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专题04 圆中的重要模型-四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共
圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点
共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四
点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于
定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2022·江苏·二模）如图，点 为线段 的中点，点 到点 的距离相等，若
则 的度数是
例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O是 的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接 ．
下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D． 平分例3．（2022春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小
值．
例4．（2022·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，
∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
模型2、定边对双直角共圆模型
B
D
C
A C
A D E
E
B
同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形 中， ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022春·山东国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分
线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在
BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
例3．（2022春·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中
点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．例4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点
E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延
长线于点G，则 ＝ ．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H， ，结论： 四点共圆.
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边 ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝
CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，△则FT＝ ．例2．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，已知 中， ， ， ，
，过点 作 的垂线，与 的延长线交于点 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
例3．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在
底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落
在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
例4．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线
段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点 ， 是线段 同侧两点，且 ．
求证：点 ， ， ， 四点共圆．
证明：作 的外接圆 ，假设点 在 外或在 内．如图2，若点 在 外．设 与 交于点 ，连接 ，
则 （依据一），
又 （依据二），
．
．这与已知条件“ ”矛盾，故点 在 外不成立；
如图3，若点 在 内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作 的外接圆 ，点 在 上，即点 ， ， ， 四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；依据一： ； 依据二：
．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(3)填空：如图4，在四边形 中， ，
对角线 ， 交于点 ， 为 中点，若 ， ，则 ．
模型4、对角互补共圆模型
D
C
O
A B
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P， ， 结论：A、B、C、D四点共圆.
例1．（2022春·九年级课时练习）如图所示，正方形 中， 为对角线，点 为 上一点，过
作 ，交 于 ，求证： .
例2．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M是 外一动点，满足
，若 ， ， ，则 的长度为 ．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上的
动点，以 为斜边向上作等腰 ， ，连接 ，则 的最小值为 ．
例4．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成
四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往
可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．特殊情况分析：(1)如图1，正方形 中，点 为对角线 上一个动点，连接 ，将射线 绕点
顺时针旋转 的度数，交直线 于点 ．
小明的思考如下：
连接 ，∵ ， ，
∴ ，（依据1）
∵ ，∴ ，
∴点 共圆，
∴ ， ，（依据2）
∴ ，∴ ．（依据3）
填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；
一般结论探究：(2)将图1中的正方形 改为菱形 ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，
若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若 ， ，当 为直角三角形时，请直接写出线段 的
长．课后专项训练
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三
角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 中， ，AB=AC=5，点 在 上，且
，点E是AB上的动点，连结 ，点 ，G分别是BC，DE的中点，连接 ， ，当AG=FG
时，线段 长为（ ）A． B． C． D．4
3．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边 的边长为4，点F在 内运动，运动过程始终保持
，则线段 长度的最大值与最小值的差约为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在 中， ， 于点F， 于点
E， 交 于点O，点D是 的中点，连接 ， ， ，下列结论：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ 为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边 重合（
），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以每秒3度的速
度旋转， 与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．6．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在菱形 中， ，P为 上一动点，
于点Q，则 的最小值为 ．
7．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形 的边 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，过点
D作 的垂线，垂足E在线段 上，连接 ．若 ， ，则 的度数为 ．
8．（2022·浙江九年级课时练习）如图所示，在平行四边形 中，点 为 ， 的垂直平分线的交
点，若 ，求 .
9．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那么 ，
， ， 四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接 ，
则 （依据1）
点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点 ， 在点 ， ， 所确定的 上（依据2）
点 ， ， ， 四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形 中， ， ，则 的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重合），连接
．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ， ．
①求证： ， ， ， 四点共圆；
②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
10．（2022春·广东九年级课时练习）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，
已知 内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂
足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，则 （依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴ （依据2）．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴ （依据3）．
∵ ，
∴ （依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；
③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是 的中点时， ．请你利用图2证明该结论的正确性．
11．（2022春·九年级课时练习）如图1， ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线
CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以
下推理过程：∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
12．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知，如图①，在 中， ， ，
点E为 上的一动点，连接 ，过点C作 于点H，以 为腰作等腰直角
连接 ．
(1)求证：四边形 为正方形；(2)如图②，当D，H，G三点共线时，求 的值；(3)求 的
最小值．
13．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形 的对角线 交于点 ，以 为斜边
构造等腰 ，连接 ．(1)如图1，若 ， ，求 的面积．(2)如图2，延长 交 于点 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ， 与 交于点 ，且 ．求证： ．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰 内一点， ，
，将 绕着点A逆时针旋转 得到 ，求证： ．
尝试应用 如图2，点D为等腰 外一点， ， ，过点A的直线分别交 的延长
线和 的延长线于点N，M，求证： ．问题拓展 如图3， 中， ，点D，E分别在边 ， 上， ， ，
交于点H．若 ， ，直接写出 的长度（用含a，b的式子）．
15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接 ，如果 ，那么A，B，
C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的 ，在劣弧 上取一点E（不与A，C重合），连接 ， ，则
．
(1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形 中， ，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知 是等腰三角形， ，点D在 上（不与 的中点重合），连接
．作点C关于 的对称点E，连接 并延长交 的延长线于F，连接 ．①求证：A，D，
B，E四点共圆；②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明
理由
