文档内容
猜想 04 整式的乘法与因式分解（易错必刷 30 题 10 种题型专项训练）
一．幂的乘方与积的乘方（共4小题） 二．同底数幂的除法（共2小题）
三．多项式乘多项式（共4小题） 四．完全平方公式的几何背景（共4小题）
五．完全平方式（共2小题） 六．平方差公式（共3小题）
七．平方差公式的几何背景（共3小题） 八．整式的除法（共3小题）
九．因式分解的意义（共2小题） 十．因式分解的应用（共3小题）
一．幂的乘方与积的乘方（共4小题）
1．（2023春•顺义区期中）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（ ）
A．35 B．19 C．12 D．10
2．（2023春•宝塔区期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
3．（2023秋•叙州区校级月考）给出下列等式：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝（a+2b）9；②25•25＝26；
③a2m＝（﹣am）2；④a2m＝（﹣a2）m．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋•东城区校级期中）若am＝2，an＝3，则a2m+n＝ ．
二．同底数幂的除法（共2小题）
5．（2023秋•龙华区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7 B．（a3）2＝a5
C．（﹣ab3）2＝﹣a2b6 D．a9÷a6＝a3
6．（2023秋•叙州区校级月考）已知 ， ，那么2016m﹣n＝（ ）
A．0 B．1 C．2016 D．20162
三．多项式乘多项式（共4小题）
7．（2023秋•长沙期中）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m、n的值分别是（ ）
A．m＝1，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝5，n＝﹣6 D．m＝5，n＝6
8．（2023秋•榆树市校级月考）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）A．﹣3 B．3 C．0 D．1
9．（2023秋•洛阳期中）[知识回顾]
有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含
x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3．
[理解应用]
（1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值；
（3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠
地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，
1
左下角的面积为S ，当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2 1 2
10．（2022秋•南昌期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是
；
（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+ ，①求（a﹣2）（b﹣2）的值；
②求 + +1的值．
四．完全平方公式的几何背景（共4小题）
11．（2023秋•安溪县期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为
；
（2）若实数a，b，c满足2a•4b•8c＝16，a2+4b2+9c2＝30，求2ab+3ac+6bc的值．
12．（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学
等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；（2）解决问题：如果 ，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
求这个长方形的面积．
13．（2023秋•方城县月考）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长
为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图
形并解答下列问题．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；
方法1： ；方法2： ；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式
．
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多
少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方
形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S +S ＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面
1 2
积．
14．（2023•永修县开学）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）
剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含m，n的式子表示）；（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：
（i）若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值；
（ii）若a+ ＝3，求a2+ 的值．
五．完全平方式（共2小题）
15．（2023秋•滨海新区校级期中）若x2+mx+49是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．7 B．14 C．﹣14 D．±14
16．（2022秋•青云谱区期末）若 25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是
．
六．平方差公式（共3小题）
17．（2023秋•路南区期中）若x+y＝5，x﹣y＝6，则x2﹣y2的值为（ ）
A．1 B．11 C．30 D．35
18．（2023秋•尧都区期中）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
19．（2023秋•衡南县期中）下列能使用平方差公式的是（ ）
A．（x+3）（x+x） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（ m+n）（﹣ m﹣n） D．（3m+n）（3m﹣n）七．平方差公式的几何背景（共3小题）
20．（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部
分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（
）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
21．（2022秋•海珠区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部
分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
22．（2023•无为市校级开学）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影
部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
八．整式的除法（共3小题）
23．（2023秋•龙华区校级期中）计算（x2y）3÷（2xy）3的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023秋•朝阳区校级月考）一个三角形的面积是8（a2b）3，它的一边长是（2ab）2，那么这条边上
的高为（ ）
A．2a4b B．4a4b C．2a3b D．4a3b
25．（2023春•房山区期末）计算：（8a4+6a）÷2a＝ ．
九．因式分解的意义（共2小题）
26．（2023秋•晋江市期中）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay
B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．xy﹣1＝xy（1﹣ ）
27．（2023秋•东城区校级期中）因为x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），令x2+x﹣6＝0，则（x+3）（x﹣2）＝
0，x＝﹣3或x＝2，反过来，x＝2能使多项式x2+x﹣6的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，求m的值；（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，试求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+ax2﹣5x+b因式分解的结果为 ．
十．因式分解的应用（共3小题）
28．（2023春•渠县校级期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是
．
29．（2023秋•乐至县校级期中）观察下列分解因式的过程：
x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）．
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2﹣4xy﹣5y2；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
30．（2022秋•天山区校级期末）在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几
何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽
为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：（a+b）2
＝a2+2ab+b2．请你解答下面的问题：
（1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ；
（2）利用图1中的三种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，请你分析这个长方形的长和
宽．
