清单04整式的乘法与因式分解（五大考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_期末专项复习-U276_2024版

清单 04 整式的乘法与因式分解（五大考点梳理+题型解读+核 心素养提升+中考聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 考点一：幂的运算 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. am·an =am+n (其中m,n都是正整数) 注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即am·an·ap =am+n+p （m，n，p都是正整数） （2）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am+n =am·an （m,n都是正整数）. 幂的乘方法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (am ) n =a mn (其中m，n都是正整数). ((am ) n ) p =a mnp 注意：（1） (m，n，p均为正整数) a mn =(am ) n =(an ) m （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方 运算能将某些幂变形，从而解决问题. 积的乘方法则： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab) n =an·bn (其中n是正整数). (abc) n =an·bncn 注意：（1） (n为正整数). an·bn =(ab) n （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 1 1 10 10 10 ( ) ×(2) =( ×2) =1 为倒数时，计算更简便.如： 2 2 . 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减， am ÷an =am−n （a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 注意：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算； （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式的底数; （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. 即：am ÷an ÷ap =am−n−p （a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p）； （4）逆用公式:am−n =am ÷an （a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 零指数幂： 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0 =1 （a≠0） 注意：底数a不能为0，00 无意义. 负整数指数幂: 1 a−n = 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的 n次幂的倒数，即 an （a≠0，n是正整数）. 注意： a−n (a≠0) 是an 的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代 1 1 (2xy) −1 = (xy≠0) (a+b)−5 = (a+b≠0) 数式.例如 2xy ， (a+b) 5 . 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂 的运算性质仍然成立。 am·an =am+n (其中m，n为整数，a≠0); (am ) n =a mn (其中m，n为整数，a≠0); (ab) n =an·bn (其中n为整数，a≠0，b≠0). 科学记数法的一般形式: （1）把一个绝对值大于10的数表示成a×10n 的形式，其中n是正整数， 1≤|a|≺10 （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a×10−n 的形式，其中 是正整数， 1≤|a|≺10 . 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 幂的运算总结： （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式； （2）同底数幂的乘法或除法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数没写就为1，计算 时不要遗漏； （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加；（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方； （5）灵活地逆用公式，使运算更加方便、简洁； （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯。 【例1】（2022·黑龙江·大庆市第三中学八年级期末）计算： (1) ； (2) ； (3)已知 ，求代数式 的值． (4)化简求值： ，其中 考点二：整式的乘法 整式的乘要用到有关幂的一些运算法则 单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数 不变，作为积的一个因式。 1 1 2 2xy2 ⋅ xy=(2× )⋅(x⋅x)⋅(y2 ⋅y)= x2 y3 如： 3 3 3 注意：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用； （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的 系数交换到一起进行有理数的乘法计算，一定要先确定符号；相同字母相乘，是 同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算； （3）结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成; （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则： 单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，要注意每项的符号。如：−m(a−b+c)=−ma+mb−mc .(单项式为-m,分别去乘多项式+a，-b，+c) 注意：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项 式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结 果. 多项式与多项式相乘的运算法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，要注意每项 的符号。 (−2m−1)(3m−2)=−6m2 +4m−3m+2=−6m2 +m+2 如： （前一个多项式的每一项-2m，-1，分别去乘后面一个多项式的每项3m，-2） 注意：多项式与多项式相乘，仍得多项式，多项式与多项式相乘的最后结果需化简，需要合 并同类项。 【例2】（2022·河南鹤壁·八年级期末）（1）计算 ① ； ② ； ③ ； ④ ． （2）根据（1）中的计算，你发现了什么规律？用字母表示出来． （3）根据（2）中的结论，直接写出下题的结果： ① __________； ②若 ，则 ____________． 【变式1】（2022·河北承德·八年级期末）已知 ， ．(1)对A，B分别进行整式乘法运算； (2)甲乙两位同学用框图的方法比较A，B的大小．甲认为：A大于B；乙认为：A不小于B，通过计算判断 谁的说法正确． 【变式2】（2022·四川宜宾·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 观察下列各计算题： 26×682＝286×62 34×473＝374×43 52×275＝572×25 15×561＝165×51 …… 以上每个等式都非常巧妙，左边是一个两位数乘以三位数，等式两边的数字之间具有特殊性，一边的数字 也有特殊性，且数字关于等号成对称分布，我们把满足这种条件的等式称为“对称积等式”． (1)解决问题：填空，使下列各式成为“对称积等式”：41×154＝ ×14； ×286＝682× (2)解决问题：设“对称积等式”这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b， ①写出a+b的取值范围； ②请用含a、b的代数式写出表示“对称积等式”的式子，并证明你的结论． 考点三：乘法公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； (a+b)(a−b)=a2 −b2 即 注意：(1)a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.(2)抓住平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项” 的平方减去“相反项”的平方. (a+b)(−b+a)=a2 −b2 （1）位置变化：如 (3x+5y)(3x−5y)=(3x) 2 −(5y) 2 =9x2 −25y2 （2）系数变化：如 (m3 +n2 )(m3 −n2 )=(m3 ) 2 −(n2 ) 2 =m6 −n4 （3）指数变化：如 (−a−b)(a−b)=b2 −a2 （4）符号变化：如 （相同项为b,“相反项”为a） (m+n+p)(m−n+p)=(m+p) 2 −n2 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 (a−b)(a+b)(a2 +b2 )(a4 +b4 )=(a2 −b2 )(a2 +b2 )(a4 +b4 )=(a4 −b4 )(a4 +b4 )=a8 −b8 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 注意：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2倍，常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab 2a2 +2b2 =(a+b) 2 +(a−b) 2 ab2 ab2 4ab (a−b) 2 =(a+b) 2 −4ab (a+b) 2 −(a−b) 2 ab= 4 补充公式：(x p)(xq) x2 (pq)x pq ； (ab)(a2 abb2)a3b3 ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【例3】（2022·辽宁大连·八年级期末）用等号或不等号填空，探究规律并解决问题： (1)比较a2+b2与2ab的大小： ①当a＝3，b＝3时，a2+b2 2ab； ②当a＝2，b＝ 时，a2+b2 2ab； ③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ab． (2)通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD， BEFG，连接CG，设两个正方形的面积分别为S，S，若三角形BCG的面积为1，求S+S的最小值． 1 2 1 2 【变式1】（2022·重庆黔江·八年级期末）若多项式 是完全平方式，请你写出所有满足条件的 单项式Q是_______． 【变式2】已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值．考点四：因式分解 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因 式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运 算. 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各 项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 提公因式法 m 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 m ，即 ，而 正好是 除以 所得的商， 这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时 多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项 变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这 两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 即 ， . 形如a2 2abb2 ，a2 2abb2 的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是 两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【例4】（2022·山东威海·八年级期末）【方法提取】 数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础 上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导： a3﹣b3 =a3﹣a2b+a2b﹣b3 =a2（a﹣b）+b（a2﹣b2） =a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b） =（a﹣b）[a2+b（a+b）] =（a﹣b）（a2+ab+b2）． 对于a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2），称为立方差公式． 【公式推导】 请推导立方和公式：a3+b3． 【公式应用】 请利用上面的公式进行因式分解：（直接写结果） （1） = ； （2） = ． 【变式】（2022·福建厦门·八年级期末）我们知道，任意一个正整数 n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且 ），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我 们就称 是 n的最佳分解，并规定； ，例如 12 可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是12的最佳分解，所以 ． (1)求 ； (2)如果一个正整数 只有1与m本身两个正因数，则m称为质数．若质数m满足 ，求m 的值； (3)是否存在正整数n满足 ，若存在，求n的值：若不存在，说明理由． 考点五：整式的除法 整式的除要用到有关幂的一些运算法则： 多项式除以单项式： 多项式除以单项式，把这个多项式的每一项分别除以单项式，要注意每项的符号。 (9x2 y−6xy2 )÷3xy=9x2 y÷3xy−6xy2 ÷3xy=3x−2y 如： 【例5】（2022·福建泉州·八年级期末）计算（a2＋ab）÷a的结果是（ ） A．a＋b B．a2＋b C．a＋ab D．a3＋a2b 【变式 1】（2022·贵州遵义·八年级期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水： ，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·河南南阳·八年级期末）我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项 式也可以用竖式运算，其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）． （2）用竖式进行运算． （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求 的商式和余式． 解： 答：商式是 ，余式是（ ） 我挑战：已知 能被 整除，请直接写出a、b的值． 【核心素养提升】 1.逆向思维的思想方法 1．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）已知 ，则 ＝_____． 2．（2022·山西·右玉县第三中学校八年级期末）若 ，则 ______． 2.直观想象-利用几何直观来解决问题 3．（2022·浙江台州·八年级期末）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式 非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋ b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ； ②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ； (2)【公式运用】已知： ＋x＝5，求 的值： (3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为 的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由． 3.数学运算-运用整体思想求值 4．（2022·安徽芜湖·八年级期末）计算 的值可以用换元法． （1）设 ，则 ___________（用含x的代数式表示）； （2）计算： __ ． 【中考热点聚焦】 热点1.整式的运算 1．（2023•衢州）下列运算，结果正确的是（ ） A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a2•a3＝a5 D．a÷a2＝a2．（2023•西宁）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）． 热点2.因式分解 3．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（ ） A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1） 4．（2023•赤峰）分解因式：x3﹣9x＝ ． 5．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ． 6．（2023•呼和浩特）分解因式2b3﹣4b2+2b＝ ． 7．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（ ） A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1） C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1） 8．（2023•河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 热点3.整式的化简求值 9．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣ ． 10．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝ ．