文档内容
清单 02 二次函数（14 个考点梳理+题型解读+核心素养提升
+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
【例1】．（2022秋•金华期末）下列函数中，是二次函数的有（ ）
① ；
② ；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式】．（2022秋•定远县期末）已知 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
考点二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．【例2】．（2022秋•石城县期末）某同学将如图所示的三条水平直线 m ，m ，m 的其中一条记为x轴
1 2 3
（向右为正方向），三条竖直直线m ，m ，m 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平
4 5 6
面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A．m ，m B．m ，m C．m ，m D．m ，m
1 4 2 5 3 6 2 4
【变式】．（2022秋•襄都区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是
常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
【例3】．（2022秋•张店区期末）下列关于抛物线y＝x2﹣6x+7的说法，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标是（﹣3，1）
D．x＜3时，y随x的增大而减小
【变式】．（2022秋•钟山区期末）二次函数y＝2（x﹣3）2+5的图象的顶点坐标为（ ）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣5）
考点四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【例4】．（2022秋•滕州市期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图
所示，给出以下结论：①abc≥0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确
的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式】．（2022秋•丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若 +bx ＝ +bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x＝
1 2．
【例5】．（2023秋•瑞安市期末）若A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）为二次函数y＝x2+2x+c图
1 2 3
象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ≤y ＜y
2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 3 2
【变式】．（2022秋•鄂伦春自治旗期末）点P （﹣2，y ），P （2，y ），P （4，y ）均在二次函数y＝
1 1 2 2 3 3
﹣x2+2x+c的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3
考点六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
【例6】．（2022秋•大田县期末）若抛物线y＝x2平移后的顶点坐标为（2，1），则在平移后的抛物线上
的点是（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【变式】．（2022秋•大余县期末）抛物线y＝x2+4x+3是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平
移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+1
考点七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．【例7】．（2022秋•姜堰区期末）若x+y＝2，则xy+1的最大值为 ．
【变式1】．（2022秋•路南区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y＝x2+3上任意一点，
则OA长的最小值为 ．
【变式2】．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，四边形EFGH也是正方
形．点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上．点E在AB边上移动时，正方形EFGH面积也
随之改变，当AE的长度为多少时，正方形EFGH的面积最小？并求出最小面积．
【变式3】．（2023•墨玉县一模）如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点
C运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为
5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主
要过程．
（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为 ？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？考点八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
【例8】．（2022秋•石城县期末）计算：
（1）解方程：x2+2x﹣24＝0；
（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的解析式．
【变式】．（2022秋•梁平区期末）定义感知：若抛物线的顶点为P，与y轴的交点为Q，则称直线PQ是
该抛物线的“随形线”．
（1）初步运用：判断下列判断是否正确？正确的在题后括号内写“正确”，错误写“错误”；
①对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”（ ）；
②抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”是直线y＝3x+2（ ）；
（2）拓展延伸：若直线y＝﹣3x+3是某抛物线的“随形线”，该“随形线”与y轴交于点Q，且抛物线
顶点P与点Q相距 个单位长度．试求该抛物线的解析式．考点九．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与
y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是
能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得
1 2
到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
【例9】．（2022秋•东湖区校级期末）把二次函数y＝﹣ x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式
时，应为（ ）
A．y＝﹣ （x﹣2）2+2 B．y＝﹣ （x﹣2）2+4
C．y＝﹣ （x+2）2+4 D．y＝﹣（ x﹣ ）2+3
【变式】．（2022秋•梁平区期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝
．
考点十．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2
交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
【例10】．（2022秋•蒙自市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个
交点为（﹣1，0），关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为（ ）A．﹣3和1 B．﹣1和﹣3 C．﹣1和3 D．﹣1和1
【变式】．（2022秋•肇庆期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴两交点间的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点十一．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【例11】．（2022秋•保德县校级期末）下表为二次函数y＝x2﹣x﹣1.1的自变量x与函数值y的部分对应
值，利用图象可以判定x2﹣x﹣1.1＝0的一个近似解x为1.7（精确到0.1），解题过程中运用了（ ）
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
y＝x2﹣x ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
﹣1.1
A．类比探究法 B．数形结合法
C．分类讨论法 D．整体思想法
【变式】．（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可
以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x 的范围为（ ）
1
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x ＜1.3 B．1.3＜x ＜1.4
1 1
C．1.4＜x ＜1.5 D．1.5＜x ＜1.6
1 1
考点十二．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【例12】．（2022秋•龙沙区期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库
存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x
（元）的函数关系为（ ）
A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x）
C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）
【变式】．（2022秋•长春期末）用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直
于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式．
考点十三．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【例13】．（2022秋•玉林期末）如图，一位跳水运动员在进行某次10m跳台跳水训练时，测得身体（看
成一点）在空中的运动路线是抛物线 （图中标出的数据为已知条件）．
（1）运动员在空中运动的最大高度离水面为多少m？
（2）如果运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出
现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为 ，问此次跳
水会不会失误？并通过计算说明理由．【变式】．（2022秋•芝罘区期末）某文具店以8元/支的进价购进一批签字笔进行销售，经市场调查后发
现，日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系图象如图所示，其中8≤x≤16．
（1）求出日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系；
（2）当零售价定为多少时，该文具店每天销售这种签字笔获得的利润最大？最大利润是多少？考点十四．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些
隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
【例14】．（2022秋•大余县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴
于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值
时，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标．【变式】．（2022秋•开州区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B
（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四
边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．【核心素养提升】
1直观想象——利用数形结合思想解决问题
1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方抛物线
上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________；
(3)求 的最大值；2分类讨论思想
2.（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B
（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求
m的值．
3．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．3数学建模
4．（2022秋•腾冲市期末）我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金 1600万
元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费 40元．经过市场调研发
现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）
之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：
销售单价x（元） 200 230 250
年销售量y（万件） 14 11 9
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是
多少？
5．（2022秋•大余县期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，
经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相
应减少20个，设每个背包的售价为x元．
（1）月均销量为 个；（直接写出答案）
（2）当x为何值时，月销售利润为3120元？
（3）求月销售利润的最大值．【中考热点聚焦】
热点1.利用图形分析问题
6．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的
三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有
两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
热点2.二次函数图象的平移
7．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向
下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
8．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
热点3.二次函数图象的对称性
9．（2022•毕节市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5
个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）
之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；
③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞
4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于
点P（x ，y ），Q（x ，y ），下列结论错误的是（ ）
1 1 2 2
A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
D．当y＞﹣2时，x •x ＜0
1 2
热点4.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
12．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x ，x （x ＜x ），关于x的方
1 2 1 2程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x ，x （x ＜x ）．则下列结论正确的是（ ）
3 4 3 4
A．x ＜x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x ＜x
3 1 2 4 1 3 4 2
C．x ＜x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 3 4 1 2
13．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精
确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也
可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）
x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请
说明理由．
热点5.二次函数在实际问题中的应用
14．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12
时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的
礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水
柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇
点H'距地面 1 9 米．15．（2023·内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，
经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022
年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中 为一
折线）．
(1)当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用 来描述，求
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格 销售数量）
16．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产
成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝
，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
17．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高
于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？热点6.与二次函数有关的综合题
18．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物
造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA
垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距
离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6
时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
