文档内容
14.4 因式分解综合
【考点1: 因式分解的定义】
【考点2:公因式】
【考点3:提公因式】
【考点4: 因式分解-平方差】
【考点5: 因式分解-完全平方】
【考点6：提公因式与公式法综合】
【考点7：十字相乘法】
知识点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差
的形式．
【考点1: 因式分解的定义】
【典例1】下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
(3−x)(3+x)=9−x2 x2−2x+3=x(x−2)+3
C．2x−8=2(x−4) D．18x2y=2x⋅3x⋅3 y
【变式1-1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
a(x−y)=ax−ay a2−b2=(a+b)(a−b)C． D．
x2+2x+1=x(x+2)+1 (x+1)(x+3)=x2+4x+3
【变式1-2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
x(x+1)=x2+x x2+xy−3=x(x+ y)−3
C． D．
x2+6x+4=(x+3) 2−5 x2+2x+1=(x+1) 2
【变式1-3】下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
a2−4+3a=(a−2)(a+2)+3a x2+4x+4=(x+2) 2
C． ( 1) D．
x+1=x 1+ (x+1)(x−1)=x2−1
x
知识点2：公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
【考点2:公因式】
【典例2】将多项式−6ab2+18a2b2−12a3b2c分解因式，应提取的公因式是 ．
【变式2-1】多项式8a3b2−4a2bc的公因式是： ．
【变式2-2】把4x3y2z−6x y2z3+12x y3z2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．4x2y2z B．2x y2z C．6xy D．2
【变式2-3】多项式−8x2y3z+12x y2z3−24x3yz2的公因式是（ ）
A．−xyz B．−4x3y3z3 C．4xyz D．−x3y3z3知识点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏
项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【考点3:提公因式】
【典例3】分解因式：
(1)a²x²−ax (2)−14abc−7ab+49ab2c
【变式3-1】将下列各式分解因式：
(1) a2−5a； (2)ab+ac；
(3)4a3b2−6ab3c； (4)x2y−2x2y3−3x3y．
【变式3-2】把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
−5a2b3+20ab2−5ab (x+ y)(x−y)−(x+ y) 2(3) ； (4) ．
8a(x−y) 2−4(y−x) 3 x(x2−xy)−(4x2−4xy)
【变式3-3】分解因式：
(1)21xy−14xz+35x2； (2)15xy+10x2−5x；
(3) ； (4) ．
(2a+b)(3a−2b)−4a(2a+b) (x−2) 2−x+2
知识点4：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【考点4: 因式分解-平方差】
【典例4】分解因式：9a2−4b2= ．
【变式4-1】分解因式：25 y2−4x2= ．
【变式4-2】分解因式：9a2−16b2= ．
【变式4-3】分解因式： ．
9(x+ y) 2−(x−y) 2=
【考点5: 因式分解-完全平方】【典例5】分解因式a2−6a+9的结果是 ．
【变式5-1】分解因式：4+4m+m2= ．
【变式5-2】分解因式：9a2−6ab+b2= ．
【变式5-3】因式分解：9m2+6m+1= ．
知识点5：提公因式与公式法综合
（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成
公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
【考点6：提公因式与公式法综合】
【典例6】分解因式：
(1)3a2−12 (2)3a3−6a2b+3ab2．
【变式6-1】分解因式：
(1) ； (2) ．
x2(m−n)+64(n−m) −2m3+12m2−18m
【变式6-2】把下列各式因式分解．
(1)a3−4a； (2)x2y−6xy+9 y．【变式6-3】分解因式
(1)12x3y−3x y3 (2)3ax2−6axy+3a y2
知识点5：十字相乘法
1. x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
【考点7：十字相乘法】
【典例7】提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：
，将该式从右到左使用，就可以对形如
(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab
的多项式进行进行因式分解即 ．观察多项式
x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
x2+(a+b)x+ab解决问题：
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+3)(x+2)
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
①x2−5x−24；②x2+8x+12；③x2−x−12．
(2)知识迁移：对于多项式4x2−4x−15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图2中的
两个2x的积，再将常数项−15分解成−5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为−4x，就是
的一次项，所以有 ．这种分解因式的方法叫做“十字
4x2−4x−15 4x2−4x−15=(2x−5)(2x+3)
相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2−19x−14
【变式7-1】探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
(1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）；
【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道 ，将该式从右到左地使用，
(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab
即可对形如 的多项式进行因式分解，即：
x2+(a+b)x+ab
；
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
此类多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
x2+(a+b)x+ab
(2)猜想并填空：x2+8x+15=x2＋（___＋_____）x＋___×_____＝（x＋_____）（x＋_____）；
(3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
①x2+8x+12 ②x2−x−12【变式7-2】在数学学习中， 是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法
x2+(p+q)x+pq
和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题．
材料二：分解因式：
x2−14x+24
材料一：分解因式：
解：原式
x2−14x+24
=x2−2⋅x⋅7+72−72+24
解：∵24=(−2)×(−12)
=(x−7) 2−49+24
(−2)+(−12)=−14
=(x−7) 2−25
∴x2−14x+24=(x−2)(x−12)
=(x−7+5)(x−7−5)
=(x−2)(x−12)
(1)按照材料一提供的方法分解因式：x2−20x+75；
(2)按照材料二提供的方法分解因式：x2+12x−28．
【变式7-3】【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢?
在第102页的练习第2题中，我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法
法则推导得出：(x+p)(x+q)
=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ①
利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子x2+3x+2分解因式。这个式
子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.利
用①式可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十
字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求
代数和，使其等于一次项系数（图1）.
这样，我们也可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2).
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：y2+7 y−18=_____________；【知识应用】
（2） ，则 _________， _________；
x2+mx+3=(x+n)(x−3) m= n=
【拓展提升】
（3）如果 ，其中m，p，q均为整数，求m的值.
x2+mx+6=(x+p)(x+q)
1．已知xy=−3，x−y=2，则代数式x y2−x2y的值是（ ）
A．−6 B．6 C．−5 D．−1
2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+9 B．x2+2x−1 C．x2+x+1 D．x2+4x+4
3．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．
a2−9=(a−3)(a+3)
B．
(x−y) 2=x2−y2
C．
x2−4x+4k=(x+2)(x−2)+4k
D． x2+3x+1=x ( x+3+ 1)
x
4．将多项式x3−x分解因式正确的是（ ）A． B． C． D．
x(x2−1) x(1−x2 ) x(x+1)(x−1) x(1+x)(1−x)
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形
状是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．只有两边相等的三角形 D．无法确定
6．多项式x2−9与多项式x2+6x+9的公因式是（ ）
A． B． C． D．
x+3 (x+3) 2 x−3 (x−3)(x+3) 2
7．若有理数 ， 满足 ，则 的值等于（ ）
x y |2x−1)+ y2−4 y+4=0 xy
A．2 B．−2 C．1 D．−1
8．已知ab=3,a+b=2，则代数式ab2+a2b−3ab的值为（ ）
A．−3 B．0 C．3 D．2
9．分解因式：3a2b−15ab2= ．
10．因式分解：a2−2a+1= ．
11．已知mn=2，n+m=3，则m2n+mn2= ．
12．因式分解：m3−25m= ．
13．多项式a2−4b2与a2−4ab+4b2的公因式是 ．
14．因式分解： ．
16(x+ y) 2−(x−y) 2=
15．因式分解：
(1)−3x2−6xy−3 y2；
(2)8(a−b)+c(b−a)．
16．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6cm，他
想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程
（π取3）．17．因式分解
(1)−8x3+24x2−18x (2)4x−x3
1
(3)(y2+4) 2 −16 y2 (4)− x−x2(x+1)
4
18．因式分解：
(1)2a(y−z)−3b(z−y) (2)3ax2+6axy+3a y2
19．小明遇到下面一个问题：
计算． ．
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解
决问题，具体解法如下：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)=(28−1)(28+1)
=216−1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(2)
(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
(3)( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )
1− × 1− × 1− ×⋯× 1− 1−
22 32 42 492 502
