文档内容
专题 14 因式分解
考点一 判断是否是因式分解 考点二 公因式及提提公因式分解因式
考点三 已知因式分解的结果求参数 考点四 运用公式法分解因式
考点五 十字相乘法分解因式 考点六 分组分解法分解因式
考点七 因式分解的应用
考点一 判断是否是因式分解
例题：（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，判断求解即可．
【详解】解：A、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
B、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本项错误，不符合题意；
D、是因式分解，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积
的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【变式训练】
1．（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x+2＝x（1+ ） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的
定义进行判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的
不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解： A．是因式分解，运用了提公因式法，符合题意；
B．是整式的乘法运算，不符合题意；
C．不是因式分解，右边不是乘积的形式，不符合题意，
D．左边是单项式，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．掌握因式分解的定义是解
题的关键．
考点二 公因式及提提公因式分解因式
例题：（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）多项式 的公因式是______．
【答案】【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出
公因式的即可．
【详解】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y,x的最低指数是2，y的最低
指数是2，
∴该多项式的公因式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）分解因式 _______
【答案】3x（x-1）
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【详解】解： 3x（x-1）；
故答案为：3x（x-1）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
【答案】2x
【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可．
【详解】解：
多项式的公因式为2x．
故答案为：2x．
【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式
的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同
的多项式，多项式的次数取最低的．
考点三 已知因式分解的结果求参数
例题：（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式 因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____．
【答案】5
【分析】把（x+3）（x+2）展开，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【详解】解：∵ ＝（x+3）（x+2）＝ ，
∴m＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北保定·八年级期末）若多项式 因式分解为 ，则 ________．
【答案】3
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出a即可．
【详解】解： ,
∵多项式 因式分解为 ，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互为逆运算是解题的关键．
2．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知二次三项式 分解后有一个因式为 ，则 ______．
【答案】6
【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设另一个因式为（x+n），
得x2-5x+m=（x-2）（x+n），
则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n．
∴ ，
解得 ．
∴m的值为6．
故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程
组是解此题的关键．
考点四 运用公式法分解因式
例题：（2022·黑龙江大庆·八年级期末）因式分解：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式mn，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】此题考查因式分解．熟练掌握因式分解的步骤和方法是关键．注意因式分解一定要分解到每一个
因式不能再分解为止．
【变式训练】
1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）因式分解(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数后利用平方差公式分解因式；
（2）先用平方差公式，再结合完全平方公式分解因式；
（1）
解：原式=
（2）
原式=
【点睛】本题主要考查平方差公式 和完全平方公式 的灵活运用，
熟记公式是解题关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
（1）
解：
．（2）
解：
．
（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
考点五 十字相乘法分解因式
例题：（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把式子化成 ，再运用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：原式=
=
=
=
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．
2．（2022·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到 ．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把 分解因式
分析： 中的二次项系数为1，常数项 ，一次项系数 ，这是一个
型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
考点六 分组分解法分解因式
例题：（2022·广东·南山实验教育集团八年级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十
字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就
会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后
提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式 ．【答案】
【分析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后利用平方差公式进行分解即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了因式分解 分组分解法，公因式，因式分解 运用公式法，合理进行分组是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．
；
也可以
．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①
②
(2)拓展延伸
①若 求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时？代数式 有最小的值，最小的值是多少？
【答案】(1)① ；②(2)① ， ；② ， ，最小值：
【分析】（1）①正确分组，然后用提取公因式 ，利用平方差公式求解；②将 化为
，再利用完全平方公式，平方差公式求解；
（2）①将 化为 ，求出x和y的值；②将
分组分解得到 ，结合 ， ，求出x
和y的值， 的最小值．
（1）
解：①
；
②
；
（2）
解：① ，
，
，， ，
， ；
②
，
， ，
， 时， 有最小值，最小值是-10，
， ，
，
即当 ， 时，代数式 有最小值，最小值是-10．
【点睛】本题考查了因式分解的方法-分组分解法，平方差公式和完全平方公式；正确进行分组是解决问题
的关键．
2．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2) 、
(3)
【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；
（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；
（3）根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
分组后能出现公因式，分组后能应用公式
（2）
，
，
故答案为： ， ．
（3）
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
考点七 因式分解的应用例题：（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若
，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知 ，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求△ABC的周长．
【答案】(1)3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得 ，然后由非负数性质求得结果；
（2）由 得 ，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得 ，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得
c，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由 得，
，
∵ ≥0， ，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案为：3；1；
（2）由 ，得，
，
，
∴ ，
∴ ；
（3）
由 得 ，
∴ ，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的周长为 ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）阅读材料：若 ，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则 ， ．
(2)已知 ，求 的值．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得 ，然后由非负数性质求得结果；
（2）由 得 ，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得 ，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角
形的周长．
（1）
解：由 ，得 ，
∵ ≥0， ，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）
由 得，
∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴ =16；
（3）
∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a-4=0，c-5=0，∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路
是解题的关键．
2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若 ，求m和n的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数， 的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若 ，求 的值．
(3)已知a，b，c是 ABC的三边长，满足 ，且c是 ABC中最长的边，求c的取值范
△ △
围．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到 ，即可作出判断；
（2）根据题意由 得到 ，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；
（3）由 得到 ，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是 ABC的三边
△
长，且c是 ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．
△（1）
解：
∵ ， ，
∴ ≥4
∴不论x，y为何有理数， 的值均为正数，
故选：A
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴ ；
（3）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是 ABC的三边长，且c是 ABC中最长的边，
∴ △， △
即5≤c＜9，即c的取值范围是5≤c＜9．
【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平
方公式变形是解题的关键．
一、选择题
1．（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
【答案】C
【分析】根据确定多项式各项公因式的方法，①定系数，即确定各项系数的最大公约数②定字母，即确定
各项相同字母因式（或相同多项式因式）③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数最
低次幂，确定公因式即可
【详解】原式
∴公因式为4ab2
故选：C
【点睛】本题考查了确定公因式的方法，关键是掌握确定公因式的方法．
2．（2022·山东·济南市济阳区创新中学八年级期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式转化成几个整式积的形式，依次进行分析判断可得答案．
【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故A错误；B． ，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C． ，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D． ，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的意义，注意掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
3．（2022·四川·成都市龙泉驿区新思源学校八年级阶段练习）对任意自然数 ，代数式 的
值一定能被（ ）整除．
A．6 B．24 C．4 D．8
【答案】B
【分析】先将题目中的代数式化简，即可得到题目中的代数式一定可以被哪个数整除，本题得以解决．
【详解】解：∵
=[（n+7）+（n－5）][（n+7）－（n－5）]
=（n+7+n－5）（n+7－n+5）
=（2n+2）×12
=24（n+1），
∴代数式 的值一定能被24整除，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
4．（2021·江苏无锡·九年级期中）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足 ，
则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．12
【答案】C
【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最
后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∴ ，
∴ ，
∴a=3，b=4.
分两种情况讨论：
①当腰为3时，3+3>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10，
②当腰为4时，3+4>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11．
综上所述：该等腰三角形的周长为10或11．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公
式将原等式化为平方和为0的形式．
5．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这
样一条信息： 分别对应下列六个字： 中， 爱， 我， 数， 学，马， 现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱马中 C．我爱马中 D．马中数学
【答案】C
【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．
【详解】解：
= ，
∵ 分别对应下列六个字：中， 爱， 我， 数， 学，马，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱马中，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的综合应用，正确将所给的式子进行因式分解是解决本题的关键．
二、填空题
6．（2022·广东汕头·八年级期末）因式分解：2m3﹣2m＝______________.【答案】
【分析】先提公因式 ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2022·四川成都·八年级期末）已知：a+b=3，ab=2，则 _____．
【答案】9
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知等式整体代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a+b=3，ab=2，
∴
=9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）若实数a，b满足 ，则代数式 的值
为_______．
【答案】
【分析】将所求代数式中的 因式分解，再把 代入，化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴故答案为： ．
【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式
变形，然后整体代入求值．
9．（2022·河南平顶山·八年级期末）若三角形ABC的三边长a，b，c满足 ，则三角形ABC
的形状是_______．
【答案】等腰三角形
【分析】通过对a+2ab=c+2bc的变形得到（2b+1）（a－c）=0，由此得到a=c，易判断三角形ABC的形状．
【详解】解：∵a+2ab=c+2bc，
∴a－c＋2ab－2bc=0，即（2b+1）（a－c）=0，
∵a，b，c是△ABC的边长，
∴b＞0，
∴2b+1≠0，
∴a－c=0，
∴a=c，即三角形ABC的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】该题主要考查了因式分解及其应用问题，等腰三角形的判定，解题的关键是牢固掌握分组分解法
或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．
10．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，
两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（ ）．观察图形，发现多项式
可因式分解为____________．
【答案】
【分析】图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二
是由大长方形的长 与宽 的乘积计算，两者相等即可确定多项式 因式分解的结果．
【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为 ，长方形的面积也可以为 ，
∴ = ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键．
三、解答题
11．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) ； (2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
（1）
解：
＝
；
（2）
．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）因式分解
(1) (2)【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答；
（2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答．
（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的
各项含有公因式，必须先提公因式．
13．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；
（2）先进行公式变形为 ，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；
（3）先将原式分组为 再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；
（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．
（1）
解：
=
；
（2）
解：
；
（3）
解：
（4）．
【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此
方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底.
14．（2021·山西临汾·八年级期中）在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式
进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．
解：令 ，
则原式 ．
∵ ，∴原式 ．
老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：
(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果
______（如果是则不用填写）．
(2)请模仿以上方法对多项式 进行因式分解．
【答案】(1)否；
(2)
【分析】（1）检查解答结果继续应用完全平方公式进行分解即可；
（2）利用题目提供的信息进行分解因式即可．
（1）
解：∵ ，
∴上述解答的结果没有分解到最后．
故答案为：否； ．
（2）解：令 ，
则
∵ ，
∴原式
【点睛】本题主要考查了因式分解，读懂题意，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
15．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得 由于我
们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ．
通过观察可如可把 中的 着作是未知数． 、 、 、 在作常数的二次三项式：通
过观察 可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 与常数项
分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图 ，此分
解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项
式 的二项式系数 与常数项 分别进行适当的分解，如图 ，则 ．根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解： ；
(2)用十字相乘法因式分解： ；
(3)结合本题知识，因式分解： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
（1）
解： ；
（2）
解： ；
（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
16．（2022·广东广州·八年级期末）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，
用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就
会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过
程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，
而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
【答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形
【分析】（1）先提公因式2，再利用完全平方公式分解；
（2）先分组，再利用分组分解法求解；
（3）把等式左边利用分组分解法因式分解得到 ，利用三角形三边的关系得到a=c或a=b，
从而可判断 ABC的形状．
(1) △
解：
=
= ；
(2)
=
= ；
(3)
==
=
=
=0
∴a=c或a=b
∴ ABC为等腰三角形．
【△点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的
应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．
17．（2022·江西吉安·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法
和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组
分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在
阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：① ；② ；
（2）已知 的三边 满足 ，试判断 的形状．
【答案】（1）① ；② ；（2） 是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多
项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①
；
②
；
（2） ，
，
，
，
， ， 是 的三边，
，
，
，
，
即 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式： ，平方差公式 是解题关键．
