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专题 14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】................................................................................................1
【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】....................................................................................2
【类型三 十字相乘法因式分解】....................................................................................................................4
【类型四 分组分解法因式分解】....................................................................................................................9
【类型五 因式分解的应用】..........................................................................................................................14
【过关检测】...........................................................................................................................................17
【典型例题】
【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】
例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】提公因式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】分别运用提公因式，公式法进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解的相关知识．灵活运用提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．解题时
注意，分解一定要彻底，这是易错点．
2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】先变形，再提取公因式，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】
例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用平方差公式分解即可．
（2）先提取公因式，后套用公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和
方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查因式分解，能够综合运用提取公因式法和公式法是解题的关键．
2．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式 ，然后根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【类型三 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式； ．
第一步：二次项系数2可以写成 ，常数项 可以写成 或 ；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将 、3或1、 写在“×”号的右边，共有如下图
的四种情形：
第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为 ；②的系数为 ；
③的系数为 ；④的系数为 ．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有： ．像这样，通
过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：
(1)分解因式： ；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；②分解因式： _______；
(2)分解因式： ．
①完善横线上的数字；
②分解因式： ________．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①见解析；②
【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，
仿照材料分解即可．
【详解】（1）解：① ；
② ；
（2）① ；
② ．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．
【变式训练】
1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如： 求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系
数即可求解；
（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求
解．
【详解】（1）解：如图，
∴
（2）解：如图，
∴ ．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．
2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘
法公式运算来进行因式分解，基本式子为： ，
例如：分解因式 ， ， ，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于 ，
得到 ，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)先分解因式，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)
(2) ，45
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解： ；
（2）
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 的方法（如
图）．
第一步：二次项 ；第二步：常数项 ，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项 ．
即 ．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式 进行因式分解，可以表示为 _______________；
(2)若 可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数 的所有可能值．
【答案】(1)
(2)图见解析， ， ， ，16
【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；
（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．
【详解】（1）解： ，常数项 ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，常数项 ，画“十字图”如下：
， ， ，16．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．
4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如 的二次三项式因式分解时，
如果能满足 且 ，则可以把 因式分解成 ．
例如：（1） ；（2） ．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据 进行解答即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质
是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．
【类型四 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能
力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学
题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法
——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的
方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式 ；
(3)分解因式： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；
（2）根据例题用拆项补项法分解因；
（3）根据例题用拆项补项法分解因；【详解】（1）解：
；
（2）
（3）
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．
【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用
公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”
分法、“3+2”分法“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)分解因式： ．
【答案】(1) ）；
(2) ；
(3) ．
【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
= ；
（2）解：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1） （2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式 ，后两项有公因式 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式
，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式 ，第一项和第三项含有公因式 ，把 ， 提出来，
剩下的是相同因式 ，可以继续用提公因式法分解．
解：
探究2：分解因式：（2）
分析：甲发现先将 看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式
分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”
继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
【拓展提升】：
（3）分解因式： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式 后再利用平方差公式继续分解；
（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；
（3）把15分解成 ，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）；
（3）
．
【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．
【类型五 因式分解的应用】
例题：（2023秋·广东深圳·九年级校考开学考试）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这
样一条信息： ， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、
美，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
【答案】C
【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．
【详解】解：原式
由条件可知， 可表示为“爱我中华”，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．
【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）已知正方形 的边长为b，正方形 的边长为 ．如图1，点H与点A重合，点E在边 上，点G在边 上，记阴影部分的面积为 ；如图2，在图1正
方形位置摆放的基础上，在正方形 的右下角又放了一个和正方形 一样的正方形，使一个顶点
和点C重合，两条边分别落在 和 上，记阴影部分面积为 和 ． 若 ， ，则 的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先表示出 和 的面积，进而求出a和b的值，再根据 表示边长为 的正方形的面积，
即可求解；
【详解】∵ 的面积等于正方形面积 -正方形面积 ， 是边长为 的正方形的面积，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解 ，得 ， ，
∵S 表示边长为 的正方形的面积，
3∴ ；
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的
关键；解（2）的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
2．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法
直接使用上述方法分解，如 ，我们可以把它先分组再分解：
，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知a，b，c是 的三边，且满足 ，请判断 的形状，并说明理由，
【答案】(1)
(2) 是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）利用分组法分解因式，然后得出 ，即可判断三角形的形状．
【详解】（1）
；
（2） 是等腰三角形．理由如下：
，
，
， ， 是 的三边，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深
刻理解题干中的分组分解法是解题关键．3．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面
积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请回答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式：___________．
(2)利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知 ， ，求 的值．
(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要
求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为
．
【答案】(1) =
(2)45
(3)见解析
【分析】（1）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于边长为 的正方形即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，将原式变形，进而求出答案；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为 ，宽为 的矩形面积；
【详解】（1）由拼图面积可得： ；
（2） ， ，
；
（3）如图所示，所拼出的几何图形的面积为：【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题，利用因式分解解决证明问题，利用因
式分解简化计算问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解．
【详解】解： 、不是因式分解，不符合题意；
、不是因式分解，不符合题意；
、等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
、是因式分解，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键，尤其需要主要的是 选项中是积的关系，但 不是整式，不属于因式分解．
2．（2023春·湖南株洲·七年级校考期中）分解因式 ，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
故选：D
【点睛】此题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的有关方法．
3．（2023秋·八年级课时练习）已知a，b，c是 的三边长，且满足 ，则 的形状
为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由因式分解 ，可知 ，可得 ，因而可判断的形状．
【详解】解析：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵a，b，c是 的三边长，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 的是等腰三角形．
【点睛】题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关
键．
4．（2023秋·八年级课时练习）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ，
，3， ，a， 分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，一，现将 分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱一中 C．我爱一中 D．一中数学
【答案】C
【分析】根据提公因式和平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴这几个字分别为：中，爱，我，一，即我爱一中．
故选C．
【点睛】本题考查因式分解．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
二、填空题
5．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）因式分解： = ．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是综合运用提公因式法和公式法．
6．（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考开学考试）分解因式：
．
【答案】
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2023秋·九年级课时练习）若实数 ， 满足 ，则 的值为 ．【答案】 或1
【分析】将 看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程求出 的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，将x＋y看作一个整体是解本题的关键．
8．（2023秋·八年级课时练习）已知 的三边长a，b，c满足 ，则 的形状为
．
【答案】等腰三角形
【分析】将 进行因式分解，转化为 ，进而得到 ，即可得出结论．
【详解】解析：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵a，b，c是 的三边长，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用，正确的进行因式分解，是解题的关键．
三、解答题
9．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）利用十字相乘法进行因式分解；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ， ， ，
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法是解题的关键．
10．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式
．
（3）原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
11．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：
(1)（添项） ；
(2)（拆项） ；
(3)（换元） ．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）原式
．
（2）方法一：原式
．
方法二：原式
．
（3）设 ，
则原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
12．（2023秋·八年级课时练习）用十字相乘法分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．
【详解】（1）原式 ．
（2）原式
．
（3）原式
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
13．（2023秋·八年级课时练习）对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成
的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式
中先加上一项 ，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去 ，整个式子的值不变，
于是有：
．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配
方法”．
阅读以上材料，解决下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)当a为何值时，二次三项式 取得最小值．
【答案】(1)
(2) 时，二次三项式 取得最小值，最小值为1
【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵ ，
又 ，
∴当 时，二次三项式 取得最小值，最小值为1．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握配方法，是解题的关键．
14．（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分组，提公因式分解；
（2）分组，分别运用平方差公式，提公因式法分解；
（3）运用整式乘法法则变形，再运用平方差公式展开，进一步化简．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题考查分组分解法，提公因式法，公式法因式分解；根据代数式具体情况合理分组是解题的关
键．
15．（2023秋·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由 得， ；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子 分解因式．
分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ，所以 ．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)填空：若 可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给材料信息即可求解；
（2）先将 看作一个整体进行因式分解，随后再对每一个因式进一步分解即可；
（3） ，据此即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：原式（3）解：若 可分解为两个一次因式的积
则整数p的所有可能值是
故答案为： ．
【点睛】本题以材料题为背景，考查了十字相乘法．掌握相关分解方法及原理是解题关键．
16．（2023春·江西九江·八年级校考期中）某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有
提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“ ”，细心
观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产
生了新的公因式，然后再提取公因式
．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3) 的三边a，b，c满足 ，判断 的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 是等腰三角形；理由见解析
【分析】（1）将 和 一组， 和 一组，分别提取公因式，再提取公因式 即完成因式分解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（3）先对 进行因式分解，得到 ，根据三角形的任意两边之和大于
第三边得到 ，从而得到 ，从而证得 是等腰三角形．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解： 是等腰三角形；理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式、完全平方公式等方法．
