思维拓展03函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 思维拓展 03 函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精 练） ①一元二次不等式中的恒成立和有解问题 ②基本不等式中的恒成立问题 ③函数不等式中的恒成立和有解问题 一、必备知识整合 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则 ①若 恒成立（即 无解），则 ； ②若 恒成立（即 无解），则 ； ③若 有解（即存在 使得 成立），则 ； ④若 有解（即存在 使得 成立），则 ； ⑤若 有解（即 无解），则 ； ⑥若 无解（即 有解），则 ． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的 取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如 ； ②倒数法分离参数：如 ； 【当 的值有可能取到，而 的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如 ； ⑤不完全分离参数法：如 ； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数 或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点， 再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ① 在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)． ② 在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)． ③ 在 上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ① ，使得方程 成立 ． ② ，使得方程 成 ． 五、其他恒成立类型三 ① ， ； ② ， ； ③ ， ； ④ ， ． 二、考点分类精讲【典例1】（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式 对任意 恒成立，则 ， 成立， 而 ，当且仅当 ，即 时取等号，因此 ， 所以实数 的取值范围是 . 故选：B 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若命题“ ”为真命题，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得不等式 在R上有解，结合 计算即可求解. 【详解】由题意可知，不等式 在R上有解， ∴ ，解得 ， ∴实数m的取值范围是 . 故选：A. 【典例3】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数 满足 且不等式 恒成 立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m 的范围.【详解】由题设 ， 当且仅当 时取等号， 又 恒成立，即 . 故选：A 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将原不等式转化为 ，再求 的最大值即可得到 的最小值. 【详解】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 故 ， 又 ， 当且仅当 时，等号成立， 故 ，实数 的最小值为 . 故选：D. 【题型训练-刷模拟】 1 . 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论 与 两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当 时，不等式 可化为 ，显然不合题意； 当 时，因为 的解为全体实数， 所以 ，解得 ； 综上： . 故选：C. 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题： 为假命题，则实数 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题： 为真命题，讨论a是否为 0，结合 时，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题： 为假命题， 则命题： 为真命题， 故当 时， ，即为 ，符合题意； 当 时，需满足 ，解得 ， 综合可得实数 的取值范围是 ， 故选：D 3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件 ：“不等式 的解集是空集”， 则条件 ： “ ”是条件 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分 和 两种情况讨论求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得 解. 【详解】因为不等式 的解集是空集，所以不等式 的解集是 ， 当 即 时， 若 ，则 ， 舍 ； 若 ，则 ， ； 当 时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件 是条件 的充分不必要条件． 故选：A． 4．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得 ，对 恒成立，构造函数，结合函数的单 调性求得其最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知函数 ，对 都有 成立， 即 对 恒成立， 即 ，对 恒成立， 设 ，由于 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，则 ，当且仅当 时等号成立， 故 ，即实数 的取值范围为 ， 故选：A 5．（2024·湖北·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，若对于任意的，不等式 恒成立，则实数x可能为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由 与 的关系且 为等差数列，求出 ，由 ，得 ，构造函数 ，由 在 时恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】因为 ， 时， ， 时， ， 所以 ， ， ， 因为 为等差数列，所以 ， ， 从而 ， ， 所以 ，即 ， 则当 时， 恒成立， ，解得 或 ， 只有选项A符合题意， 故选：A 6．（23-24高三上·山东日照·开学考试）命题“ ， ”为真命题的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把特称命题为真命题转化为 对 有解，分离参数，求解函数最值即可求解. 【详解】因为命题“ ， ”为真命题，所以 对 有解， 即 对 有解，所以 ， 又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得最小值为 ， 所以 ，即 ，故命题“ ， ”为真命题的充要条件是 . 故选：A 7．（2023·福建宁德·模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断. 【详解】∵ ，则 ，即 ， ∴a的取值范围 由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为 的真子集， 结合选项可知B对应的集合为 为 的真子集，其它都不符合， ∴符合的只有B， 故选：B. 8．（22-23高二下·四川乐山·期末）已知函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数 的导数，利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解作答. 【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ， 依题意，不等式 在 上有解，而 ， 当且仅当 时取等号，则 ， 所以实数 的取值范围是 . 故选：B 2 . 基本不等式中的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的 ，不等式 恒成立，结合基本不等式 运算求解. 【详解】因为 ，且 ，整理得 ， 所以原题意等价于对任意的 ，不等式 恒成立， 又因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 . 故选：A. 2．（22-23高三·全国·课后作业）已知x＞0，y＞0，且 ，若不等式 恒成立，则 实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得 ，根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求出 的最小值，解不等式即 可得解． 【详解】 可化为 ， 则 ， 当且仅当 时等号成立，即 的最小值为8， 因为 恒成立，所以 ，解得 ， 则实数m的取值范围是 ． 故选：A． 3．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 对任意 恒成立，则正实数a的取值集 合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得 对任意 恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得 的取值集合. 【详解】由题意可得 对任意 恒成立， 由 ，可得 ， 当且仅当 ，即 时，取得等号， 则 ，解得 . 故选：C. 4．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合条件，由 可得 ，然后由 可 得答案. 【详解】因为 ，所以 ， 所以由 可得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，当且仅当 ， 时取等号， 故选：B． 5．（2024·四川成都·三模）设函数 ，正实数 满足 ，若 ，则 实数 的最大值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A【分析】依题意可得 ，从而得到 ，再令 ，最后利用基本不等 式计算可得. 【详解】因为 ，所以 ， ， 又 ， 所以 ，即 ， 因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ， 又 ，即 ， 所以 ，所以 ， 令 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，所以 ， 则实数 的最大值为 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出 ，从而参变分离得到 ，再换元、利用基本不 等式求出 的最小值. 6．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式 对所有的正实数 , 恒成立，则 的 最大值为（ ）A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得 ，令 ，则有 ， ，结 合基本不等式求得 ，于是有 ，从而得答案. 【详解】解：因为 , 为正数，所以 ， 所以 ，则有 ， 令 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 ， ， 又 ，所以 ， 即 ， 所以 的最小值为1， 所以 ， 即 的最大值为1. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得 解. 3 . 函数不等式中的恒成立和有解问题 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得 ， 恒成立，结合给定单调性列式求解即得.【详解】依题意， ， 恒成立，即 ， 恒成立，则 ， 函数 有意义，则 ，解得 或 ， 显然函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递增， 从而函数 在 上单调递增， 所以实数 的取值范围是 . 故选：D 2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为 在 上的最大值大于等于 在 上的最大值，利用对勾函数、指数函数单 调性求区间最值，即可求参数范围. 【详解】由题设，只需 在 上的最大值大于等于 在 上的最大值即可， 对于 在 上递减，故 ； 对于 ，在 上递增，故 ； 所以 . 故选：C 3．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数 的定义域为 ，若存在 ， 满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由已知结合函数的单调性可求 的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解.【详解】令 ，且 在 单调递减，所以 的最小值为 ， 可得 ，且 ， 所以 在 上单调递增，所以 因为存在 ，满足 ， 则 ， 所以 解得： ， 故选：D. 4．（22-23高二下·山西运城·期末）若 ，使得 成立，则实数 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得 ，使得 成立，令 ，分类讨论 ， 和 ，求得 的最值即可得出答案. 【详解】若 ，使得 成立， 则 ，即 ， 当 时， 成立， 当 时，令 ， 在 上单调递增， 即 ，则 ，解得： ， 因为 ，所以 ， 当 时，令 ， 在 上单调递减， 即 ，则 ，解得： ， 因为 ，所以 ， 综上：实数 取值范围是 .故选：B. 5．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知 ， ， ， 使 成立.则a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为 在 上成立，利用指对数的单调性求对应最值，再求解不等 式解集即可. 【详解】由题设 ，使 成立， 所以 在 上成立， 对于 ，有 ， 对于 ，有 ， 所以 ，即 ，可得 . 故选：B 6．（23-24高三上·云南大理·期中）若对 ，使得 （ 且 ）恒成立，则实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分 与 两种情况，对不等式变形后，结合函数单调性求出最值，从而得到实数 的取值 范围. 【详解】若 （ 且 ）对任意的 都成立． ①当 时， ，由 变形得到 ，故 ， 因为指数函数 在 上单调递增，故要使得 对任意 成立， 只需 ，即得 ； ②当 时， 变形为 ，即得 ，因为指数函数 在 上单调递减，要使得 对任意 成立， 只需 ，即 ，即得 ， 因此，结合题意可知要使得对 ，使得 （ 且 ）恒成立， 取 与 的交集，可知 ， 故选：A． 7．（2024·上海黄浦·二模）设函数 ，若 恒成立，则实数a的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分 和 两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当 时， 恒成立，即 恒成立， 当 时，上式成立； 当 ， ，明显函数 在 上单调递增， 所以 ，所以 ； 当 时， 恒成立，即 恒成立， 令 ，则 在 上恒成立， 又 开口向下，对称轴为 ， 所以 的最大值为 ， 所以 ， 综上：实数a的取值范围是 . 故选：D.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 在 上恒成立， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数 的奇偶性以及单调性，从而将不等式 在 上恒 成立，转化为 在 上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值， 即可得答案. 【详解】由于函数 ，定义域为R，满足 ， 得 是奇函数，且在R上为减函数. 在 上恒成立， 在 上恒成立， 在 上恒成立， 在 上恒成立. 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即a的取值范围为 ， 故选：D.