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专题04 整式的乘法与因式分解110道计算题专项训练（11大题型）
题型一 同底数幂的乘法计算
题型二 幂的乘方与积的乘方计算
题型三 同底数幂的除法计算
题型四 整式的乘法计算
题型五 多项式乘法的化简求值
题型六 已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型七 乘法公式计算
题型八 “知二求三”型计算
题型九 利用公式法进行因式分解
题型十 十字相乘法
题型十一 分组分解法
【经典例题一 同底数幂的乘法计算】
1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算： （结果写成幂的形式）
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将原式变形为 ，把 看作整体，
根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可．
【详解】解：
．
2．（23-24八年级上·吉林·期中）计算： ．
【答案】【分析】此题考查了同底数幂的乘法，利用法则计算即可．
【详解】解：
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）已知 ，求x的值．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用幂的乘方的法则进行整理，即可得到关于 的方程，解方程
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
4．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知： ，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查的是同底数幂乘法运算，牢记法则是解题关键，根据同底数幂相乘的法则直接计算即可．
【详解】解： ，
因为 ，
所以 ．
5．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算；
（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算；（2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法和整式的减法运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和整式的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）．
7．（2024七年级下·全国·专题练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，先把底数化为同底数幂，再计算乘法，最后合
并同类项即可．
【详解】解：
．
8．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知 ，求 的值；
（2）若 ，求a的值．
【答案】（1）24；（2）
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）由 ，再代入数据计算即可；
（2）由 ，再建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．（3）
．
（4）
（5）
．
10．（23-24七年级下·全国·假期作业）规定 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)243
(2)1
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）根据定义新运算可得 ，然后进行计算即可解答．
（2）根据定义新运算可得 ，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）因为 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，则 ，
解得 ．【经典例题二 幂的乘方与积的乘方计算】
11．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法
则计算，然后合并同类项即可．
【详解】解：
．
12．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知 ，求
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)241
(2)5400
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算：
（1）根据幂的乘方计算法则求出 ，再代值计算即可；
（2）根据 进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ．
13．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指
数的变化，不能出错．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果；
（2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，是解题
的关键．
先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
【详解】解：15．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘算，解题的关键是掌握相应的运算法则；
（1）利用同底数幂的乘法及积的乘方即可计算；
（2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方即可计算求解．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，然后合并即可；
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式 ．17．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查整式的加减运算，先根据符号的化简法则将原式化简，然后进行同底数幂的乘法运算，
最后进行合并．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
．
18．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握各个运算法则；
（1）根据同底数幂相乘、幂的乘方法则可进行求解；
（2）根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘可进行求解；
（3）根据积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项可进行求解；
（4）将 和 看作整体，根据幂的乘方法则可进行求解．【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
（1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
20．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【经典例题三 同底数幂的除法计算】
21．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂乘法和除法，最后
合并同类项即可得到答案．
【详解】解：原式
．
22．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
23．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知 ，求 的值．
【答案】15
【分析】本题主要考查求代数式的值，幂的混合运算，根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法法则将
原式化简，再将 代入即可解答．
【详解】解：原式
，
∵ ，
∴原式
．
24．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法除法，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．
根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂乘法除法法则，结合题意，得出 ，再根据指数相等列式求解
即可．
【详解】解：∵，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
25．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果 ，求x的值；
(2)如果 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除
法混合计算；
（1）先根据幂的乘方的逆运算法则得到 ，进而根据同底数幂乘法的逆运算和同底数幂除法
的逆运算法则得到 ，则 ，解方程即可得到答案；
（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到 ，则 ，进而得到 ，据
此根据题意求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
26．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求t的值．
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查同底数幂的除法和乘法运算和整式的加减运算，
（1）根据同底数幂除法的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据同底数幂乘法和整式的加减运算法则进行化简，得到一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1） ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
27．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知 ，(1)求 和 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则．
（1）由已知等式利用幂的运算法则得出 、 ，据此可得答案；
（2）将 、 的值代入 计算可得
【详解】（1）解： ， ，
， ，
则 ， ；
（2）当 ， 时，
．
28．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知 ．
①求 和 的值．
②求 的值．
（2）若 ．请用含x的代数式表示y．
【答案】（1）① ， ；②20；（2）
【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）①由 可得 ，再进一步计算可得答案；②由 可得 ，结合
，再进一步计算可得答案；
（2）由 ，可得 ， ，再进一步计算可得答案．
【详解】解：（1）①∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴
，
29．（2024七年级下·江苏·专题练习）求等式中 的值： ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂除法，掌握幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂
除法法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂除法法则将等式左右两边都化成底数为
3的幂的形式，进而得出关于 的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，，
，
．
30．（2024七年级下·江苏·专题练习）小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则
如果反过来写，式子可以表达为： ； ； ，可以起到简化计算的作用．
(1)在括号里填空： ； ； ．
(2)已知： ， ．
①求 的值；
②求 的值．
【答案】(1) ；
(2)①18；②4．
【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则
是解题的关键．
（1）利用同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答；
（2）①利用同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
②利用同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
故答案为： ．
（2）解：① ， ，
；
② ， ，
．【经典例题四 整式的乘法计算】
31．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，解题的关键是
掌握以上运算法则．
（1）首先计算积的乘方，然后计算同底数幂的乘法，然后合并即可；
（2）首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
32．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
33．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的运算：
（1）根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可；
（2）先进行多项式乘以多项式的运算，去括号后，合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
34．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．35．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查求代数式的值，多项式乘多项式，单项式乘多项式，
（1）根据已知得 ，再将 化简，再整体代入即可；
（2）根据已知得 ， ，然后整体代入即可；
整体代入法的灵活运用是解题的关键．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的值为 ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴
，
∴ 的值为 ．36．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可得解；
（2）先乘方，再计算单项式乘以多项式即可得出答案；
（3）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解；
（4）利用多项式乘以多项式、单项式乘单项式的运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
37．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（ ）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可；
本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
．
38．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，熟练掌握整式的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
（1）先计算单项式乘以多项式和同底数幂的除法，再合并同类项，即得答案；
（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，即得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
39．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ， ．求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键．
（1）代入代数式，去括号，然后合并同类项，即可求解；
（2）代入代数式，利用多项式乘多项式去括号，然后合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
40．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式．
（1）根据单项式乘单项式、积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解；
（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【经典例题五 多项式乘法的化简求值】
41．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中x=1
（2）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；
【分析】本题考查整式的化简求值：
（1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案；
（2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案；
【详解】解：（1）原式
，
当x=1时，
原式
；
（2）原式
，
当 ， 时，
∴原式 ，
．
42．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．先根据
多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的乘法法则进行化简，然后代值求解即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
43．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，6
(2) ，
【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解
答本题的关键．
（1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把 代入计算；
（2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把 代入计算．
【详解】（1）解：
，
当 ， 时，
原式 ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
44．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，其中．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据
，求出 ， ，最后将 ， 的值代入化简后的式子即可求解．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ， ，
∴原式
．
45．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了整式的乘法的混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键．
根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式．
46．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后把
代入计算即可．
【详解】解：
；
当 时，
原式 ．
47．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，8
【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本
题的关键．
利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
48．（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值： ，
其中x、y满足 ．【答案】 ，
【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的
逆运算法则，解题的关键是熟悉多项式的运算法则．根据完全平方公式，平方差公式及多项式的除法则运
算化简，再利用幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则求出 整体代入
即可求解．
【详解】解：原式
，
，即 ，
，
当 时，原式 ．
49．（23-24八年级上·河南周口·期末）化简求值∶
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，20
(2) ，
【分析】本题主要考查了整式的混合运算的化简求值：
（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先根据多项式除以单项式和平方差公式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当 时，原式 ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
50．（23-24八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值 ，其中
．
【答案】化简得： ，求值得：
【分析】本题考查整式的混合运算之化简求值，根据完全平方公式、平方差公式将括号内的式子展开，再
根据多项式除以单项式的方法化简，然后将 的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解∶原式
当 时，原式 ．
【经典例题六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】51．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式 与 相乘的积不含x的二
次项和三次项，求 ．
【答案】
【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则
先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的四处为0，求出 的值，代
入 利用有理数乘方运算法则计算即可．
【详解】解：
，
关于x的整式 与 相乘的积不含x的二次项和三次项，
，
，则 ，
．
52．（24-25八年级上·广东广州·期中）若 的结果中不含 项，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式法则运算
，然后令 项系数等于 ，再解方程即可，掌握多项
式乘以多项式运算法则是解题的关键．
【详解】解：由 ，
∵ 的结果中不含 项，
∴ ，
解得 ．∴ 的值为 ．
53．（24-25七年级上·上海·期中）若 的展开式中不含 的二次项和一次项，求 、 的
值．
【答案】 ，
【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果合并同类项，
根据“ 的展开式中不含 的二次项和一次项”建立方程，即可求解．解题的关键是明
确：不含 的二次项和一次项，则二次项的系数和一次项的系数都为 ．
【详解】解：
，
∵ 的展开式中不含 的二次项和一次项，
∴ ， ，
∴ ， ．
54．（24-25八年级上·全国·期中）若 的积中不含 和 项．
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含 和 项，求出 与 的值，
（1）将 与 的值代入计算即可求出值；
（2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：
，
∵ 的积中不含 和 项，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：
当 ， 时，原式
．
55．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果代数式 与 的积的展开式中不含有 和
项，求 和 的值．
【答案】 的值为 和 的值为 ．
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，直接利用多项式乘法运算法则化简进而得出 和 项的系数为
零进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：
∵积的展开式中不含有 和 项，
∴ ，解得： ，
∴ 的值为 和 的值为 ．
56．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知多项式 ， ， 与 的乘积中不含有
项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题考查整式的四则混合运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是解题的关
键．
（1）先计算 与 的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有 项和常数项为 ，列方程即可得到答案；
（2）把 ， 代入 利用整式的四则运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
与 的乘积中不含有 项，常数项是 ，
， ，
解得： ， ；
（2）由（1）知， ， ，
，，
，
，
．
57．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知多项式 与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式 ，B中x的一次项系数为0，则 ．
(2)若B为 ，求 的值．
(3)若A为关于x的二次三项式 ，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，
c的值；如果不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)可能，当 或 时，B为三次二项式
【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减．
（1）根据题意列出 ，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值；
（2）根据B为 ，可以设A为 ，根据多项式 与另一多项式A的乘积为多项式
B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得 的值；
（3）根据A为关于x的二次三项式 ，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当 时，
，当 时， ，可得b和c的值．
【详解】（1）解：根据题意可知：
，
∵B中x的一次项系数为0，
∴ ，解得 ．
故答案为： ；
（2）设A为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下：
∵A为关于x的二次多项式 ，
∴b，c不能同时为0，
∵ ．
当 时， ，
∵b不能为0，
∴只能当 ，即 时，B为三次二项式，为 ；
当 时， ．
只有当 ，即 时，B为三次二项式，为 ．
综上所述：当 或 时，B为三次二项式．
58．（24-25七年级上·上海·阶段练习）将关于 的一次二项式 与二次三项式 相乘，积中不
含二次项，且一次项系数为6．求 、 的值．
【答案】 ，
【分析】此题考查了多项式乘以多项式．由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二
次项系数为 ，一次项系数为6，即可求出 与 的值．【详解】解：
，
∵积不含 的项，一次项系数为6，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ．
59．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
【答案】(1) ，
(2)35
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含 的一次项，常数项是 可得
， ，求解即可获得答案；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将 ， 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
又∵展开式中不含 的一次项，常数项是 ，
∴ ， ，
解得 ， ；
（2）原式，
∵ ， ，
∴原式
．
60．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，完成相应的任务：
我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．
类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算．
如： ．
用如下列竖式的方法计算：
如果是多项式 乘多项式 ，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下：
（1）先把多项式 与 分别按字母 的次数从高到低排列；
（2）用多项式 中的常数项3去乘多项式 的每一项，把所得结果 写在下面，
并把次数相同的项对齐；
（3）再用多项式 中的一次项 去乘多项式 的每一项，把所得结果 写在
下面，并把次数相同的项对齐；
（4）最后把两次乘得的结果 与 相加得 ．
（5）写出结果： ．
任务一：
材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）；
A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想
任务二：
请你用列竖式方法计算： ；
任务三：
若多项式 与 相乘的结果中不含 的一次项，则 _______．【答案】任务一：B；任务二： ；任务三：
【分析】本题考查了多项式的乘法，解题关键是：掌握多项式乘多项式的运算规则．
任务一：找到两种乘法之间的共同点，是类比思想；
任务二：根据多项式乘以多项式的竖式乘法，即可求解；
任务三：根据多项式乘以多项式的竖式乘法先计算，再根据结果中不含 的一次项，即可求解．
【详解】解：任务一：根据由多项式乘以单项式的项式乘法到多项式乘以多项式的竖式乘法，是类比思想，
故选：B；
任务二：
列竖式如下：
故 ；
任务三：
列竖式如下：
，
，
∵多项式 与 相乘的结果中不含 的一次项，
∴ ，
故 ．
【经典例题七 乘法公式计算】61．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．根据平方差公式和完全
平方公式进行计算即可．
【详解】解：
．
62．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了整式混合运算，掌握完全平方公式、平方差公式及合并同类项的法则是解题关键．先
用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
63．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）计算：
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据多项式乘以多项式运算法则及平方差公式去掉括号，然后合并
同类项即可．
【详解】解：原式．
64．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、熟练掌握公式是解题的关键．先根据完全平方公式、平
方差公式进行计算，再合并即可．
【详解】解：
．
65．（24-25六年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】此题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记平方差公式，完全平方公式的法则是解本题的关键．
先计算平方差公式，完全平方公式，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
66．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，熟记乘法公式是解本题的关键；
（1）利用平方差公式与完全平方公式先计算乘法运算，再合并即可；
（2）把原式化为： ，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
67．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查积的乘方的逆运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法
则；根据相关运算法则进行计算，即可解题．
【详解】解：．
68．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键在于熟练掌握相关运算
法则；根据相关运算法则计算各项，再合并同类项，即可解题．
【详解】解：
．
69．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行运算，将 看作整体，根据平方差公式、完
全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：
．
70．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】 ．
【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：原式．
【经典例题八 “知二求三”型计算】
71．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）已知 ，求
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）根据 ，即可解答；
（2）根据 ，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
72．（24-25六年级上·上海·期中）已知 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据完全平方公式得到 ，则可求出，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
73．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将一个边长为 的大正方形分割成四部分（两个小正方形
和两个长方形）．观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请你用两种不同的方法表示大正方形的面积，并写成一个等式；
(2)如果图中的 满足 ，求 的值．
【答案】(1)大正方形的面积可表示为 或 ，则
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的证明及应用，
（1）根据图形的面积可得 或 ；即可得出结论；
（2）根据完全平方公式的变形可得 代入即可；
【详解】（1）大正方形的面积可表示为 或 ，
则 ．（2）
．
．
74．（24-25七年级上·上海·期中）（1） 已知 ， ， 可得： ，
（2） 已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形．
（1）利用完全平方公式进行变形得到 ， 进行求解，即可解题；
（2）利用完全平方公式进行变形得到 ，结合 ，
进行求解，即可解题．
【详解】解：（1） ， ，
，
，
故答案为： ， ．
（2） ，
，
，
，
，
，
．75．（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题：
(1)已知 ， ，求 和 的值；
(2)已知 ，求 和 的值．
【答案】(1) ，
(2) ， ．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值：
（1）根据 ， 进行求解即可；
（2）先证明 ，再求出 ，进而得到 ，则可得到 ，据此可得
，则 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
；
（2）解：当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
∴ ，
∴ ．
76．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知 ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)37
(2)
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，平方根以及完全平方公式的应用．
（1）将 变形为 ，将 ，代入求解即可．
（2）先求出 ，再求 的平方根即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
77．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了代数式求值，通过对完全平方公式变形求值，整式的加减运算等知识点，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值是解题的关键．
（1）利用完全平方公式将原式变形为 ，然后将 ， 代入计算即可；
（2）利用完全平方公式将 ， 展开，两式相减即可求得．
【详解】解：（1） ， ，
；
（2） ， ，
∴ ，
两式相减得： ，
．
78．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ， ．求代数式下列代数式的值：①
② ．
【答案】①11；②
【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，掌握完全平方公式及其变形形式是解题的关键．
①由完全平方公式得 ，整体代入即可求解；
②先求出 ，再开方即可．
【详解】解：①∵ ，
∴ ；
② ，∴ ．
79．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和
的完全平方公式 ，能够在三个代数式 中，当已知其中任意两个代数式
的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知 ，求 的值．
解：将 两边同时平方，得 ，
即 ，
因为 ，
等量代换，得 ，
所以 ．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)已知 ，求 的值．
(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若 ，求图中阴影部分的面积．
(3)若 ，则 的值为 ．
【答案】(1)8
(2)22
(3)13
【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关
键．
（1）根据完全平方公式变形，再将 代入即可求解；
（2）根据题意得出图中阴影部分的面积 ，再根据完全平方公式变形求出 ，即可求解．
（3）令 ，表示出 ， ，根据
计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
（2）解：根据题意可得：
图中阴影部分的面积 ．
根据题意，得 ，
即 ，
∵ ，
，
即 ．
∴图中阴影部分的面积 ．
（3）解：令 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为：13．
80．（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知 ，求下列各式的值：
①
②
【答案】①13；②7【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方和公式，根据题意熟练运用完全平方公式恒等变形求值是解
决问题的关键．①根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案；②根据①中
，再代入 即可得到答案．
【详解】解：① ，
当 时，原式
；
② ， ，
．
【经典例题九 利用公式法进行因式分解】
81．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了因式分解．
（1）先提公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可．
（2）利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
82．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【答案】
【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．先提取
公因式 ，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
83．（24-25八年级上·吉林长春·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ;
(2)
【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进
行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）直接利用提公因式法因式分解即可；
（2）先提公因式2，再根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
．
84．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：（2）分解因式：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式 ，再利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
85．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）分解因式
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了综合提公因式和公式法分解因式，综合运用公式法分解因式等知识点，熟练掌握
分解因式的各种方法是解题的关键．
（1）先提取公因式 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）对原式略作变形，将 写成 ，然后利用平方差公式分解因式，最后再分别对前后两部分用
完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
86．（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的
关键．
（1）先提取公因式 ，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式 ，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：87．（24-25八年级上·吉林长春·期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键．
（1）用提取公因式的方法因式分解即可；
（2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
88．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）分解因式∶
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．（1）利用平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
89．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
．
90．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分解因式：（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先分组得到 ，再提取公因式 分解因式即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【经典例题十 十字相乘法】
91．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：【答案】
【分析】先把二次三项式 利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关
键．
【详解】解：
．
92．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化
为 ， 化为 ，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
93．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键．
先把原式展开化简，然后再运用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
，．
94．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为
，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可．
【详解】解：
．
95．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．令 ，将原式变
为 ，然后将 代入再分解因式即可．
【详解】解：令 则原式变为：，
∴原式
．
96．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先把 看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再继续利用十字
相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
97．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，注意因式分解要分解到再也不能分解为止；先用十字相乘法分
解，再对每个二次三项式用十字相乘法与完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：原式
．
98．（23-24七年级下·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答
问题：
① ；
② ；
③ ；④ ．
(1)请用一个式子表示你观察到的规律： ____________．
(2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式：
① ；
② ．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键．
（1）通过观察分析总结出规律 即可；
（2）利用（1）总结的规律求解即可．
【详解】（1）解：
答案为： ．
（2）解：①
；
②
．
99．（22-23七年级下·湖南怀化·期中）提出问题：你能把多项式 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设 ， 为常数，由面积相等可得：
，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即 ．观察多项式 的特征是二次
项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
① ；② ；③ ．
(2)知识迁移：对于多项式 进行因式分解还可以这样思考：将二次项 分解成图2中的两个
的积，再将常数项 分解成 与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 ，就是 的
一次项，所以有 ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘
法进行因式分解：
【答案】(1)① ；② ；③
(2)
【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
（1）把 拆成 即可；把 拆成 即可；把 拆成 即可；
（2）把 拆成 ，把 拆成 即可．
【详解】（1）解：（2）解：
100．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”
内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十
字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 一
次项系数 ，则 ．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解： ；
小亮做了如下分析：
一次项为： ，则常数项为： ；
则 __________； =_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解： ：
(3)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3) ，
【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法，
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解分解可得；
（3）找出所求满足乘积为 ，相加为 的值即可．
【详解】（1）解：一次项为： ，则常数项为 ，则 2； 3；∴ ；
（2）解：一次项为： ，则常数项为 ，
则 ；
（3）解：若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能的值是：
； ； ； ，
即整数 的所有可能的值是： ， ．
【经典例题十一 分组分解法】
101．（2024七年级上·上海·专题练习）已知 ，求m，n的值．
【答案】m的值为 ，n的值为3
【分析】本题考查了完全平方公式，分组法因式分解，熟练掌握性质，活用公式是解题的关键．
利用完全平方公式，分组配方进行因式分解，后根据乘方的非负性计算即可．
【详解】解： ，
，
即 ，
， ，
解得： ， ，
的值为 ，n的值为3．
102．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【答案】
【分析】先把二次三项式 利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关
键．【详解】解：
．
103．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【答案】
【分析】本题主要考查的是因式分解，分组分解法及提公因式法、平方差公式是常用的因式分解法．利用
分组分解的方法进行因式分解．
【详解】解：
．
104．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若 ，则 的值是 ；
（2）分解因式：
① ；
② ；
（3）若多项式 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3） 或
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值：
（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出 的结果，进而得到 ，据此求
出a、b的值，再代值计算即可；（2）①先分组得到 ，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先
分组得到 ，再利用十字相乘法分解因式即可；
（3）设 ，则可推出 ，则 ，即
，根据 都是整数， ，得到 或 或
或 ，据此求出m、n的值，即可求出a的值．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①
；②
；
（3）∵ 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，
∴可设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵m、n都是整数，
∴ 都是整数，
∵ ，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
105．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两
部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边长 ， ， 满足 ，判断 的形状并说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（ ）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案；
（ ）直接将前两项和后两项分组，再利用提取公因式法分解因式，再求 ， ， 的关系，判断三角形的
形状；
此题考查了分组分解法分解因式，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
，
∵ 的三边长 ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
106．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：
乙：
（分成两
（分成两组）
组）
（提公因式）
（直接运用公式）
.
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式 ．
(2)若 ， ， 分别为 三边的长．
①若满足若 ，请判断 的形状，并说明理由．
②若满足 ，求c的范围．
【答案】(1)
(2)① 为等腰三角形，理由见详解；②
【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握
分组分解法分解因式是解题关键．
（1）将原式分组整理为 ，再运用完全平方公式可得 ，然后进一步分解因式
即可；
（2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为 ，结合三角形三边关系可知
，进而可得 ，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整
理为 ，根据非负数的性质解得 的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案．
【详解】（1）解：；
（2）① 为等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ， 分别为 三边的长，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 为等腰三角形；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∵ ， ， 分别为 三边的长，
∴ ，即 ，
∴ ，
即c的范围为 ．
107．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提
公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，
进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
108．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）阅读材料：要把多项式 因式分解，可以先把
它进行分组再因式分解：这种因式分解的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法因式分解： ；
(2)知a、b、c是 三边的长，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由；
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 是等边三角形， 理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定：
（1）仿照题意分为两组 ，再利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；
（2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解；
（3）把原式分组得到 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解： 是等边三角形， 理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）解：∵ ，
∴
．
109．（22-23八年级下·四川成都·期中） 义务教育数学课程标准（ 年版） 关于运算能力的解释为：
运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可
以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法 拆项补
项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分
解．
例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)分解因式： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解，看懂题例，学会拆项法及添项法是解决本题的关键．
（1）把 拆成 、 ，然后分组分解；
（2）把 拆成 、 ，然后三二分组分解；
（3）把 、 、 分别拆成 、 、 ，再两两分组分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
．
110．（23-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，则可以把
因式分解成
(1)根据材料1，把 分解因式．
(2)结合材料、完成下面小题：
①分解因式： ；
②分解因式： ．
(3)结合材料分解因式 ；
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）仿照题意分解因式即可；
（2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为 ，再仿照题意分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式把原式变形为 ，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：①∵ ，
∴ ；
②
，
∵ ，
∴
，
∴ ；
（3）解：
．
