文档内容
清单 04 圆（20 个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考热
点聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．圆的认识
（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
⊙
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一
条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
【例1】．（2022秋•延吉市校级期末）如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），
过点B作OA的垂线交 O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB
⊙
的长为（ ）
⊙
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB＝ ＝ ＝6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考
题型．
【变式】．（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，
所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故
此说法正确．其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
【点评】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混
淆．
考点二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【例2】．（2022秋•临朐县期末）如图， O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝
CD，则圆心O到CD的距离是（ ）
⊙
A．2 B． C． D．
【分析】过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC、OB，根据垂径定理求出CN＝DN，AM＝BM
＝5，求出CN＝DN＝BM＝AM＝5，求出四边形ONEM是正方形，根据正方形的性质得出ON＝OM＝EM
＝5﹣3＝2即可．
【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD，
∴CD＝AB＝3+7＝10，
过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC，OB，则∠CNO＝∠BMO＝90°，
∵ON⊥CD，OM⊥AB，ON和OM斗过圆心O，
∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝5，
∵ON2＝OC2﹣CN2，OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB，
∴ON＝OM，
∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB，
∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，
∴四边形ONEM是正方形，
∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理和正方形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分
这条弦是解此题的关键．【变式】．（2022秋•锡山区校级期末）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， ，
则OA＝ ．
⊙
【分析】根据 得CD＝16，进而根据垂径定理得出CE＝8，连接OC，设OC＝OA＝r，则OE
＝r﹣4，根据勾股定理得方程解答．
【解答】解：连接OC，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣4，
∵ ，
∴CD＝16，
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，
⊙
在Rt△OCE中，根据勾股定理得，
82+（r﹣4）2＝r2，
解得r＝10，
即OA的长为10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
考点三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【例3】．（2022秋•遵义期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道
是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 O被水面截得弦AB长为4米， O半径
⊙ ⊙长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C． 米 D． 米
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝ AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝
（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝ ＝ ＝ （米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣ ）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣ ）米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式】．（2022秋•耿马县期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面 AB宽度为6米，
拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【分析】（1）连接OA，OC，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，利用勾股定
理构建方程求解即可；（2）根据勾股定理列式可得FG的长，最后由垂径定理可得结论．
【解答】解：（1）∵点D是 的中点，DC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝3，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣1）2+32，
解得R＝5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，
∴FG＝ ＝4，
∴EF＝2FG＝8，
答：此时水面的宽度为8米．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题，属于中考常考题型．
考点四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或
劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原
图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
【例4】．（2022秋•天河区校级期末）如图，已知在 O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成
立的是（ ）
⊙A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD
C． D．O到AB、CD的距离相等
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧DC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式】．（2023秋•瑞安市期末）如图， O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是 的中点，
连结CF交OB于点G，连结BC．
⊙
（1）求证：GE＝BE；
（2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到∠FCD＝∠BCD，证明△GCE≌△BCE，根据全等三角形
的性质证明即可；
（2）连接OC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵D是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠FCD＝∠BCD，
在△GCE和△BCE中，
，
∴△GCE≌△BCE（ASA），
∴GE＝BE；
（2）解：如图，连接OC，设GE＝BE＝x，则OB＝1+2x，
∵AB⊥CD，CD＝8，
∴CE＝DE＝4，
在△OCE中，OE2+CE2＝OC2，即（1+x）2+42＝（1+2x）2，
解得：x＝2（负值舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝ ＝ ＝2 ．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握
垂径定理是解题的关键．
考点五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的
关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同
一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条
弧所对的圆周角和圆心角．
【例5】．（2022秋•海珠区校级期末）如图， O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，则∠BOC的度数等于（
）
⊙
A．150° B．75° C．60° D．30°
【分析】根据AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB＝75°，根据三角形内角和等于180°可得∠BAC＝30°，再利用
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和以及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识并能灵活运用．
【变式1】．（2022秋•芝罘区期末）如图， O的弦AB、CD交于点E，若∠A＝45°，∠AED＝85°，则∠B
的度数是（ ）
⊙
A．25° B．35° C．40° D．75°
【分析】利用三角形外角的性质得到∠AED＝∠B+∠D，由圆周角定理得到∠D＝∠A＝45°，即可得到
∠B的度数．
【解答】解：∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED＝∠B+∠D，
∵∠D＝∠A＝45°，∠AED＝85°，
∴∠B＝∠AED﹣∠D＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【变式2】．（2022秋•禹州市期末）如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝50°，∠APD＝
82°，则∠B的大小是（ ）
⊙
A．32° B．42° C．48° D．52°
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠A＝50°，再根据三角形外角的性质得到∠B的大小即
可．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠D＝∠A＝50°，
∵∠APD＝82°，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝82°﹣50°＝32°．
故选：A．
【点评】此题考查了同弧所对的圆周角相等和三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解
题的关键．
【变式3】．（2022秋•海阳市期末）如图，点A，B，C均在 O上，点D是AB延长线上一点，若∠AOC
＝120°，则∠CBD的度数为（ ）
⊙A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆周角定理求出∠AEC＝60°，由圆内接四边形的性
质，可得∠ABC＝120°，根据邻补角的定义求出∠CBD的度数．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠AOC＝120°，
∴ ，
∵四边形AECB内接于 O，
∴∠ABC＝180°﹣∠AEC＝120°，
⊙
∴∠CBD＝180°﹣120°＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
考点六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．
在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【例6】．（2022秋•赣州期末）如图，四边形ABCD内接于 O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠BOD
的度数为（ ）
⊙
A．105° B．110° C．120° D．130°
【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出∠A＝∠DCE＝65°，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A+BCD＝180°，
⊙
∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE＝65°，
∴∠BOD＝2∠A＝130°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互
补；圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式】．（2023春•东城区校级期末）如图，四边形 ABCD内接于 O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数
为（ ）
⊙
A．50° B．100° C．130° D．150°
【分析】由于四边形 ABCD内接于 O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠BAD的度数，而
∠BAD、∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOD的度数．
⊙
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
⊙
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问
题的关键．
考点七．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
⊙
②点P在圆上 d＝r
⇔
①点P在圆内 d＜r
⇔
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该
⇔
点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【例7】．（2022秋•高邮市期末）已知平面直角坐标系xOy中， O的半径是10，则点P（﹣6，8）与 O
⇔ ⇔
的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法确定
【分析】首先根据勾股定理求得OP的长度，然后直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵点P的坐标是（﹣6，8），
∴由勾股定理可得OP＝ ＝10．
又∵ O半径是10，
∴点P在 O上．
⊙
故选：B．
⊙
【点评】本小题主要考查点和圆的位置关系、勾股定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查转化思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．
【变式】．（2022秋•三台县期末）如图，AB是 O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°， O的半径
为4，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ⊙长度的最大值是 ． ⊙
【分析】连接OQ，作CH⊥AB于点H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的 K，连接CK，当点
Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
⊙
【解答】解：如下图，连接OQ，作CH⊥AB于点H，
∵AQ＝QP，，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的 K， ，
连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
⊙
∵∠AOC＝120°，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝60°，
又∵CH⊥AB，
∴在Rt△OCH中，∠OCH＝90°﹣∠COB＝90°﹣60°＝30°，
∵OC＝4，
∴ ， ，
∴KH＝KO+OH＝2+2＝4，
∴在Rt△CKH中， ，
∴CQ的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理、含30°角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，解题的关键是正确
寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
考点八．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能
画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点
可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【例8】．（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，已知圆心和直径所作的圆是唯一的进行判断即可
得出答案．
【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；
B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；
C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；
D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是分类讨论．
【变式】．（2022秋•河西区期末）下列说法正确的是（ ）
A．弧长相等的两段弧是等弧
B．圆周角等于圆心角的一半
C．平分弦的直径垂直于弦
D．不在同一直线上的三个点确定一个圆
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据垂径定理对C进行判断；
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆对D判断．
【解答】解：A、能够完全重合的弧叫等弧，原说法错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，原说法错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于该弦，原说法错误，不符合题意；
D、不在同一直线上的三个点确定一个圆，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．也考查了垂径定理和确定圆的条件．
考点九．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
【例9】．（2022秋•丰都县期末）如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ACO＝55°，则∠ABC的大小为（
）
⊙A．60° B．70° C．40° D．35°
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半可得∠AOC＝70°，再根据三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠ACO＝55°，OA＝OC，
∴∠AOC＝70°，
∴∠ABC＝70°÷2＝35°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式】．（2023秋•瑞安市期末）如图，已知抛物线 交y轴于点A，交x轴于点B、C，
D经过点A、B、C，则 D的半径为 ．
⊙ ⊙
【分析】连接DA、DB，作DE⊥BC于点E，由抛物线y＝ x2﹣ x+6交y轴于点A，交x轴于点B、C，
求得A（0，6），B（2，0），C（12，0），则OB＝2，BE＝5，所以点D的横坐标为7，设D（7，
m），则DA＝DB，得（6﹣m）2+72＝52+m2，求得m＝5，则DB＝5 ，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DA、DB，作DE⊥BC于点E，则BE＝CE，
抛物线y＝ x2﹣ x+6，当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，则 x2﹣ x+6＝0，
解得x ＝2，x ＝12，
1 2
∴A（0，6），B（2，0），C（12，0），
∴OB＝2，BE＝ ×（12﹣2）＝5，
∴OE＝OB+BE＝7，
∴点D的横坐标为7，
设D（7，m），∵DA＝DB，
∴（6﹣m）2+72＝52+m2，
解得m＝5，
∴DB＝ ＝5 ，
故答案为：5 ．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、三角形的外接圆的定义、垂径定理、勾股定理等知识，
正确地求出点D的横坐标是解题的关键．
考点十．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设 O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和 O相交 d＜r
⊙
②直线l和 O相切 d＝r
⊙ ⇔
③直线l和 O相离 d＞r．
⊙ ⇔
【例10】．（2022秋•杜尔伯特县期末）平面内， O的半径为3，若直线l与 O相离，圆心O到直线l的
⊙ ⇔
距离可能为（ ）
⊙ ⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据直线l与 O相离得到直线l与圆心的距离大于半径，于是得到结论．
【解答】解：∵ O的半径为3，若直线l与 O相离，
⊙
∴圆心O到直线l的距离＞3，
⊙ ⊙
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②
当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题
的关键．
【变式】．（2022秋•新洲区期末）已知 O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与 O公共
点的个数为2个，则d可取（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】解：∵直线m与 O公共点的个数为2个，
⊙∴直线与圆相交，
∴d＜半径＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设 O的半径为r，圆心
O到直线l的距离为d．①直线l和 O相交 d＜r②直线l和 O相切 d＝r，③直线l和 O相离 d
⊙
＞r．
⊙ ⇔ ⊙ ⇔ ⊙ ⇔
考点十一．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形
解决问题．
【例11】．（2022秋•腾冲市期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以
OB为半径作圆， O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC， ，则线段CD的长
是（ ）
⊙
A．4 B． C．3 D．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入
计算即可．
【解答】解：连接OD，
∵ O与AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
⊙
∵∠A＝30°，
∴OD＝AD•tanA＝4，
∴OA＝ ＝8，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴ ，即 ，
解得，CD＝2 ，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂
直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式】．（2022秋•赣州期末）如图，PA、PB是 O的切线，A、B为切点，且∠P＝60°，若PA＝2，则
AB＝ ．
⊙
【分析】运用切线长定理可得△PAB是等边三角形，解题即可．
【解答】解：∵PA、PB是 O的切线，
∴PA＝PB，
⊙
又∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝PA＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．
考点十二．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指
出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，
作半径，证垂直”．
【例12】．（2022秋•晋州市期末）如图所示，△POM中，点M在 O上，点P在 O外，OP交 O于点
N，以下条件不能判定PM是 O的切线的是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙
A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP
C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点
【分析】根据切线的判定定理进行判断即可．【解答】解：A．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝90°，
∴∠OMP＝90°，可知PM是 O的切线，
故选项A不符合题意；
⊙
B．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝∠OMP，
∴∠OMP＝90°，可知PM是 O的切线，
故选项B不符合题意；
⊙
C．∵OM2+PM2＝OP2，
∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°，可知PM是 O的切线，
故选项C不符合题意；
⊙
D．点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判断出PM是 O的切线，
故选项D符合题意；
⊙
故选：D．
【点评】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键．
【变式】．（2022秋•咸宁期末）如图，点A是 O上一定点，点B是 O上一动点、连接OA、OB、AB、
分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有
⊙ ⊙
（ ）
①点A'在 O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′＝ ∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与 O
相切．
⊙ ⊙
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】可证得△AOA′和△ABB′是等边三角形，可推出OA′＝OA，从而得出①正确；根据“边角
边”可证得②；根据②可推出 A′B′＝OB＝AA′，进一步得出③正确；作 OC⊥B′B，可推出
∠OB′B＝30°，进而得出OB′＝2OC，结合OB′＝2OB可推出点C和点B重合，进而得出④正确，从
而得出结果．
【解答】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°，
∴△AOA′是等边三角形，
同理可得，
△ABB′是等边三角形，
①∵△AOA′是等边三角形，
∴OA′＝OA，
∴点A′在 O上，
故①正确，
⊙
∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°，∴∠OAB＝∠A′AB′，
∵OA＝AA′，AB＝AB′，
∴△OAB≌△A′AB′，
故②正确，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′＝OB，
∵OB＝OA＝AA′，
∴AA′＝A′B′，
∴∠A′AB′＝∠A′B′A，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠BAA′，
∵∠BOA′＝2∠BAA′，
∴∠BB′A′＝ ∠BOA′，
故③正确，
④如图，
过点O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，
∵OA＝OB，B′A＝B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB ＝30°，
∴OB′＝2OC，
∵OB′＝2OA＝2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴BB′是 O的切线，
故④正确，
⊙
综上所述：①②③④均正确，故选A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问
题的关键是熟练掌握有关基础知识．
考点十三．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
【例13】．（2022秋•雄县期末）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C
在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正
确的是（ ）
嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线；
淇淇：若给出直线CD是 O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积．
⊙
A．只有嘉嘉的正确
B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确
D．嘉嘉和淇淇的都正确
【分析】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接OC，证明OC⊥CD即可求解；根据切线的性
质，BC＝BD，可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度，
由此即可求解．
【解答】解：∵AB是半圆O所在圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
如图所示，连接OC，
∵OA，OC是半径，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OAC+∠OCB＝90°，
嘉嘉给出的条件是：∠DCB＝∠BAC，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CD，且点C在圆上，
∴直线CD是半圆O的切线，故嘉嘉给出的条件正确；
淇淇给出的条件：直线CD是 O的切线，且BC＝BD，如图所示，
⊙
