于 对称
D．若 ，则 为奇函数
【答案】AC
【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，利用特殊值判断B，根据周期性及奇
偶性判断函数的对称性，即可判断C.
【详解】因为 为奇函数且在定义域 上可导，即 ，
所以两边对 取导可得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 34所以 为偶函数，故A正确；
对于B：令 ，显然 为奇函数，且最小正周期 ，
即满足 ，则 ，则 ，故B错误；
对于C：因为 且 为 上的奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 的图象关于 对称，故C正确；
对于D：因为 ，则 ，
即 为奇函数，由A可知 为偶函数，故D错误；
故选：AC
34．（多选）设定义在R上的函数 与 的导数分别为 与 ，已知 ，
，且 的图象关于直线 对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的一个周期为8
D．函数 为奇函数
【答案】AC
【分析】由 ，可得 ，由 的图象关于直线 对称，则
，据此可判断各选项正误.
学科网（北京）股份有限公司 35【详解】因 ，两边求导可得 . 的图象关于直线 对称，则
.
A选项，由 可得 ，
由 可得 ，
则 ，
即函数 的图象关于点 对称，故A正确；
B选项，若函数 的图象关于直线 对称，则 .
又 ，
，则 .
即 是常函数，但 不一定是常函数，故B错误；
C选项，由 可得 .
由 可得 ，又 ，
则 ，则函数 的一个周期为8，故C正确；
D选项，若函数 为奇函数，则 .
由 可得 .又 ，
则 ，得 的一个周期为4，但题目条件不足以说明 的周期情况，故D错
误.
故选：AC
35．（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，导函数分别为 ， ，若 ，
学科网（北京）股份有限公司 36，且 ，则（ ）
A．4为函数 的一个周期 B．函数 的图象关于点 对称
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题中条件可得 即可判断A,由 的关系可判断B，由
得 进而可得 ，结合周期性即可判断CD.
【详解】由 得 ，
由 求导得 ，
又 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以4为函数 的一个周期，A正确；
，故 ，
因此 ，
故函数 的图象关于点 对称，B正确，
在 中，令
由 得 为常数，故 ，
由函数 的图象关于点 对称，
学科网（北京）股份有限公司 37，
因此 ，
所以 由于 的周期为4，所以 的周期也为4，
由于 ，所以 ， ，
所以 ，故C正确，
由于
,故D错误，
故选:ABC
36．已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为 为偶函数，所以 的图像关于y轴对称，则 的图像关于直线 对称．
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司 381．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且关于
点 中心对称.设 ，若 ，则 （ ）
A．2020 B．2022 C．2024 D．2026
【答案】C
【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.
【详解】由题意可知 ，且 ，所以 ，
则 ，所以 是以4为周期的周期函数.
由 可知， ，则 ，
所以 ，
由 得， ，
所以 ，则 ，所以 ，
，…，
，
所以
.
故选：C.
2．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 ，若
， 均为偶函数，下列结论错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 39A．函数 的图像关于直线 ＝1对称
B． ＝2
C．
D．若函数 在[1，2]上单调递减，则 在区间[0，2024]上有1012个零点
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为 是偶函数，
所以 ，所以函数函数 的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；
因为g(x＋2)为偶函数，所以有 ，
因此函数 关于直线 对称，
由 ，
因此函数 关于点 对称，由
，所以函数 的周期为4，
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
所以 ，故选项B不正确；
由 ，令 ，得 ，因此选项C正确；
因为函数 关于点 对称，且在[1，2]上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司 40所以函数 在 也单调递减，而函数 关于直线 对称，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以当 时，函数 有两个零点，
当 时，由函数 的周期为4，
可知函数的零点的个数为 ，所以选项D说法正确，
故选：B.
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，且 ，
， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．2023
【答案】D
【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的周期为4，代入特殊值求得 ， ， ， ，问
题即可得到解决.
【详解】由 可知函数 的对称中心为 ，
由 可知函数 的对称轴为 ，
故函数 的周期 .
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
而 ，
学科网（北京）股份有限公司 41将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
所以 .
故选：D
4．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数 是奇函数， 且
， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4
C． 是奇函数 D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性，对称性和奇偶性的公式推导即可求解.
【详解】因为 是奇函数，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
所以 ，
故选项A错误；
，
学科网（北京）股份有限公司 42所以 ，
所以 的一个周期是4，
故选项B正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是偶函数，
故选项C错误；
例如 ，满足 是奇函数且 且 ，
所以 ，
可得 ，故选项D错误；
或根据 得 关于直线 轴对称，
因而在 处有极值，所以 或不存在，故D选项错误.
故选：B.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数 与 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，则下面判断错误的是( )
A． 的图象关于点 中心对称
B． 与 均为周期为4的周期函数
C．
学科网（北京）股份有限公司 43D．
【答案】C
【分析】由 为偶函数可得函数关于直线 轴对称，结合 和 可
得 的周期为4，继而得到 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【详解】因为 为偶函数，所以 ①，所以 的图象关于直线 轴对称，
因为 等价于 ②，
又 ③，②+③得 ④，即 ，即
，
所以 ，故 的周期为4，
又 ，所以 的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得 ，故 的图象关于点 中心对称，且 ，故选项 正确，
由 ， 可得 ，且 ，故
，
故 ，
因为 与 值不确定，故选项 错误，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
故 ，所以选项D正确，
学科网（北京）股份有限公司 44故选: .
6．（2023春·广东珠海·高二统考期末）设函数 ，实数 满足不等式
，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数 关于 对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将
不等式进行转化求解即可.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴函数 关于 对称，
又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 恒成立，则 是增函数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，得 ，
故选：A
7．（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数 是奇函数， 是偶函数，当 时，
，则下列选项不正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 45A． 在区间 上单调递减
B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值是1
D．当 时恒有
【答案】B
【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以 的图象关于点 对称， 的图象关于
直线 对称，进而得出 周期为4.根据 在 上的解析式，结合函数的对称性可得出 在
上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出 在 上的值域，根据对称性即可得
出C、D项.
【详解】因为函数 是奇函数，
所以 的图象关于点 对称，所以 的图象关于点 对称，所以， ；
因为 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以， .
所以， ，所以 周期为4.
对于A项，因为 的图象关于点 对称， 的图象关于直线 对称，所以 也是 的对
称中心.
因为 时， ，
，则 ，所以 .
根据函数的对称性可知， ，所以 .
所以当 时， 单调递减.
学科网（北京）股份有限公司 46又 的图象关于点 对称，所以 在区间 上单调递减，故A项正确；
对于B项，因为 的图象关于点 对称， 周期为4，所以 的图象关于点 对称，故B
项错误；
对于C项，由A知，当 时， ，所以 .
又 的图象关于直线 对称，所以当 时，有 .
综上所述，当 时，有 .
因为 周期为4，所以 的最大值是1，故C项正确；
对于D项，由已知当 时， .
又 的图象关于直线 对称，所以当 时， .
综上所述，当 时， 恒成立.
因为 的图象关于点 对称，所以，当 时，恒有 ，故D项正确.
故选：B.
8．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）已知函数 的定义域为R，且 ，
为奇函数， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据 即可得出 周期为4，赋值可求出 .进而由 为奇函
数，可推得函数 关于点 对称，由已知可求出 ， ， ，然后即可求
学科网（北京）股份有限公司 47得 ， .进而即可根据周期性得出函数值，求出
，即可得出
，代入数值，即可得出答案.
【详解】由 ，则 ，
所以， ， 周期为4，所以 .
由 ，令 ，则有 ，所以， .
因为 为奇函数，所以 ，
所以， ，所以函数 关于点 对称，
所以， .
令 ，则 .
令 可得， ，所以 ，所以 ，
所以，有 ，即有 .
令 ，则有 ；
令 ，则 .
综上， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 48.
所以，
，
所以， .
故选：B.
【点睛】方法点睛：抽象函数求解函数值，常用赋值法.根据已知关系，推得函数的周期以及对称性，根据
已知函数值，赋值求出其他函数值.
9．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）（多选）已知函数 的定义域为 的导函数
的图象关于 中心对称，且函数 在 上单调递增，若 且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得函数 的图象对称轴，结合给定等式探求出正数a，b的关系，再逐项分
析判断作答.
【详解】因为函数 的图象关于 中心对称，则有 ， ，
而 ，即 ， ，
，令 ， 为常数，当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 49因此 ， ，即函数 的图象关于直线 对称，
又函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，A正确；
而 ，即有 ， ，
因此 ，B错误；
显然 ，即 ，则 ，因此 ，C正确；
，D正确.
故选：ACD
10．（2023春·湖南·高二统考期末）（多选）已知函数 的定义域为 ，函数 为偶函数，且
是 的导函数.则下列结论正确的是（ ）
A． 是周期为2的周期函数
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于直线 对称
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得到 ，结合 ，得到 ，可判定A错
误；由 ，两边同时取导数可得 ，可判定B正确；由由 ，
得到 成立，可判定C正确；根据题意求得 ，进而判定
学科网（北京）股份有限公司 50D正确.
【详解】由函数 为偶函数，可得函数 的图象关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以函数 是周期为 的周期函数，所以A错误；
由 ，可得 ，
两边同时取导数，可得 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，所以B正确；
由 ，可得 成立，
所以函数的图象关于直线 对称，所以C正确；
由 且 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，所以 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，所以 ，
所以 ，
因为函数 的周期为 ，
所以 ，
所以D正确.
故选：BCD.
学科网（北京）股份有限公司 51【点睛】结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论：
（1）对于函数 ，若其图象关于直线 对称（ 时， 为偶函数），
则① ；② ；③ .
（2）对于函数 ，若其图象关于点 对称（ 时， 为奇函数），
则① ；② ；③ .
（3）对于函数 ，若其图象关于点 对称，
则① ；② ；③ .
11．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数 的图象关于直
线 对称， ， 为奇函数，且当 时， ，则（ ）
A． 的一个周期为3
B．当 时，
C．
D．直线 与曲线 共有7个不同的交点
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称性、奇偶性推出周期性，单调性，利用函数的周期性、单调性和函数图象逐项分
析可得答案.
【详解】因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
用 替换 ，得 ①．
因为 是奇函数，所以 ，即 ②．
结合①②，得 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司 52所以 ，所以 的一个周期为4，故A错误；
由 ，令 ，得 ．所以 ，即 ③．
由 ，得 ，即 ④，
联立③④两式，得 ，所以当 时， ．
设 ，则 ， ，故B正确；
因为 在 上单调递增，又 的图象关于直线 对称，
所以 在 上单调递减．所以当 时， ．
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ．
又函数 的一个周期为4，所以作出 的图象如图所示：
， ，
结合图象可得 ，所以 ，故C正确；
作直线 ，由图可知，直线 与曲线 共有7个不同的交点，故 正确．
故选：BCD
12．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，
且 ， ．若 的图象关于直线 对称， ，则下列结论正
确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 53A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】由 的图象关于直线 对称，则 ，结合 得
，推出 为偶函数，结合 推出 ，采用赋值
法即可求得 的值，判断 ；继而对 ，赋值 ，求得 ，判断A；再
推得函数 的周期性，利用周期性求得 的值，判断D.
【详解】由题意知函数 ， 的定义域均为 ，
的图象关于直线 对称，则 ，
， ， ，故 为偶函数，
由 ，得 ，代入 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 ，故B正确，C错误；
，令 ，则 ，即 ，A正确；
由 ，故 ，故由 得 ，
，故 ， 是以4为周期的周期函数，
由 ， ，令 ，则 ，得 ，
则 ，又 ，
令 得 ，得 ，
又 ，
学科网（北京）股份有限公司 54故
，D错误．
故选：AB．
【点睛】方法点睛：解答此类抽象函数的相关问题时，要根据题设条件推出函数具有的相关性质，这里主
要用到整体代换的方法，从而推出抽象函数具有的相关等式，推出其具有的奇偶性以及对称性和周期性等，
求函数值时，常常要采用赋值法，即令 取特殊值代入求值.
13．（2023春·河南洛阳·高一统考期末）（多选）设函数 的定义域为R，且满足 ，
，当 时， ．则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 为偶函数
C．当 时， 的取值范围为
D．函数 与 图象仅有 个不同的交点
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，确定函数 的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数 、
的部分图象判断D作答.
【详解】依题意，当 时， ，当 时， ，
函数 的定义域为 ，由 ，可知 的图象关于 对称，
由 ，则 ， 的图象关于 对称，
又 ，因此有 ，即 ，
于是有 ，从而得函数 的周期 ，
又 ，令 可得 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 55对于A， ，故A不正确；
对于B，
，
所以函数 为偶函数，B正确；
对于C，当 时， ，有 ，则 ，
当 时， ， ， ，所以 ，
所以当 时， 的取值范围为 ，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数 、 的部分图象，如图：
方程 的实根，即是函数 与 的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数 与 的图象有 个交点，因此方程 仅有 个不同实数解，
D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数 的图象，观察与 轴公共点个数或者将函数
变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
14．（2023春·浙江宁波·高二校联考期末）（多选）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
的图象关于点 中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 56C． ， D． ，
【答案】BCD
【分析】根据 是偶函数可得函数 关于直线 对称，由 的图象关于点 中心对称
可得 关于点 成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A，再由函数的周期求出 判
断B，由周期性及对称性可判断C，由以上分析利用 求解可判断D.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，可得 ，
故 关于直线 对称，
因为 的图象关于点 中心对称，所以 关于点 成中心对称，
所以 ，
又由 可得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
两式相减可得 ，即 ，所以 ，故A错误；
由周期 ， ，又 ，所以 ，即 ，故B正确；
由周期 ， ， ，由 可得， ， ，故C
正确；
由上述分析可知 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：当函数满足 时，函数 关于直线 对称，
学科网（北京）股份有限公司 57当函数满足 时，函数关于点 成中心对称.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，对任意实数 有 ，若函
数 的图象关于直线 对称， ，则 ．
【答案】0
【分析】由函数 的图象关于直线 对称，可得 为偶函数，再由 可得函数
的周期为8，然后利用周期结合已知可求得答案.
【详解】由函数 的图象关于直线 对称可知，
函数 的图象关于 轴对称，故 为偶函数．
由 ，得 ，
所以 是周期 的偶函数，
所以 ，
故答案为：0
16．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数 及其导函数 定义域均为R，记函数
，若函数 的图象关于点 中心对称， 为偶函数，且 则
.
【答案】678
【分析】由 的图象关于点 中心对称结合导数可知 ，再结合 为偶
函数可知 的一个周期为3， .又注意到 即可得答案.
学科网（北京）股份有限公司 58【详解】因 的图象关于点 中心对称，则
.
因 为偶函数，根据函数的伸缩变化可知 也是偶函数，
所以 .
则 ，即 的一个周期为3.令 ，由 可得 .
注意到 ，则
.
故答案为：678
17．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，
若 ， 都为偶函数，则 ．
【答案】2525
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数 的图象关于点 对称以及关于点 对称，即可依次求得
的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】因为 为偶函数，则 ，即 ，
则 ，即 ，
故 的图象关于点 对称，且 ；
又 为偶函数，则 ，
则 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 59故 的图象关于点 对称，且 ，
又将 代入 得 ，则 ；
令 ，由 可得 ，则 ；
同理可得 ，则 ； ，则 ，
由此可得 组成了以0为首项， 为公差的等差数列，
故 ，
故答案为：2525
学科网（北京）股份有限公司 60
