文档内容
专题 14 因式分解
考点一 判断是否是因式分解 考点二 公因式及提提公因式分解因式
考点三 已知因式分解的结果求参数 考点四 运用公式法分解因式
考点五 十字相乘法分解因式 考点六 分组分解法分解因式
考点七 因式分解的应用
考点一 判断是否是因式分解
例题：（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+ ） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二 公因式及提提公因式分解因式
例题：（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）多项式 的公因式是______．
【变式训练】1．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）分解因式 _______
2．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
考点三 已知因式分解的结果求参数
例题：（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式 因式分解得(x+3)(x+2)，
则m＝_____．
【变式训练】
1．（2022·河北保定·八年级期末）若多项式 因式分解为 ，则 ________．
2．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知二次三项式 分解后有一个因式为 ，则 ______．
考点四 运用公式法分解因式
例题：（2022·黑龙江大庆·八年级期末）因式分解：
(1) ； (2)
【变式训练】
1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）因式分解
(1) ； (2) ．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) (2) (3)
考点五 十字相乘法分解因式例题：（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
2．（2022·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到 ．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把 分解因式
分析： 中的二次项系数为1，常数项 ，一次项系数 ，这是一个
型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)考点六 分组分解法分解因式
例题：（2022·广东·南山实验教育集团八年级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十
字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就
会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后
提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式 ．
【变式训练】
1．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．
；
也可以
．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①
②(2)拓展延伸
①若 求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时？代数式 有最小的值，最小的值是多少？
2．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．考点七 因式分解的应用
例题：（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若
，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知 ，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求△ABC的周长．
【变式训练】
1．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）阅读材料：若 ，求 的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则 ， ．
(2)已知 ，求 的值．(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 的周长．
2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若 ，求m和n的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数， 的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若 ，求 的值．
(3)已知a，b，c是 ABC的三边长，满足 ，且c是 ABC中最长的边，求c的取值范
△ △
围．
一、选择题
1．（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
2．（2022·山东·济南市济阳区创新中学八年级期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（
）A． B．
C． D．
3．（2022·四川·成都市龙泉驿区新思源学校八年级阶段练习）对任意自然数 ，代数式 的
值一定能被（ ）整除．
A．6 B．24 C．4 D．8
4．（2021·江苏无锡·九年级期中）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足 ，
则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．12
5．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这
样一条信息： 分别对应下列六个字： 中， 爱， 我， 数， 学，马， 现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱马中 C．我爱马中 D．马中数学
二、填空题
6．（2022·广东汕头·八年级期末）因式分解：2m3﹣2m＝______________.
7．（2022·四川成都·八年级期末）已知：a+b=3，ab=2，则 _____．
8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）若实数a，b满足 ，则代数式 的值
为_______．
9．（2022·河南平顶山·八年级期末）若三角形ABC的三边长a，b，c满足 ，则三角形ABC
的形状是_______．
10．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，
两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（ ）．观察图形，发现多项式
可因式分解为____________．三、解答题
11．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) ； (2) ；
12．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）因式分解
(1) (2)
13．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
14．（2021·山西临汾·八年级期中）在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式
进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．
解：令 ，
则原式 ．∵ ，∴原式 ．
老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：
(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果
______（如果是则不用填写）．
(2)请模仿以上方法对多项式 进行因式分解．
15．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得 由于我
们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ．
通过观察可如可把 中的 着作是未知数． 、 、 、 在作常数的二次三项式：通
过观察 可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 与常数项
分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图 ，此分
解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项
式 的二项式系数 与常数项 分别进行适当的分解，如图 ，则 ．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解： ；
(2)用十字相乘法因式分解： ；(3)结合本题知识，因式分解： ．
16．（2022·广东广州·八年级期末）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的
多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，
用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就
会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过
程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，
而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
17．（2022·江西吉安·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法
和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组
分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在
阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：① ；
② ；
（2）已知 的三边 满足 ，试判断 的形状．
