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专题05 整式的乘法与因式分解50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】题型一 幂的运算压轴题
题型二 整式乘法压轴题
题型三 多项式乘法中规律性问题
题型四 多项式乘法与图形面积问题
题型五 乘法公式压轴题
题型六 乘法公式与几何图形
题型七 因式分解压轴题
题型八 十字相乘法
题型九 分组分解法
题型十 因式分解的应用
【经典例题一 幂的运算压轴题】
1．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算 的值，采
用以下方法：
设 ①
则 ②
② ①得， ．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ______；
（2）求 ______；
（3）求 的和；（请写出计算过程）
（4）求 的和（其中 且 ）．（请写出计算过程）
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读下面的文字,回答后面的问题：
求 的值.
解：令将等式两边同时乘以5得到:
②-①得:
∴ 即
问题:(1)求 的值；
(2)求 的值.
3．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下列材料：
材料一：我们知道， 个相同的因数 相乘 ，记为 ．例如 ，此时，我们将指数3称作以2为
底8的对数，记为 （即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然， ）．一般地，若
（ 且 ， ），则n叫做以a为底b的对数，记为 （即 ，如 ，则4叫做以
3为底81的对数，记为 （即 ）．
材料二：由材料一可知，若 （ 且 ， ），则 ，对等式两边同时乘方，有
（ 为正整数），即 ，故 ．
(1)计算以下各对数的值： __________， __________， ___________；
(2)证明： （ 且 ， ， ），并求 ．
(3)若 ，求 的值．4．（23-24七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂 与 （
都是正数， 都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论：
①若 ，则 ．（底数相同，指数大的幂大）
②若 ，则 ．（指数相同，底数大的幂大）
尝试应用：试比较 与 的大小．
解：因为 ，
，……（第1步）
又 ，
所以 ……（第2步）
问题解决：
(1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2
步的依据是_______．
(2)请比较下面各组中两个幂的大小：
① 与 ；
② 与 ．
5．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空： ， ， ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征： ，小明给出了如下的证明：
设 ，则 ，即
所以 ，即 ，
所以 ．
试解决下列问题：
①计算
②请尝试运用这种方法证明 ．
【经典例题二 整式乘法压轴题】
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如果 ，那么 为 的劳格数，记为 ，由定义可知：
与 所表示的 、 两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空： ， ．
那么： ，
(2)劳格数有如下运算性质：
若 、 为正数，则 ， ．
根据运算性质，填空：
（ 为正数）．
若 ，则 ， ；
(3)如表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
0.8 2 3.2 4 5 87．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）材料一：若一个自然数除以3余数为 ，则该自然数的各数位上的数
字之和除以3的余数也为 ．例如125除以3余数为2，则 除以3的余数也为2．
材料二：若一个自然数 可以表示为一个整数 的平方，那么该自然数 称为完全平方数．例如 ，
所以169是完全平方数．
(1)证明：完全平方数 除以8的余数为1．（其中 为整数）
(2)一个各位数字均不为0的四位自然数 ，去掉 的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉
的千位数字后形成的三位数除以3余2，由 的千位数字与百位数字构成的两位数记为 ，由 的十位数字
与个位数字构成的两位数记为 ， 为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数 ．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，
若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，
例如 ，所以 和 与 和 都是“幸福数对”.
解决如下问题：
(1)请判断 与 是否是“幸福数对”？并说明理由：
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为 ，个位数字为 ，且 ；另
一个数的十位数字为 ，个位数字为 ，且 ，试说明 ， ， ， 之间满足怎样的数量关系，并写出
证明过程；
(3)若有一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 ；另一个两位数，十位数字为
，个位数字为 ．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．
9．（23-24七年级上·福建福州·期中）观察下列两个等式： ，给出定
义如下：我们称使等式 成立的一对有理数 为“同心有理数对”，记为 ，如：数对
，都是“同心有理数对”．(1)判断数对 ， 是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由；
(2)若 是“同心有理数对”，
①则 _________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）；
②求 的值．
10．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式
，代数式 ，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：
x 0 1 2 3 4
2
0 3 8 15 35
4
1
0 3 8 24
5
观察表格发现：当 时， ，当 时， ，我们把这种现
象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．
(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
(2)若代数式 参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；
(3)若代数式 参照代数式 取值延后，求 的值．
【经典例题三 多项式乘法中规律性问题】
11．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解
九章算术》中记载的“杨辉三角”．
第一行
第二行 各项系数和为
第三行 各项系数和为第四行 各项系数和为
…… …… …… ……
此图揭示了 （n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下
问题：
(1)多项式 展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；
(2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记 ， ， ……请完成下列问题：
①计算 ；
②计算 ；
③请直接写出 的值．
12．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是
他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)请在图中括号内的数为______；
(2) 展开式共有______项，第19项系数为______；(3)根据上面的规律，写出 的展开式：______；
(4)利用上面的规律计算： ；
(5)假如今天是星期五，那么再过 天是星期几？（写过程）
13．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）阅读：在计算 的过程中，
我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一
类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】
【归纳】 ；
【应用】计算
解：令 ， ，
则
结合上述材料，完成下列问题：
(1)证明等式： ；
(2)应用（1）中所证明等式，计算 ；
(3)若多项式 ， 满足 ， ，用一个含 ， 的式子表示出 ，
之间的数量关系．
14．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简
单到特殊的情况入手，例如：求 的值．分别计算下列各式的
值：
(1)填空：；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；
(3)根据以上结论，计算：
15．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算 所得多项式的一次项系数．小明想通过计算
所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的
方法．
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用 中的一次项系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中的
一次项系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数．可以先用 的一次项系数
1， 的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项系数2， 的常数项2，
的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项系数3， 的常数项2， 的常数项3，相乘
得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 所得多项式的一次项系数为______．
(2)计算 所得多项式的一次项系数为______．(3)若计算 所得多项式的一次项系数为0，则 ______．
(4)计算 所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5)计算 所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
【经典例题四 多项式乘法与图形面积问题】
16．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方
形卡片如图1依次记 、 、 三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
(2)请直接写出三个代数式： , , 之间的一个等量关系 .
(3)若要拼出一个面积为 的矩形，则需要 类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张.
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 , ，求 和 的值.
②已知 ，求 .
17．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式
除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大
到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为
0或余式的次数低于除式的次数.例：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算.因此
.
(1) 的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式 能被 整除，求 值.
(3)已知一个长为 ，宽为 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此
时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为 ，若长方形B的面积比C的
面积大76，求长方形C的另一边长.
18．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式 的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式 ，所以 ，即 ．［理解应用]
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知 的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在
大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角的
面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
19．（2022·重庆渝中·二模）阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积
法”直观地推导出了完全平方和公式： （如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方
法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为 的正方形，其面积为
．从局部看由四部分组成，即：一个边长为 的正方形，一个边长为 的正方形，两个长、宽分别
为 ， 的长方形．这四部分的面积和为 ．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个
代数式应该相等，即 ．
同理，图2可以得到一个等式： ．根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若 ， ， ，且 ， ，求 的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过
这个几何图形得到一个含有 ， ， 的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求 的值．
20．（23-24七年级下·浙江·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学
等式．例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ，则 _____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为 的长方形纸
片拼出一个面积为 长方形图形，则 _______．（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起， 三点在同一直线上，连接 和
，若两正方形的边长满足 ，你能求出阴影部分的面积吗？
【经典例题五 乘法公式压轴题】
21．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数
为智慧数．例如， ， ， ，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．
小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢?
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】
特殊情况探讨： ， ， ， ， ， ……
【阶段二】
一般性探究：同学们想到设 是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵ ① ，
∴除4外，所有能被② 整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数．
如果 是智慧数，那么必有两个正整数 和 ，使得 ，即
……
【阶段三】
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③ 个智慧数外，其余各组都有
④ 个智慧数，而且每组中第⑤ 个不是智慧数．
请你完成以下任务：
（1）下列偶数中是智慧数的是 ；
A．2018 B．2022 C．2024 D．2026
（2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整；
（3）请完成【阶段二】“……”部分的研究；
（4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．22．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读理解学习；
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的
代数式叫做对称式．例如：代数式 中任意两个字母交换位置，可得到代数 ， ， ，因为
，所以 是对称式：而代数式 中字母 ， 交换位置，得到代数式 ，因为
与 不一定相等，所以 不是对称式．
【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）；
① ② ③ ④
【能力提升】
已知 ．
①若 ， ，求对称式 的值；
②若 ，求对称式 的最小值．
23．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为
“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如 与 互为“对消多项
式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式 与 互为“对消多项
式”，“对消值”为t．若 ，求代数式 的最小值．
24．（23-24八年级上·北京西城·期末）阅读材料：
如果整数 ， 满足 ， ，其中 ， ， ， 都是整数，那么一定存在整数 ， ，使
得 ．例如， ， ， 或 ，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知 ， ， 或 ，……若 ，则 ；
(2)已知 ， （ ， 为整数）， ．若 ，求 （用含 ， 的式
子表示）；
(3)一般地，上述材料中的 ， 可以用含 ， ， ， 的式子表示，请直接写出一组满足条件的 ，（用含 ， ， ， 的式子表示）．
25．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式 与 的和为常数，则称 与 互为
“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如 与 互为“对消多项
式”，它们的“对消值”为 ．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与 ； 与 ； 与
(2)多项式 与多项式 （ ， 为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消
值”；
(3)关于 的多项式 与 互为“对消多项式”，“对消值”为 ．若
， ，求代数式 的最小值．
【经典例题六 乘法公式与几何图形】
26．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到
，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若 ， ，求 的值；
【类比应用】（2）填空：①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板 如图2所示放置，其中 ， ， 在一
直线上，连接 ， ．若 ， ，求一块直角三角板的面积．27．（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两
种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的
面积．
(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的大正方形，试用不同形
式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知 ， ，求 的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若
， ，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积．
28．（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一
个数学等式．(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足 ，可设 ， ，则
， ．则 ______．
(3)若x满足 ，则 的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为 的大长方形，则
______；
(5)如图3，已知正方形 的边长为x，E，F分别是 、 上的点，且 ， ，长方形
的面积是24，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积．
29．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式
的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（ 的正方形A， 的正方形B，
的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出
的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片( 的正方形A， 的正方形B，
的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示
意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式
子，使等式成立；
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知 ，求 的最大值，请认真思考，
并完成解答．
30．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积
最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
（1）【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是 ，则相邻一边长是 ．
①当 时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形 的一边长是 ，相邻一边长是
______．如图3，将长方形 割补到长方形 的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，
均用含 的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，
所以代数式 、 、 满足的等量关系是______；②当 时，类似上述过程进行割补；
③当 时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______；
（2）【方法迁移】
当 时，仿照上述割补过程，求代数式 的最大值．
【经典例题七 因式分解压轴题】
31．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，
使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当 时， （满足条件②）
4是 的下确界．
又例如：
，由于 ，所以 ，（不满足条件②）
故4不是 的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求 的下确界．
(2)若代数式 的下确界是1，求m的值．(3)求代数式 的下确界．
32．（23-24八年级上·四川内江·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方
式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求
值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解： ．
原式 ．
例2 若 ，利用配方法求 的最小值；
；
， ，
当 时， 有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： ；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)已知 是 的三边长，且满足 ，求 的周长．
33．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若两个正整数 ，满足 为自然数，则称 为 的
“ 级”数．例如， ，则2为3的“11级”数．
(1)4是5的“______”级数；正整数 为1的“______”级数（用关于 的代数式表示）；
(2)是否存在 的值，使得 为 的“ 级”数？若存在，请举出一组 的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知 均为小于100的正整数，且 为 的“100”级数，直接写出所有满足条件的 的值．
34．（23-24八年级下·四川达州·期中）阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以
下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．原式
．
(1)试用“分组分解法”因式分解： ．
(2)已知四个实数 ，满足 ， ，并且 ， ， ，
，同时成立．
①当 时，求 的值；
②当 时，用含 的代数式分别表示 ．
35．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个四位数m千位数字与百位数字的差等于十位数字与个
位数字的差，则称这个四位数为“等差数”．将等差数m千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字
对调得到新数 ，并记 ，例如：在1234中， ， 是“等差数”，此时
；在1235中， ， 不是“等差数”．
(1)判断2569，8431是否是“等差数”，并说明理由；如果是，求出对应的 的值；
(2)若四位数 ，且 ，记 ， ，
当 与 均为整数时，求出所有满足条件的“等差数”m．
【经典例题八 十字相乘法】
36．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 分解因式呢？我们已经知道：
．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式 的二次项的系数
分解成 ，常数项 分解成 ，并且把 ， ， ， ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，
就得到 ，如果 的值正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解为
，其中 ， 位于图的上一行， ， 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，
从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 ，
把常数项 也分解为两个因数的积，即 ；然后把1，1，2， 按图2所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到 ，恰好等于一次项的系数 ，于是 就可以分解为
．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
__________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如 的关于 ， 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图
4．将 分解成 乘积作为一列， 分解成 乘积作为第二列， 分解成 乘积作为第三列，如果， ， ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原
式 ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式 __________；
② 若关于 ， 的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求 的值．
37．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解：
38．（23-24八年级·湖南长沙·开学考试）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十
字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问
题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
39．（23-24八年级下·重庆云阳·期中）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2
的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．．
（1）“十字点”为7的“十字数”为 ：130的“十字点”为 ；
（2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
40．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 进行因式分解呢？我们已经知道，
ax cax c aax2 acx acx cc aa x2ac ac x cc．
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2反过来，就得到： ．
我们发现，二次项的系数a分解成 ，常数项c分解成 ，并且把a， a， c， c 如图①所示摆放，
1 2 1 2
按对角线交叉相乘再相加，就得到 ，如果 的值正好等于ax+bx+c的一次项系数b，那么
2
就可以分解为ax ca x c ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a ， c 位于下一行．
1 1 2 2 2 2
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘
法”．
例如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，
把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是 就可以分解
为(x 2)(x 3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
= ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1） = ；
（2） = ．
【探究与拓展】
对于形如 的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图
④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则
原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式 = ；
（2）若关于x，y的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足 ，请写出一组符合题意的x，y的值．
【经典例题九 分组分解法】
41．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
42．（23-24七年级下·浙江·期中）把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
43．（2021九年级·全国·专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式
法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写
在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．
这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为 与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③ ________．
（2）已知： 、 、 为 的三条边， ，求 的周长．
44．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
45．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解：
（分成两组）
（直接提公因式）
我们发现，要将多项式 分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：
．这种分解因式的方法称为分
组分解法．根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空： ；
(2)解决问题：已知 ，求 的值；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为 ，且满足 ，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【经典例题十 因式分解的应用】
46．（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称
这个正整数为“和谐数”．如∶ ， ， ，因此8，16，24都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为 和 ，其中k是正整数，那么“和谐
数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且 ，若 和 都是“和谐数”．判断 是
否为“和谐数”，说明理由．
47．（23-24八年级上·云南红河·期末）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，
可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示
的是棱长为 的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为
；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的
方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ，
丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为
．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足 ，
，其中 ，求 的值．48．（23-24八年级下·广东佛山·期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以
得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个
关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到
等式： __________，将等式右边因式分解，即 __________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形 ，其边长
为19，求阴影部分的面积．
②计算：49．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，
3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用
含 ， 的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
(2)若 ，求 的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技
图形的面积关系，因式分解： ______．
50．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：把形如 的二次三项式 或其一部分 配成完
全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．
例如： 、 、 是 的三种不同形式的配方 即“余项”分别是常
数项、一次项、二次项 ．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方；(2)已知 ， ，求 的值；
(3)当 ， 何值时，代数式 取得最小值，最小值为多少？
