文档内容
2025 学年第一学期九年级期终学业质量调研
数学试卷
（时间100分钟，满分150分） 202601
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共 25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1. 下列图形中一定相似的图形是（ ）
.
A 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】A、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
B、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
C、两个等腰梯形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变
换．
2. 在 中 ， ， ．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义．直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案．
【详解】解：如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
，
，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
；故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：B．
3. 已知实数 及非零向量 ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，根据向量模的性质，标量乘法后的模等于标量的绝对值乘以向量的模．
【详解】解：A、对于任意实数 和非零向量 ，有 ，故此选项正确，符合题意；
B、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意；
C、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意；
D、选项中当 时， ，故不成立，故此选项错误，不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
4. 二次函数 的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二
次函数图象是抛物线，开口向上，通过分析当 时 ，可知图象不经过第三象限．
【详解】解： 二次函数 ，
该函数图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， ，
的
当 时， ，故所有 点均满足 ，故图象在第二象限，而不在第三象限，
该函数图象一定不经过第三象限．
故选：C．
5. 已知 是四边形 的对角线， ，下列补充的条件中，不能判定 和
相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（ ）等判
定方法．已知 ，结合各选项条件判断 与 是否相似．
【详解】解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司选项A：∵ ，且 ，∴ ，故A能判定相似，不符合题意；
选项B：∵ ，且 ，∴ ，故B能判定相似，不符合题意；
选项C：∵ ，即 ，且 ，∴ ，故C能判定相似，
不符合题意；
选项D：∵ ，即 ，但夹角 与 不一定相等，故D不能判定相似，
符合题意 ．
故选：D．
6. 学校在操场上举行庄严的升旗仪式，每个学生均站立在旗杆前方的水平地面上面向国旗行注目礼．已知
国旗的初始位置距地面高度均大于或等于每个学生的身高．如果将看向国旗的视线与水平视线所形成的夹
角定义为注视角，那么国旗从初始位置开始匀速上升至顶端的过程中，以下说法正确的是（ ）
A. 每个学生的注视角大小不变
B. 每个学生的注视角逐渐减小
C. 每个学生的注视角逐渐增大
D. 同一时刻，相同身高学生的注视角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键注视角为视线与水平线的夹角，通过正切
函数关系分析，国旗匀速上升时，高度增加导致正切值增大，从而注视角增大；选项D中，相同身高但水
平距离不同时注视角不等.
【详解】设学生眼睛高度为h，水平距离为d，国旗初始高度 ，上升速度 ，时间t后国旗高度
．
∵ ，
且 ， ， ， 、 、 、 是定值，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 随t增加而增加，
∴ 随t增加而增加，
又∵ 为锐角， 的值随着 的增大而增大，
∴ 逐渐增大，
故每个学生的注视角逐渐增大，故选项A、B说法错误，不符合题意，选项C说法正确，符合题意；
对于D，同一时刻 相同，但d可能不同，即使h相同， 也可能不等，故D说法错误，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸每个小题相应位置的方框内]
7. 如果 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，设 ， ，则 ，代入表达式求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴可设 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
8. 如果两个相似三角形的周长之比是 ，那么这两个三角形的相似比是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三
角形的周长比等于相似比直接得解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比，
周长之比为 ，
相似比为 ．
故答案为： ．
9. 在比例尺为 的图纸上，一座建筑物的高是2厘米，它的实际高度是________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例，正确掌握比例尺的定义是解题的关键．
设实际高度为x厘米，根据比例尺的定义“图上距离与实际距离的比等于比例尺”，列方程求解即可．
【详解】解：设实际高度为x厘米，
则 ，解得 ，
厘米 米．
故答案为： ．
10. 抛物线 与 轴的交点坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】令x=0，可求出抛物线与 轴的交点坐标．
【详解】解：当x=0时，y=0，
∴抛物线 与 轴的交点坐标是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与 轴的交点坐标特征：与 轴的交点的横坐标为0，与x轴的交点的纵
坐标为0．
11. 如果抛物线 有最高点，那么实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次
项系数小于零．
【详解】解：抛物线 有最高点，
因此开口向下，二次项系数 ，
解得 ．
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，则 正弦值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确构造直角三角形．
过点 作 轴于点C，利用勾股定理求解斜边，再由正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点C，
∵点 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
13. 如图，已知 ， ， ， ________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：4．
14. 小海沿着坡度为 的斜坡上行80米时，他的铅垂高度上升了________米．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据坡度比垂直高度与水平距离的比为 ，
利用勾股定理求解斜边与垂直高度的关系．
【详解】解：设铅垂高度上升了h米，则水平距离为 米．
由勾股定理，得 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
解得 ．
故答案为 40．
∶
15. 等边三角形的周长为 ，面积为 ，则面积 关于周长 的函数解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD的长，再利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D．
∵等边三角形的周长为C，∴AB=BC=AC= ，∴DC=BD= ，∴AD= = C，∴S=
× C× = C2．
故答案为S= C2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题的关键．
16. 如图，正方形DEFG的顶点均在 的边上， ， ，BC边上的高的长为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是利用正方形的对边平行，得到 ，再根据相
似三角形的高与对应边成比例列方程求解．
【详解】解：设 边上的高为 ．
∵正方形 的边 ，
∴ ．
∵ ， ， 的高为 ，
∴ ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解．
为
故答案 ： ．
17. 如图，点G是 的重心， ， ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形以及重心的性质．延长 交 于点D，过点D作 于
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学科网（北京）股份有限公司点E，根据重心的性质以及 ，可求出 ，从而得到 ，即可
求解．
【详解】解：延长 交 于点D，过点D作 于点E，
∵点G是 的重心， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司18. 如图，已知 中， ， ， ．点M是 中点，点D在边 上，
连接 ，将 沿着直线 翻折，点 B的对应点为点 E．连接 ，如果 ，那么
的度数为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查翻折的性质，锐角三角函数的定义；过A点作 ，过点E作 ，利用
锐角三角函数的定义可求出 ， ， ，平行线间的距离处处相等可得
，然后分类讨论，可求出 或 ，然后根据特殊角的三角函
数值和翻折的性质即可求解．
【详解】解：过A点作 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ，
过点E作 ，当点E在A点左侧，如图所示：
∵点M是 中点，
∴ ，
∵将 沿着直线 翻折，点B的对应点为点E，
∴ ， ，
∵ ， ， ，即 、 为平行线间的距离，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点E作 ，当点E在A点右侧，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
三、（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根
式的运算顺序和法则是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
20. 已知抛物线 ．
（1）写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况；
（2）将这条抛物线平移，使其顶点P移到点 的位置，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）开口方向向上；对称轴为直线 ；当 时， 随 的增大而减小；当 时，
随 的增大而增大
（2）平移的距离为
【解析】
【分析】本题考查抛物线的图象性质和抛物线平移，关键是将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标，
再结合平移的坐标变化计算距离．
（1）先将抛物线解析式展开并转化为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，根据顶点式确定对称轴，
再结合开口方向分析函数的增减变化情况；
（2）先确定原抛物线的顶点坐标，再计算原顶点与目标顶点的坐标差，利用勾股定理求出两点间的距离，
即为平移的距离．
【小问1详解】
解：将抛物线 展开得 ，转化为顶点式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵二次项系数 ，
∴抛物线开口向上；对称轴为直线 ；
∵开口向上，
∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；
【小问2详解】
解：由（1）知原抛物线的顶点 坐标为 ，目标顶点 坐标为 ，
两点的横坐标差为 ，纵坐标差为 ，
根据勾股定理，平移的距离为 ．
21. 如图，在梯形 中， ，已知 ，点E是 的中点，连接 交 于
点G．
（1）如果 的面积等于5，求 的面积；
（2）设 ， ，求向量 关于向量 、 的分解式．
【答案】（1）45 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）证明 ，根据相似三角形的面积比等于相似比进行求解即可；
（2）作 ，证明 ，推出 ， ，证明四边形
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学科网（北京）股份有限公司为平行四边形，得到 ，再根据三角形法则，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，点E是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积等于5，
∴ 的面积为 ；
【小问2详解】
解：由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
作 ，
则 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
22. 某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位 ，车位的三面围墙及墙 均高于车
顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为 ，当前车门与车
身夹角不小于 时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度
厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为 厘米．图3是车门打开的示意图．假设
车身始终与墙 保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有 厘米的安全距离．(参考数据：
， ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ．)
结合上述条件，回答下列问题：
（1）当该汽车倒车停入车位 区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由；
（2）已知车库门前有一条平行于 且与 距离 厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽
车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米)
【答案】（1）驾驶员能顺畅地从车中出来，理由见解析
（2）汽车不会占用到人行道，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临
界值 ，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可；
（2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙 上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何
辅助线的线段关系，求出车头到 的总距离，与人行道距离比较，判断是否占用．
【小问1详解】
解：如图，过前车门顶点 向车身 作垂线，垂足为点 ．
根据题意，车外后视镜完全打开时距离车身的距离为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵车外后视镜完全打开时与墙之间有 厘米的安全距离，
∴此时另一侧车身与墙 之间的距离为 ，
则车身 与墙 之间的距离为
假设前车门 与车身 的夹角 ，
在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴驾驶员能顺畅地从车中出来；
【小问2详解】
解：考虑极限状态，如图，前车门顶点 在墙 上，过点 作 ，过点 作 ，
与 交于点 ，容易得到
当前车门完全打开时与车身夹角为 ，即 ，
在 中， ， ，
∴ ， ．
由（1）， ，∴
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
的
∵ 与人行道 距离为 厘米， ，
∴汽车不会占用到人行道．
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，从题干和图形中提取信息和画出正确的示意图是解决问题的关
键．
23. 如图，在 中，点 在边 上， 、 的延长线交于点 ，连接 ，已知
．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理和判定定理是解题
的关键．
（1）先根据平行四边形的性质证明 ， 结合已知的 ， 证明
，得到 ，通过角的等量代换证明 ，根据平行线的性质
得到 ，从而可证；
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明 ，得到 ，结合平行四边形的对应边相等，即 ，等量代换即
可证明．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）知， ，
，
，
，
第22页/共30页
学科网（北京）股份有限公司四边形 是平行四边形，
，
，
．
24. 如图，平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于点 、B，与y轴
交于点C，抛物线 的顶点为点D．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）已知以点G为顶点的抛物线 与抛物线 相交．
①设抛物线 、 的交点为点E，在抛物线 上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取
值范围；
②连接 ，过点G作 的平行线，交抛物线 于点N，如果 平分 ，求m的值．
【答案】（1） ，
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的
思想进行求解是解题的关键：
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学科网（北京）股份有限公司（1）待定系数法求出 的值，一般式化为顶点式，求出 点坐标；
（2）①根据抛物线的解析式得到 ，进而得到点 在直线 上移动，连接直线和抛
物线 的解析式，求出 的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点 在点 的下方时满足
题意，即可得出结果；
②根据两条抛物线的 值相同，得到 可以看作是 ，平移得到，根据 ，得到 ，
结合 平分 推出 ，进而推出四边形 为菱形，得到 ，列出方程进行
求解即可．
【小问1详解】
解：把 代入 ，得 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴点 在直线 上运动，
令 ，解得 ，
∴直线 与抛物线 的交点为 ，即 ，
设点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵抛物线 、 的交点为点E，且在抛物线 上，点E与点G之间的部分是上升的，
∴当点 在点 下方时，符合题意，即 ；
②∵ ， ，
∴ 可以看作是 平移得到，
∵ 为 的顶点， 为 的顶点，
∴ 是由 点平移得到，
∵ ，
∴点 是由点 平移得到， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
25. 中，已知 ， 平分 ．
（1）如图1，如果 ， ，求 的长；
（2）如图2，过点 作 的垂线 ，与边 的延长线交于点 ．
①试猜想线段 与边 的数量关系，并证明；
②在线段 上截取 ，连接 ，当 时，探究是否存在实数 ，使得
成立？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） 的长为
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ，证明见解析；②存在实数 ，且
【解析】
【分析】（1）利用角平分线性质得等角，进而判定等腰三角形，结合相似三角形的判定与性质，通过相
似比计算线段长度；
（2）①取 中点 ，连接 ，证明 ， 即可；
②通过角度关系推导出特殊角度，结合等腰三角形性质与三角形相似，分析线段间的等量关系，进而确定
的值．
【小问1详解】
解：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， （负值舍去）．
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①如图，取 中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，∵ ，
∴ ．
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴
由（1）得 ，
设 ，则 ， ， ，
由（1）得 ，即
整理得 ，解得 (负值舍去
由①得 ，
∴
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴存在实数 ，且 使得 成立．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形判定与性质等
知识，涉及角度关系推导与线段长度计算，综合性较强．
第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
