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14.3.2 运用平方差公式因式分解
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式逐项分解因式可求解．
【详解】解：A、 ，无法因式分解，故此选项错误；
B、 ，无法因式分解，故此选项错误；
C、 ，无法因式分解，故此选项错误；
D、 ，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的基本形式是解题关键．
2．下列等式正确的是（ ）
A．x²＋y²=（x＋y）（x＋y） B．－x²＋y²=（y－x）（y＋x）
C．－x²＋y²=（－x＋y）（－x－y） D．－x²－y²=－（x＋y）（x－y）
【答案】B
【分析】把各个选项右边乘开看是否与左边相等．
【详解】A.右边=x²+2xy+y²，与左边不相等，故A选项错误，不符合题意；
B.右边=y²-x²=-x²+y²，与左边相等，故B选项正确，符合题意；
C.右边=(-x)²-y²=x²-y²，与左边不相等，故C选项错误，不符合题意；
D.右边=-(x²-y²)=-x²+y²，与左边不相等，故D选项不符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解互为逆运算．通过把
等号右边的整式乘法展开看是否与左边的多项式相等,可以判断从左到右的因式分解是否正确．
掌握这一方法是解题的关键．
3． 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式与完全平方式，掌握乘法公式是解题的关键．
4．将多项式 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=
=
故选：C
【点睛】本题主要考查因式分解计算，主要因式分解过程中应分解彻底，是一个易错点．
5．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变
化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由面积相等列式可得答案．【详解】解：从左图到右图的变化过程中，由面积相等可得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列式是关键，属于基
础题．
6．若 分解因式时有一个因式是 ，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练运用平方差公式是解答此题的
关键．
7．已知a，b满足 ，且 ，则关于a与b的数量关系，下列说法
中正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】将等式整理即可得出①，根据因式分解及a≠3b即可得到④．
【详解】解：∵（3−9b）（a＋b）＋9ab＝4a−a2，
∴3a＋3b−9ab−9b2＋9ab＝4a−a2
∴a2−a＝9b2−3b
∴a2−9b2＝a−3b
故①正确，
∴（a＋3b）（a−3b）＝a−3b，
∵a≠3b，
∴a−3b≠0，∴a＋3b＝1．
故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解，掌握因式分解是解题关键．
二、填空题：
8．因式分解： =______．
【答案】
【分析】应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．
【详解】原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．因式分解：
【答案】
【分析】变形后提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
【点睛】本题考查了因式分解，能熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解决本题的关键．
10．若多项式4a2＋M能用平方差公式因式分解，则单项式M=__________．（写出一个即
可）
【答案】－4（答案不唯一）
【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反．所以M是个平方项且其符号为“-”，只要符合这个特点即可．
【详解】答案不唯一．如-b2，-4等．
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，是开放型题目，熟记公式结构是解题的关
键，注意M中字母不要用a，如果用a，原多项式就可以合并同类项而变成单项式了．
11．若 ， ，则 ___．
【答案】6
【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键．
12．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加__________
【答案】 （4R+4）cm2
【分析】半径为Rcm的圆的面积是S =πR2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S =π
1 2
（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可．
【详解】∵S -S =π（R+2）2-πR2，
2 1
=π（R+2-R）（R+2+R），
=4π（R+1），
∴它的面积增加4π（R+1）cm2．
故答案为 （4R+4）cm2．
【点睛】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式．
13．若 ，则代数式 的值为______．
【答案】
【分析】根据平方差公式因式分解，再整体代换即可求出答案．
【详解】解：由题意，
原式．
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14．若a2﹣b2=5，a+b=5，则2a2﹣2ab=___________．
【答案】6
【分析】运用公式法进行因式分解，由a2-b2=5，a+b=5，得（a+b）（a-b）=5，a-b =1，那
么2a=6，进而解决此题．
【详解】解：∵a2-b2=5，
∴（a+b）（a-b）=5，
∵a+b=5，
∴a-b =1，2a=6，
∴2a2−2ab=2a(a−b) =6×1=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了运用公式法进行因式分解以及代数式求值，熟练掌握运用公式法进
行因式分解以及代数式求值是解题的关键．
三、解答题：
15．分解因式：
(1) ；（2）ab2﹣a；(3) ．（4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）ab2﹣a，
＝a（b2﹣1） ，
＝a（b+1）（b﹣1）；
（3）解：原式＝（999+1）（999﹣1）
＝1000×998
＝998000．
（4） x2﹣y2﹣ax﹣ay，
＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y），＝（x+y）（x﹣y﹣a）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因
式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，
分解因式要彻底是解题关键．
16．若x＋y是9的算术平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．
【答案】-24
【分析】利用算术平方根与立方根的含义求解x＋y和x－y可得答案．
【详解】解：∵x+y是9的算术平方根，
∴x＋y=3，
∵ 的立方根是－2，
∴x－y=-8，
∴x2-y2=（x＋y）（x－y）=-24，
故答案为：-24．
【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义以及因式分解，掌握算术平方根与立方根
的含义以及平方差公式是解题的关键．
17．如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是 和 ，求它们所围成的环形的
面积．如果 ， 呢？（ 取 ）
【答案】 ．
【分析】围成的环形的面积 大圆的面积 小圆的面积，圆的面积 ，可列出代数式，并代
入数据可求值．
【详解】解：围成的环形的面积为： ．
当 ， 时：
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，根据围成的环形的面积 大圆的面积 小圆的面积，
然后代数求值．
18．在 的运算结果中， 的系数为 ，x的系数为 ，求a，b的值并对式
子 进行因式分解．
【答案】 ， ，
【分析】先计算多项式乘以多项式，再结合题意可得 ， ，解方程组求解
的值，再利用平方差公式分解因式即可.【详解】解：∵
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式的因式分解，二元一次方程组的解法，理
解题意列出方程组求解 的值是解本题的关键.
能力提升篇
一、单选题：
1．对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能够被（ ）
A．2整除 B．n整除 C．（n+7）整除 D．7整除
【答案】D
【分析】先利用平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：（n+7）2﹣n2
，
∴对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能够被7整除．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
2．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，
并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是 ，则这个指数的可能结果
共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道
该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
【详解】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解，又因为该指数为不大于10的正整数，
∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的
关键，还要知道不大于就是小于或等于．
3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4
＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神
秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-
（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神
秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m= ，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m= ，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m= ，错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义
的理解是解题的关键．
二、填空题：
4．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m＝___．
【答案】2022
【分析】将等式左边利用平方差公式进行分解因式，再利用等式性质即可求值．
【详解】解： ，，
，
，
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查平方差公式的因式分解，熟练应用公式是解题的关键．
5．请阅读以下因式分解的过程：
．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式： ____________．
【答案】（x+3）（x-1）
【分析】根据题干中配方法，构造平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
=
=
=[（x+1）+2][（x+1）-2]
=（x+3）（x-1）．
故答案为：（x+3）（x-1）．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
6．如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形
AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方
形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面
积是____.【答案】36.
【分析】根据题意列出 ，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案.
【详解】由题意得：
∵ ，
∴x-y=4，
解方程组 ，得 ，
∴正方形ABCD面积为 ，
故填：36.
【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即
可.
三、解答题：
7．如图，边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼
成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？试利用这个公式计算：
．（2）若图（1）中的阴影部分的面积是12， ，求 的值．
【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），264．（2）150
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式a2-b2=（a+b）（a-b），从左到右依
次利用平方差公式即可求解；
（2）根据a2-b2=（a+b）（a-b）=12，把a-b的值代入即可求得a+b的值，进而求出a，b的
值，代入求值即可．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积是a2-b2，图2中阴影部分的面积是（a+b）（a-
b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（216-1）（216+1）（232+1）+1
=（232-1）（232+1）+1
=264-1+1
=264．
（2）依题意可得：a2-b2=12，（a+b）（a-b）=12，
∵a-b=3，
∴a+b=4．
联立方程组可得：
解得， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
8．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 （ ）的多项式变形为
的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 （ ）的配方法，运用多项式的配方
法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式
分解．
例： ．
．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)分解因式： ；
(2)求多项式 的最小值；
(3)已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)-18
(3)12
【分析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解．
（1）
解：
=
=
=
= ；（2）
=
=
∵ ，
∴ ，
∴多项式 的最小值为-18；
（3）
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴a=3，b=4，c=5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方
公式的形式是解本题的关键．
