文档内容
专题突破卷 09 解三角形中三角形面积和周长（边）
的最值（范围）问题
题型一：三角形面积的最值
1．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，已知
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
2．已知 中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；
(1)若满足 ，求证： ．(2)若在 中， ；
①BC边上的中线 ，求 的面积的最大值．
②如图所示 为等边三角形， ，求当c为多少时，DE取得最大值 ．
3．在凸四边形 中，已知
(1)若 ，求 的值；
(2)求四边形 面积 的最大值.
4．已知函数 的最大值是4，函数 图象的
一条对称轴是 ，一个对称中心是 ．
(1)求 的解析式；
(2)已知 中， 是锐角，且 ， 边长为3，求 的面积的最大值．
5．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 的外接圆半径为1，求边长b的值；
(3)若 ，求 的面积的最大值．
6．已知 的内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 最大，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！．
(1)求 ；
(2)若 边上的高为4，求 面积的最小值．
7．在 中， 分别是角 的对边， ．
(1)求角 的大小及 外接圆的半径 的值；
(2)若 是 的内角平分线，当 面积最大时，求 的长．
8．在 中，已知 ， ， ， 为线段BC上一个动点．
(1)若AD为 的角平分线，求线段AD的长；
(2)将 折起到 的位置，记二面角 的大小为 ．
（i）若 ，且AD为 的角平分线，求三棱锥 外接球的面积；
（ii）若 ，求三棱锥 外接球的面积最小值．
9．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，其面积记为 ，且满足
(1)求角 ；
(2) 为 边上一点， ，且 求 的最小值.
(3)圆 是 外接圆， 是圆 外一点， ， 分别切圆 于点 ， ，若 ，
求 的最小值.
10．如图，在平面内，四边形 满足 ， 点在 的两侧， ， ，
为正三角形，设 .(1)当 时，求 ；
(2)当 变化时，求四边形 面积的最大值.
题型二：三角形面积的取值范围
11．在① ；②； ③ ；这三个
条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中 为 的面积）．
问题：在 中，角 的对边分别为 ，满足：__________．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围．
12．请在①向量 ， ，且 ；②
这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_________．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13．已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 ，
，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值；
(3)若 ，求 的周长的取值范围.
14．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围.
15．已知 中，角 的对边分别为 ， .
(1) 是边 上的中线， ，且 ，求 的长度.
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
16．如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域 为书籍摆放区，沿
着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域 为阅读区，
， m.
(1)求两区域边界 的长度；
(2)区域 为锐角三角形.①若 ，求 面积的最大值；
②若 ，求 面积的取值范围.
17．已知 ， ， 分别为 三个内角A， ， 的对边， ．
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
18．从① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个
条件分别作答，按第一个解答计分．
(1)求角C的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围；
(3)若 ， 的内心为I，求 周长的取值范围．
19．记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.
20． 的内角 的对边分别为 已知 .
(1)若 的周长等于3，求 ；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)若 为锐角三角形，且 ；
①求 ；
②求 面积的取值范围.
题型三： 三角形周长的最值
21．在 中，内角 所对的边分别为 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 周长的最小值.
22．如图，在 中， ．
(1)求 的长；
(2)已知点D在平面 内，且 ，求四边形 的周长的最大值．
23．在① ，② ，③ ，这三个
条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________.
(1)求角B；
(2)若 ，求 周长的最小值.24．已知 中，角 所对的边分别是 ，其中， ．
(1)求 的外接圆半径；
(2)求 周长的最大值．
25．在 中， 为角 对应的边， 为 的面积.且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径的最大值.
26．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_______.从条件①、条件
②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
条件①： ；条件②： .
27．在锐角 中，已知 ．
(1)求 ；
(2)求 周长的最大值．
28．在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)点 是 上的一点， ，且 ，求 周长的最小值.
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29．定义函数 的“源向量”为 ，非零向量
的“伴随函数”为 ，其中 为坐标原点.
(1)若向量 的“伴随函数”为 ，求向量 ；
(2)在 中，角 的对边分别为 ，若函数 的“源向量”为
，且已知 ， ；
（ⅰ）求 周长的最大值；
（ⅱ）求 的最大值.
30．在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
题型四：三角形周长的取值范围
31．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
32．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ， ，求 周长的取值范围.33．在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
34．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B；
(2)若 为锐角三角形， ，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
35．锐角 中角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
36．在 中，角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，且 ．
(1)若 ，求 的大小．
(2)若 ，求 的取值范围．
37．已知 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足 .请
回答下列问题:
(1)证明: 为等腰三角形;
(2)若 的外接圆直径为1，试求 周长的取值范围.
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ．
(1)求内角 的大小；
(2)角 的平分线 与边 交于点 ， ，若 ，求边 的值；
(3)若 ，求 的周长的取值范围．
39．已知 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， 为 的中点，求中线 的取值范围.
40．如图，已知 是边长为 的正三角形，点 在边 上，且 ，点 为线
段 上一点.
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求 的最小值；
(3)求 周长的取值范围.
1．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求B；(2)若 外接圆的周长为 ，求 周长的取值范围.
2．如图，在平面四边形 中，
(1)若 与 交于点 ，且 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
3．如图，在 中， ， ， ，P为 内一点，
．
(1)若 ，求PA；
(2)（i）若 ，求 ．
（ii）求 的取值范围．
4．在① ；② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的横
线上，并加以解答，在 ，角 的对边分别是 ，边长 ， 为 的
面积，若______（填条件序号）
(1)求角 的大小；
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)若 为 内一点且 ，求 长度最大值；
(3)若 为锐角三角形，求 的内切圆半径的取值范围.
5．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)若 ， ， 成等差数列，求 的面积；
(2)若 ， ， 成等比数列，求当 取得最大值时， 的周长．
6．已知 、 、 分别为 内角 的对边，已知 且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的值；
(3)求 周长的取值范围．
7．如图，在平面四边形 中， ， ， ， .
(1)证明： ；
(2)求 面积的最大值；
(3)设 为线段 的中点，求 的最大值.
8．在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．9．已知在 ，角 所对的边分别是 ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
10．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值.
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
