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《简单的轴对称图形》典型例题
例1 如图， 中， ，D是AC上一点，且 ，求 的度
数.
例2 如图，在 中， 的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若
，求 的度数和CD的长．
例 3 如图，已知：D，E是 的 BC边上的两点，并且
. 求 的度数.
例4 已知：如图，D、E分别为等边 的边BC、AC上的点，且 ，BE、
AD相交于点F. 求证： .
1 / 5例5 如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、
BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m．
（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
在图中作出该处，并说明理由；
（2）最短路程是多少？
2 / 5参考答案
例1 分析：题中只给出了一些相等的线段，要求 的度数，首先要把三角
形中的边相等转化为角相等： ，可
见，在 中， . 由内角和定理可求出 ，
解： 因为 ，
所以 ， .
所以 .
设 ，则 ， .
在 中，
解得 . 所以 .
说明：在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三
角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形
内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决.
例2 分析：由 ， 可知 ，又知D是AB垂直平
分线上的点，所以有 ，从而求出 ，由 ，
所以有 ．
解：因D是线段AB垂直平分线上的点．
所以 ，所以 ，所以
又因为 ，所以 ．
故 ．
说明：在这个题中应用了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角分线
的性质．
例3 分析：由 可知三角形ADE是等边三角形，而 和
是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数.
解：∵ ，（已知）
∴ 是等边三角形. ∴
又∵ ，∴ .
而 ，∴ .
3 / 5同理可得 ，∴
说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形
中的两个底角相等，找出相应的一些角的关系，利用三角形内角和定理，进一步
求出有关角的度数.
例4 分析：要证 ，而等边 的每个内角都等于 ，所以只
要 证 明 它 与 的 一 个 内 角 相 等 ， 又 由 ， 而
，所以只要证明 .
解： 因为 为等边三角形（已知），所以 ， .
在 和 中，
所以 ，所以 .
因为 （外角定理）
所以 .
说明：本题亦可证明 .
等边三角形的每个内角都等于 ，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解
题时要注意.
例5 解：（1）已知：直线CD和CD同侧两点A、B．
求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．
作法：①作点A关于CD的对称点A' ，
②连结A'B交CD于点M，
则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点M'，连结AM'、A'M' 、BM'、AM，
∵ 直线CD是A、A' 的对称轴，M、M'在CD上，
∴ AM＝AM' ，AM'＝A'M'，∴ AM＋BM＝A'M＋BM＝A'B，
在△A′M′B中，∵ A'M' ＋BM' >A'B，
∴ A'M'＋BM'>AM＋BM，（三角形两边之和大于第三边）
即AM＋BM最小．
（2）由（1）可得：AM ＝A'M，A'C＝AC＝BD，
∴ △A'CM≌△BDM，∴ A'M＝BM，CM＝DM，
即M为CD的中点，且A'B＝2AM，（三角形全等的理由是什么？）
∵ AM＝500m，∴ A'B＝AM＋BM＝2AM＝1000m．
4 / 5答：最短路程为1000m．
说明：误区①，作AC⊥CD，连结BC，C点即为所求，即AC＋CB为最短；误区②，
在CD上找一点M，使AM⊥BM，则AM＋BM为最短；误区③，作BD⊥CD，连结AD，则
AD＋BD为最短．以上所有作法都是错误的．本题主要考查的是几何问题的实际应
用，关键是充分利用轴对称图形的性质，轴对称的概念与性质在解决某些计算、
作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一．
在解决几何知识的实际应用问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际
问题的理论依据，巧妙地建立相应的数学模型．
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