文档内容
专题 13 因式分解（5 个知识点 7 种题型 3 个易错点 4 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.因式分解
知识点2提公因式法（重点）
知识点3.平方差公式法（重点）
知识点4.完全平方公式法（重点）
知识点5.
x2 +(p+q)x+pq
型式的因式分解（拓展）
【方法二】 实例探索法
题型1.因式分解
题型2.利用因式分解进行简便计算
题型3.利用因式分解求代数式的值
题型4.利用因式分解解决整除问题
题型5.拼图问题中的因式分解
题型6.因式分解的实际应用
题型7.因式分解在解三角形问题中的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.用提公因式法分解因式时易出现漏项、丢系数或符号错误
易错点2.分解因式不彻底
易错点3.走回头路
【方法四】 仿真实战法
考法1.提公因式法分解因式
考法2.平方差公式法分解因式
考法3.提公因式法与平方差公式法分解因式的综合应用
考法4.提公因式法与完全平方公式法分解因式的综合应用【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是方向相反的变形。
2. 掌握提公因式法和公式法这两种因式分解的基本方法。
3. 能熟练地用提公因式法或公式法进行多项式的因式分解。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.因式分解
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也
叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
【例1】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2提公因式法（重点）1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．
2、提取公因式法：多项式 各项都含有公因式 ，可把公因式 提到外面，
将多项式 写成 与 的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
3、提取公因式的步骤：
（1）找出多项式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成 与 的乘积形式．
4、提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净；
（2）视“多”为“一”；
（3）切勿漏1；
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；
（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
【例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）多项式 的公因式是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】指出下列各式中的公因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式2】分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．【变式3】分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
知识点3.平方差公式法（重点）
平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；
（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；
（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
【例3】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）下列式子为多项式 的因式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点4.完全平方公式法（重点）
完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2
运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；
（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项
的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的 2 倍；
（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二
项的符号相同；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
【例4】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）下列各项中，能用完全平方公式分解的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点5.
x2 +(p+q)x+pq
型式的因式分解（拓展）1、二次三项式：
2 2
多项式ax bx c ，称为字母 x 的二次三项式，其中ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．
2、十字相乘法的依据
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则． 如在
2
多项式乘法中有： (x a)(x b) x (a b)x ab ，
2
反过来可得： x (a b)x ab (x a)(x b) ．
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【例5】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）代数式 分解因式
的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【方法二】实例探索法
题型1.因式分解
1．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确
的是（ ）
A．B．
C．
D．
题型2.利用因式分解进行简便计算
2.小淇将 展开后得到 ；小尧将 展开后得到 ，若两
人计算过程无误，则 的值为（ ）
A． B．4043 C． D．1
题型3.利用因式分解求代数式的值
3.已知 x2 x 2016，y2 y 2016 且 x y ，求 x2 2xy y2 的值
题型4.利用因式分解解决整除问题
4．利用因式分解可以知道， 能够被（ ）整除.
A．18 B．28 C．36 D．64
题型5.拼图问题中的因式分解
5．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅探索了整式
乘法与因式分解之间的内在联系，还学会了利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论，感受了数
形结合的思想方法．
(1)观察下面图①的拼图，写出一个表示相等关系的式子： ．
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的等式为 ．
(3)两个边长分别为 ， ， 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼成图③，试用不同的方
法计算这个图形的面积．你能发现 ， ， 之间具有的相等关系为 ．（用最简形式表示）
题型6.因式分解的实际应用6.【学习材料】十字相乘法
对于形如 的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把 项系数a分解成两个因数 ， 的
积，即 ，把 项系数c分解成两个因数 ， 的积，即 ，并使 正好等于xy项
的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中 ， ，而 ，
而对于形如 的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图
2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果
， ， ；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原
式
例：分解因式：
解：如图3，其中 ， ， ，而 ， ， ，
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得 ，则 ______ ， ______ ．
(2)分解因式： ______ ；______ ；
(3)若 且 ，求代数式 的值．
题型7.因式分解在解三角形问题中的应用
7.课堂上老师指出：若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形
状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小
明的猜想和理由．
因式分解的应用．
【方法三】差异对比法
易错点1.用提公因式法分解因式时易出现漏项、丢系数或符号错误
1.把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
2.把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ．易错点2.分解因式不彻底
3.分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
易错点3.走回头路
4．（2023上·云南昆明·八年级云南师范大学实验中学校考期中）分解因式：
(1) (2)
【方法四】 仿真实战法
考法1.提公因式法分解因式
1．（2023·海南·统考中考真题）因式分解： ．
考法2.平方差公式法分解因式
2．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）因式分解： ．
考法3.提公因式法与平方差公式法分解因式的综合应用
3.分解因式
（1） ； （2） ； （3） ．考法4.提公因式法与完全平方公式法分解因式的综合应用
4．分解因式 ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·山东东营·八年级校考期中）实数a，b满足 ， ，则 的值是
（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）若多项式 可以用平方差公式分解因式，则
的值可以为（ ）
A．6 B． C．9 D．
4．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）已知 ，则当 时，d的值为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）已知 ，则
的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
6．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）将多项式 进行因式分解得到 ，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．
8．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的
是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列各式不是 因式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）用提公因式法分解因式时，从多项式 中提出
的公因式为 ．
12．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）若 ， ，则 的值是 ．
13．（2023上·上海杨浦·八年级统考期中）在实数范围内因式分解： ．
14．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知 ，那么多项式 的值是 ．
15．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）因式分解： ．
16．（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）已知 ， 则 的值是 ．
17．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）已知正方形的面积是，则正方形的边长是 ．
18．（2023上·山东济南·八年级校考期中）分解因式： ．
三、解答题
19．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）因式分解下列各题：
(1) ．
(2) ．
20．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）（1）因式分解： ；
（2）利用因式分解计算： ．
21．（2023上·四川内江·八年级校考期中）分解因式
(1)(2)
22．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）分解因式：
(1) ；
(2) ．
23．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）分解因式：
(1)
(2)
24．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)(4) （十字相乘法）
25．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）因式分解
(1)
(2)
26．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正
整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为 ，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？
第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来： ， ， ， ，
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为 ， ，其中 ，且 为整数．
则 ．
(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都 是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；
(2)继续探究，他们发现 ， ，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想： ，且
为整数）均为智慧数请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．
