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专题 04 因式分解（七大类型）
【题型1 因式分解的定义】
【题型2 公因式】
【题型3 提公因式】
【题型4 因式分解-平方差】
【题型5 因式分解-完全平方】
【题型6 提公因式与公式法综合】
【题型7 十字相乘法】
【题型1 因式分解的定义】
1．（2023春•临汾期末）下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（
）
A．x2+4x﹣5＝x（x+4）﹣5 B．a（x+y）＝ax+ay
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1
【答案】C
【解答】解：A、x2+4x﹣5＝x（x+4）﹣5，没把一个多项式转化成几个整式
积的形式，故A不合题意；
B、a（x+y）＝ax+ay，是整式的乘法，故B不合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，是整式的乘法，故D不合题意；
故选：C．
2．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
【答案】见试题解答内容【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
D．符合定义，故选项正确，符合题意．
故选：D．
3．（2023春•成都期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（
）
A．ax+ay+a＝a（x+y） B．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4
C．m2﹣6m+9＝（m﹣3）2 D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1
【答案】C
【解答】解：A、ax+ay+a＝a（x+y+1），故本选项不符合题意；
B、（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不
符合题意；
C、m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，是因式分解，故本选项符合题意；
D、x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式不
是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（2023春•长清区期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（
）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）
【答案】D
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式积，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，故D正确；
故选：D．
【题型2 公因式】
5．（2023春•亭湖区期中）多项式a2+3ab的公因式是（ ）
A．a B．a2 C．3a D．ab【答案】A
【解答】解：a2+3ab的公因式是a．
故选：A．
6．（2023 春•新田县期中）多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2 的公因式是
（ ）
A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
【答案】C
【解答】解：多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是﹣4xyz，
故选：C．
7．（2023•龙岗区校级一模）式子n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
【答案】A
【解答】解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），
∴n2﹣1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
8．（2023春•新邵县期中）多项式8x2﹣4x中各项的公因式是（ ）
A．4 B．2x﹣1 C．4x﹣1 D．4 x
【答案】D
【解答】解：由于8x2﹣4x＝4x•2x﹣4x×1，
因此多项式8x2﹣4x中各项的公因式是4x，
故选：D．
9．（2023春•佛冈县期中）把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，
另一个因式是（ ）
A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x
【答案】C
【解答】解：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝（x﹣3）（2
﹣x），
故选：C．
10．（2022秋•宝山区校级期中）有两个多项式M＝x2﹣1，N＝x2+2x+1，则M
与N的公因式的是（ ）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．2x﹣1
【答案】A
【解答】解：由题意可知：M＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），N＝（x+1）2，
∴M与N的公因式的是x+1，
故选：A．
11．（2022秋•桓台县期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）
A．x﹣y B．x+4y C．x﹣2y D．x+2y
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，
∴多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是x+2y．
故选：D．
12．（2021秋•丰泽区校级期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）
中，公因式是（ ）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
【答案】C
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【题型3 提公因式】
13．（2023•衡山县二模）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，故选：B．
14．（2023 春•临漳县期末）将﹣ a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是
（ ）
A．a+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a﹣2b
【答案】A
【解答】解：∵﹣ a2b﹣ab2＝﹣ ab（a+2b），
∴﹣ a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是：a+2b．
故选：A．
15．（2023•丰润区模拟）如图，边长为a、b的长方形周长为12，面积为5，
则a3b+ab3的值为（ ）
A．60 B．120 C．130 D．240
【答案】C
【解答】解：∵边长为a、b的长方形周长为12，面积为5，
∴a+b＝6，ab＝5，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+2ab+b2＝36，
∴a2+b2＝36﹣2×5＝26，
∴a3b+ab3＝ab（a2+b2）
＝5×26
＝130．
故选：C．
16．（2023•清镇市模拟）把多项式x2﹣3x分解因式是（ ）
A．x（x+3） B．x（x﹣3） C．（x+3）2 D．（x+3）（x﹣
3）【答案】B
【解答】解：x2﹣3x＝x（x﹣3）．
故选：B．
17．（2023秋•海门市校级月考）分解因式：H2﹣HJ＝ H （ H ﹣ J ） ．
【答案】H（H﹣J）．
【解答】解：H2﹣HJ＝H（H﹣J）．
故答案为：H（H﹣J）．
18．（2023•南通）分解因式：a2﹣ab＝ a （ a ﹣ b ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
19．（2023•蒙城县三模）因式分解 12abc2﹣3ab＝ 3 ab （ 2 c +1 ）（ 2 c ﹣ 1 ）
．
【答案】3ab（2c+1）（2c﹣1）．
【解答】解：12abc2﹣3ab＝3ab（4c2﹣1）
＝3ab（2c+1）（2c﹣1）．
故答案为：3ab（2c+1）（2c﹣1）．
20．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝ （ y ﹣ 1 ）（ x ﹣ 4 ）
．
【答案】（y﹣1）（x﹣4）．
【解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x
﹣4）．
21．（2023•金水区校级二模）分解因式：6x2y﹣3xy＝ 3 x y （ 2 x ﹣ 1 ） ．
【答案】3xy（2x﹣1）．
【解答】解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案为：3xy（2x﹣1）．
【题型4 因式分解-平方差】
22．（2022秋•苏家屯区校级期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的
是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9【答案】D
【解答】解：A、a2+（﹣b）2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错
误；
B、5m2﹣20m＝5m（m﹣4），无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
C、﹣x2﹣y2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D、﹣x2+9＝（3﹣x）（3+x），符合题意，故此选项正确．
故选：D．
23．（2023春•大竹县校级期末）把x2﹣9分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x﹣9） B．（x+9）（x﹣9）C．（x+3）（x﹣3）D．（x﹣3）2
【答案】C
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故选：C．
24．（2023•南阳一模）多项式m2﹣4m+4因式分解的结果是（ ）
A．m（m﹣4）+4 B．（m+2）（m﹣2）C．（m+2）2 D．（m﹣2）2
【答案】D
【解答】解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．
故选：D．
25．（2023•合肥三模）将多项式1﹣4x2因式分解，正确的是 （ ）
A．（2x+1）（2x﹣1） B．（1﹣2x）（1+2x）
C．（1+2x）（2x﹣1） D．（1+4x）（1﹣4x）
【答案】B
【解答】解：1﹣4x2＝（1﹣2x）（1+2x）．
故选：B．
26．（2023•工业园区校级二模）分解因式：m2﹣16＝ （ m + 4 ）（ m ﹣ 4 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（m+4）（m﹣4），
故答案为：（m+4）（m﹣4）
27．（2023•四平模拟）因式分解：m2﹣4n2＝ （ m + 2 n ）（ m ﹣ 2 n ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：m2﹣4n2，＝m2﹣（2n）2，
＝（m+2n）（m﹣2n）．
28．（2023•大安市校级四模）分解因式：25b2﹣9＝ （ 5 b + 3 ）（ 5 b ﹣ 3 ） ．
【答案】（5b+3）（5b﹣3）．
【解答】解：原式＝（5b）2﹣32
＝（5b+3）（5b﹣3）．
故答案为：（5b+3）（5b﹣3）．
29．（2023春•连平县期中）若m+n＝10，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ 2 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m+n＝10，m﹣n＝2，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝10×2＝20．
故答案为：20．
30．（2023•鹿城区一模）因式分解：4x2﹣25＝ （ 2 x + 5 ）（ 2 x ﹣ 5 ） ．
【答案】（2x+5）（2x﹣5）．
【解答】解：4x2﹣25
＝（2x）2﹣52
＝（2x+5）（2x﹣5）．
故答案为：（2x+5）（2x﹣5）．
31．（2023•萧山区校级模拟）因式分解 9a2﹣4c2＝ （ 3 a + 2 c ）（ 3 a ﹣ 2 c ）
．
【答案】（3a+2c）（3a﹣2c）．
【解答】解：原式＝（3a+2c）（3a﹣2c）．
故答案为：（3a+2c）（3a﹣2c）．
【题型5 因式分解-完全平方】
32．（2022秋•平泉市校级期末）分解因式x2﹣2x+1的结果是（ ）
A．x（x﹣2） B．2（x2﹣2x+1） C．（x﹣1）2 D．（2x﹣2）2
【答案】C
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．
故选：C．33．（2023春•绍兴期中）分解因式：m2﹣14m+49＝ （ m ﹣ 7 ） 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（m﹣7）2．
故答案为：（m﹣7）2
34．（2023春•长安区期末）因式分解：1﹣4m+4m2＝ （ 1 ﹣ 2 m ） 2 ．
【答案】（1﹣2m）2．
【解答】解：1﹣4m+4m2＝（1﹣2m）2，
故答案为：（1﹣2m）2．
35．（2023•五华区校级模拟）分解因式：x2﹣6x+9＝ （ x ﹣ 3 ） 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2
36．（2023•历下区模拟）因式分解： ＝ （ m + ） 2 ． ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：m2+m+ ＝（m+ ）2．
故答案为（m+ ）2．
37．（2023•长沙县二模）因式分解：4a2+4a+1＝ （ 2 a + 1 ） 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，
故答案为：（2a+1）2
【题型6 提公因式与公式法综合】
38．（2023•绥德县校级开学）因式分解：2x2y﹣4xy+2y．
【答案】2y（x﹣1）2．
【解答】解：原式＝2y（x2﹣2x+1）
＝2y（x﹣1）2．
39．（2023•清江浦区校级开学）因式分解：
（1）4a2﹣b2；
（2）x2（a﹣b）+y2（b﹣a）．【答案】（1）（2a+b）（2a﹣b）；
（2）（a﹣b）（x+y）（x﹣y）．
【解答】解：（1）4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）；
（2）原式＝x2（a﹣b）﹣y2（a﹣b）
＝（a﹣b）（x2﹣y2）
＝（a﹣b）（x+y）（x﹣y）．
40．（2023春•蒲城县期末）分解因式：2x2y﹣8xy+8y．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．
41．（2023春•榆阳区期末）因式分解：4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）．
【答案】（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）．
【解答】解：4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）
＝（a﹣b）（4a2﹣1）
＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）．
42．（2023春•茌平区期末）因式分解：
（1）4a3﹣4a；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3．
【答案】（1）4a（a+1）（a﹣1）；
（2）﹣y（3x﹣2y）2．
【解答】解：（1）原式＝4a（a2﹣1）
＝4a（a+1）（a﹣1）；
（2）原式＝﹣y（9x2﹣12xy+4y2）
＝﹣y（3x﹣2y）2．
43．（2022秋•灵宝市校级期末）分解因式：
（1）x3y﹣2x2y2+xy3；
（2）（x+a）2﹣（x﹣b）2；
（3）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2．
【答案】（1）xy（x﹣y）2；
（2）（2x+a﹣b）（a+b）；
（3）5（x+1）（x﹣9）．【解答】解：（1）x3y﹣2x2y2+xy3
＝xy（x2﹣2xy+y2）
＝xy（x﹣y）2；
（2）（x+a）2﹣（x﹣b）2
＝[（x+a）+（x﹣b）][（x+a）﹣（x﹣b）]
＝（x+a+x﹣b）（x+a﹣x+b）
＝（2x+a﹣b）（a+b）；
（3）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）．
44．（2023春•大竹县校级期末）因式分解：
（1）（a﹣b）m2+（b﹣a）n2；
（2）a2+1﹣2a+4（a﹣1）
【答案】（1）（a﹣b）（m+n）（m﹣n）；
（2）（a﹣1）（a+3）．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）m2﹣（a﹣b）n2
＝（a﹣b）（m2﹣n2）
＝（a﹣b）（m+n）（m﹣n）；
（2）原式＝（a2+1﹣2a）+4（a﹣1）
＝（a﹣1）2+4（a﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣1+4）
＝（a﹣1）（a+3）．
【题型7 十字相乘法】
45．（2023•锦江区校级开学）把多项式 x2﹣2x﹣35因式分解为 （ x +5 ）（ x
﹣ 7 ） ．
【答案】（x+5）（x﹣7）．
【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x+5）（x﹣7）．
46．（2023春•安达市期末）分解因式：x2﹣x﹣12＝ （ x ﹣ 4 ）（ x + 3 ） ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（x﹣4）（x+3），
故答案为：（x﹣4）（x+3）
47．（2023•陇南模拟）分解因式：a2﹣3a﹣10＝ （ a ﹣ 5 ）（ a + 2 ） ．
【答案】（a﹣5）（a+2）．
【解答】解：原式＝（a﹣5）（a+2），
故答案为：（a﹣5）（a+2）．
48．（2023•沂源县二模）分解因式x2+2x﹣8＝ （ x + 4 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【答案】（x+4）（x﹣2）．
【解答】解：x2+2x﹣8
＝（x+4）（x﹣2），
故答案为：（x+4）（x﹣2）．
49．（2023•临淄区一模）分解因式：x2﹣5x+6＝ （ x ﹣ 2 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（x﹣2）（x﹣3），
故答案为：（x﹣2）（x﹣3）．
50．（2023春•山丹县校级期中）阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对
于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次
三项式中先加上一项 9，使其成为完全平方式，再减去 9这项，使整个式子
的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）
（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2﹣2ax﹣3a2．
【答案】（1）（x+2）（x﹣8）；
（2）（x+3a）（x﹣a）．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16
＝x2﹣6x+9﹣9﹣16
＝（x﹣3）2﹣25＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）
＝（x+2）（x﹣8）；
（2）x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）
＝（x+3a）（x﹣a）．
