专题14.7因式分解（7大知识点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 14.7 因式分解（7 大知识点 13 类题型）（知识梳理与题型分类 讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【知识点2】公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【知识点3】提公因式法 m 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个 m 因式是 ，即 ，而 正好是 除以 所得 的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【知识点4】公式法 （1）平方差公式： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab （2）完全平方公式：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 a2 2abb2 方．即 ， .形如 ， 的式子叫 做完全平方式. 【知识点5】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. （1）对于二次三项式 ，若存在 ，则 （2）首项系数不为1的十字相乘法 ax2 bxc a a a aa 在二次三项式 ( ≠0)中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即 1 2， c ccc a，a，c，c 常数项 可以分解成两个因数之积，即 1 2，把 1 2 1 2排列如下： ac a c ax2 bxc 按斜线交叉相乘，再相加，得到 1 2 2 1，若它正好等于二次三项式 的一次项系 b ac a c b a xc a xc 数 ，即 1 2 2 1 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 1 1与 2 2之积，即ax2 bxca xc a xc  1 1 2 2 . 【知识点6】分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的 方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即 先对题目进行分组，然后再分解因式. 【知识点7】因式分解口诀 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 知识点与题型目录 【考点一】因式分解概念 【题型1】因式分解的判断......................................................2 【题型2】公因式..............................................................3 【考点二】因式分解方法 【题型3】提取公因式..........................................................3 【题型4】用平方差公式进行因式分解............................................3 【题型5】用完全平方公式进行因式分解..........................................4 【题型6】提取公因式和公式法综合进行因式分解..................................4 【题型7】十字相乘法进行因式分解..............................................4 【题型8】分组分解法进行因式分解..............................................4 【题型9】综合多种方法因式分解................................................5 【考点三】因式分解的应用 【题型10】用因式分解法进行简便运算...........................................5 【题型11】因式分解法的其他应用...............................................5 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考...........................................................6 【题型13】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】因式分解的判断 【例1】（24-25六年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于① ② 从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）若 ，则下列结论正确的是（ ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【题型2】公因式 【例2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式 的公因式是 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，那么 ． 【题型3】提取公因式 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式 ，提取公因式 后， 余下的部分是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式 分解因式正确的是（ ）A． B． C． D． 【题型4】用平方差公式进行因式分解 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【变式1】（22-23七年级下·湖南永州·期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）已知 ， ，则 ． 【题型5】用完全平方公式进行因式分解 【例5】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）因式分解： (1) ； (2) ． 【变式1】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ． 【题型6】提取公因式和公式法综合进行因式分解 【例6】（23-24八年级上·江苏南通·期末）分解因式： (1) ； (2) ； 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）若 ， ，求式子 的值． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）因式分解 (1) (2) 【题型7】十字相乘法进行因式分解【例7】（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1) ； (2) ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）用十字相乘法分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 【变式2】（22-23七年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： (1) ； (2) ． 【题型8】分组分解法进行因式分解 【例8】（20-21七年级上·上海静安·课后作业） 【变式1】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）先分解因式，再求值： ，其中 ， ． 【变式2】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）因式分解： 【题型9】综合多种方法因式分解 【例9】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型10】用因式分解法进行简便运算 【例10】（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算：(1) ； (2) 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）用简便方法计算： (1) ； (2) 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【题型11】因式分解法的其他应用 【例11】（24-25八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是 边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且 ．观察图形，可以得到代数式 可以因式分解为 ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一 条信息： ， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：县、爱、我、赣、游、美． 现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱美 B．赣县游 C．我爱赣县 D．美我赣县 【变式2】（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）已知 ， ． (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值； (4)求 的值． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考【例1】（2024·福建·中考真题）已知实数 满足 ． (1)求证： 为非负数； (2)若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由． 【例2】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 （ 均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（ 为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ 按上表规律，完成下列问题： （ ） （ ） （ ） ； （ ） ______； (2)兴趣小组还猜测：像 这些形如 （ 为正整数）的正整数 不能表示为 （ 均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设 ，其中 均为自然数． 分下列三种情形分析： 若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数，则 为 的倍数． 而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数． 若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数， 则 ______为 的倍数． 而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数． 若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数． 而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数． 由 可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形 的横线上填写所缺内容． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）【问题提出】如何分解因式： ？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式： ；（2）已知 的三边长 ， ， 满足 ，判断 的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知 长为 ， 长为 ，当 时，长方形试验田的面积 为 ，当 时，长方形试验田的面积为 ( ， 均为正整数)，且满足 ，请求出 和 的值． 【例2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末） 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ① ； ② ； ③ ． 通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ．（p，q为整 数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有 ，即可将形如 的多项式因式分解成 （p、q为整数）． 例如： ． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： _________； 【类比应用】（2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：．