文档内容
人教 专题 14.3 因式分解（5 个知识点 7 种题型 3 个易错点 4 个中考考
点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.因式分解
知识点2提公因式法（重点）
知识点3.平方差公式法（重点）
知识点4.完全平方公式法（重点）
x2 +(p+q)x+pq
知识点5. 型式的因式分解（拓展）
【方法二】 实例探索法
题型1.因式分解
题型2.利用因式分解进行简便计算
题型3.利用因式分解求代数式的值
题型4.利用因式分解解决整除问题
题型5.拼图问题中的因式分解
题型6.因式分解的实际应用
题型7.因式分解在解三角形问题中的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.用提公因式法分解因式时易出现漏项、丢系数或符号错误
易错点2.分解因式不彻底
易错点3.走回头路
【方法四】 仿真实战法
考法1.提公因式法分解因式
考法2.平方差公式法分解因式考法3.提公因式法与平方差公式法分解因式的综合应用
考法4.提公因式法与完全平方公式法分解因式的综合应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是方向相反的变形。
2. 掌握提公因式法和公式法这两种因式分解的基本方法。
3. 能熟练地用提公因式法或公式法进行多项式的因式分解。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.因式分解
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也
叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
【例1】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即
可．
【详解】解： 、 ，等号右边不是整式与整式的积，它不是因式分解，
则 不符合题意；
、 是整式乘法运算，不是因式分解，
则 不符合题意；
C、 符合因式分解的定义，
则C符合题意；
、 ，等号右边不是积的形式，它不是因式分解，
则 不符合题意，
故选： ．
知识点2提公因式法（重点）
1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．
2、提取公因式法：多项式 各项都含有公因式 ，可把公因式 提到外面，
将多项式 写成 与 的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
3、提取公因式的步骤：
（1）找出多项式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成 与 的乘积形式．
4、提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净；
（2）视“多”为“一”；
（3）切勿漏1；
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
【例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）多项式 的公因式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了公因式的找法，依据“多因式中各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低
次幂”找公因式，解是解答此题的依据．
【详解】解：多项式 的各项公因式是 .
故选：C．
【变式1】指出下列各式中的公因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式．
【总结】本题主要考查公因式的定义．
【变式2】分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ； （2） ；
（3） ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，
并注意其它项的符号的变化
【变式3】分解因式：（1） ； （2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ； （2） ；
（3） ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母
的最低次幂．
知识点3.平方差公式法（重点）
平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；
（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；
（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
【例3】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）下列式子为多项式 的因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式分解因式，即可解答．此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公
式是解题关键．
【详解】解： ，
故选：B
知识点4.完全平方公式法（重点）
完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2
运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；
（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的 2 倍；
（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二
项的符号相同；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
【例4】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）下列各项中，能用完全平方公式分解的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，掌握完全平方公式 进行因式分解是解题的关键．
观察各式的形式，符合 即可运用完全平方公式进行因式分解．
【详解】① ，是完全平方式；
② 不是完全平方式；
③ 不是完全平方式；
④ 不是完全平方式；
⑤ 是完全平方式．
完全平方式共2个，
故选：B．
知识点5.
x2 +(p+q)x+pq
型式的因式分解（拓展）
1、二次三项式：
2 2
多项式ax bx c ，称为字母 x 的二次三项式，其中ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．
2、十字相乘法的依据
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则． 如在2
多项式乘法中有： (x a)(x b) x (a b)x ab ，
2
反过来可得： x (a b)x ab (x a)(x b) ．
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【例5】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）代数式 分解因式
的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解．
【详解】解：
故选：B．
【方法二】实例探索法
题型1.因式分解
1．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确
的是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式因式分解逐项排除即可得到答案，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义．
【详解】解：∵ ，因此选项 不正确；
∵ ，因此选项 不正确；
∵ ，因此选项 不正确；
∵ ，因此选项 正确．
故选： ．
题型2.利用因式分解进行简便计算
2.小淇将 展开后得到 ；小尧将 展开后得到 ，若两
人计算过程无误，则 的值为（ ）
A． B．4043 C． D．1
【答案】C
【分析】根据完全平方公式可得 再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解： 展开可得：
展开可得：
∴
故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
题型3.利用因式分解求代数式的值
3.已知 x2 x 2016，y2 y 2016 且 x y ，求 x2 2xy y2 的值
【答案】1．
【解析】由已知得： (x2 x) ( y2 y) 0 ，即 x2 y2 x y 0 ，
∴ x2 y2 (x y) 0 ，即(x y)(x y 1) 0
x y
原式 (x y)2 1．
【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．
题型4.利用因式分解解决整除问题
4．利用因式分解可以知道， 能够被（ ）整除.
A．18 B．28 C．36 D．64
【答案】D
【分析】根据平方差公式，进行多次分解，即可得出答案．
【详解】解：178-158
=（174-154）（174+154）
=（172-152）（172+152）（174+154），
=（17-15）（17+15）（172+152）（174+154），
=64（172+152）（174+154），
∴178-158能够被64整除．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式因式分解的应用，根据题意分别进行因式分解是解决问题的关键．
题型5.拼图问题中的因式分解
5．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅探索了整式
乘法与因式分解之间的内在联系，还学会了利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论，感受了数
形结合的思想方法．(1)观察下面图①的拼图，写出一个表示相等关系的式子： ．
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的等式为 ．
(3)两个边长分别为 ， ， 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼成图③，试用不同的方
法计算这个图形的面积．你能发现 ， ， 之间具有的相等关系为 ．（用最简形式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和即可得；
（2）根据大正方形的面积减去一个小正方形的面积之和等于四个小长方形的面积即可得；
（3）分别利用梯形的面积公式求出这个图形的面积和三个直角三角形的面积之和，由此建立等式．
【详解】（1）解：由图可知，大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和，
则 ，
故答案为： ．
（2）阴影面积
阴影面积还可以表示为
∴ ；
（3）解：这个图形是一个直角梯形，它的面积为 ，
这个图形的面积还等于三个直角三角形的面积之和，即 ，
则 ，整理得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积、乘法公式与图形面积，熟练掌握整式的乘法与乘法公式是解
题关键．
题型6.因式分解的实际应用
6.【学习材料】十字相乘法
对于形如 的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把 项系数a分解成两个因数 ， 的
积，即 ，把 项系数c分解成两个因数 ， 的积，即 ，并使 正好等于xy项
的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中 ， ，而 ，
而对于形如 的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图
2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果
， ， ；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原
式
例：分解因式：
解：如图3，其中 ， ， ，而 ， ， ，【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得 ，则 ______ ， ______ ．
(2)分解因式： ______ ；
______ ；
(3)若 且 ，求代数式 的值．
【答案】(1)2，5
(2) ；
(3)
【分析】（1）根据十字相乘法分解因式；
（2）根据十字相乘法分解因式；
（3）先把条件分解因式，再把分式化简求值．
【详解】（1）解： ，
， ，
故答案为：2，5；
（2）解：
，
故答案为： ； ；
（3）解： 且 ，
，
，
，【点睛】本题考查了因式分解，理解题中的十字相乘法是解题的关键．
题型7.因式分解在解三角形问题中的应用
7.课堂上老师指出：若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形
状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小
明的猜想和理由．
因式分解的应用．
【答案】等边三角形．
【详解】试题分析：由a、b、c是△ABC的三边可知，三边都大于0，解其方程得到a=b，b=c，c=a，从而
知道三角形一定是等边三角形．
试题分析：依题意得：
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0
所以a=b，b=c，c=a．
故△ABC是等边三角形．
考点：因式分解的应用，三角形三边关系，等边三角形的判定．
【方法三】差异对比法
易错点1.用提公因式法分解因式时易出现漏项、丢系数或符号错误
1.把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．【答案】 （1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之
后，在进行分解因式．
2.把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母
的最低次幂．
易错点2.分解因式不彻底
3.分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．【解析】（1）原式 ；
（2）原式
；
（3）原式
．
【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底．
易错点3.走回头路
3．（2023上·云南昆明·八年级云南师范大学实验中学校考期中）分解因式：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
（1）利用完全平方公式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解；
【详解】（1） ；
（2）
．
【注意】不要走回头路
【方法四】 仿真实战法
考法1.提公因式法分解因式
1．（2023·海南·统考中考真题）因式分解： ．【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．
考法2.平方差公式法分解因式
2．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方
差公式 ．
考法3.提公因式法与平方差公式法分解因式的综合应用
1.分解因式
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1）原式 ；（2）原式 ；
（3）原式 ．
【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．
考法4.提公因式法与完全平方公式法分解因式的综合应用
4．分解因式 ．【答案】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全
平方公式 ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义：“将一个多项式转化为几个整式的积的形式”，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，是因式分解，符合题意；
B、 ，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、 ，是整式的乘法，不符合题意；
D、 ，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故选A．
2．（2023上·山东东营·八年级校考期中）实数a，b满足 ， ，则 的值是
（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C【分析】此题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式，将 利用因式分解变形为
，然后将 代入得到 ，开方即可求解，解题的关键是掌握提公因式法分解因
式．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ．
故选：C．
3．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）若多项式 可以用平方差公式分解因式，则
的值可以为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断即可．熟记平方差公
式的公式结构是解题的关键．
【详解】解：A、 时， ，不可以用平方差公式分解因式，故本选项错误；
B、 时， ，不可以用平方差公式分解因式，故本选项错误；
C、 时， ，可以用平方差公式分解因式，故本选项正确；
D、 时， ，不可以用平方差公式分解因式，故本选项错误，故本选项错误．
故选：C．
4．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）已知 ，则当 时，d的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的运算，解题的关键是运用整体思想代入求值．【详解】解：
，
时，
，
故选：D．
5．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）已知 ，则
的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解是解题关键．将 变形
为 ，可得 ，再将 代入所求式子中即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
原式
，
故选：B．
6．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，分别对各选项中的多项式进行因式分解，然后判断即可．
【详解】解：A、 ，含有因式 ，不符合题意；
B、 ，含有因式 ，不符合题意；
C、 ，含有因式 ，不符合题意；
D、 ，不含因式 ，符合题意；
故选：D.
7．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）将多项式 进行因式分解得到 ，则
的值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把 运用多项式乘多项式的法则
展开，再与 进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，
因为多项式 进行因式分解得到 ，
所以
那么 ， ，
故 ， ，
所以 ，
故选：D
8．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、 ，结果不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，故
本选项错误，不符合题意；
B、 ，结果是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，故本选项正确，符合题
意；
C、 ，结果不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，故本选项错误，不
符合题意；
D、 ，结果不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，故本选项错误，
不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个
多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义，根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判
断即可，解题的关键在于正确理解因式分解的定义．
【详解】解： ．等式从左到右的变形，属于整式乘法，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形，属于整式乘法，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
．等式右边不是整式的积，故本选项不符合题意；故选： ．
10．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列各式不是 因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】题目主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，将原式分解因式，判断即可．
【详解】解：原式
．
∴ ， ， 是原多项式的因式， 不是 的因式，
故选A．
二、填空题
11．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）用提公因式法分解因式时，从多项式 中提出
的公因式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考
虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公
因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项
式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，
则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键．
【详解】解： ，
从多项式 中提出的公因式为 ，
故答案为： ．
12．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）若 ， ，则 的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了因式分解的应用，先分解因式，再把 ， 代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴．
故答案为：6．
13．（2023上·上海杨浦·八年级统考期中）在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查实数范围内的因式分解，解题的关键是先将式子进行配方，再用平方差公式进行因式分
解即可．
【详解】解：
故答案为： ．
14．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知 ，那么多项式 的值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据 可得出 ．再将 变形为
，整体代入即可得出 ，再次整体代入求值即可，利用整体代入的思想
是解题关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ．∴
．
故答案为：7．
15．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法和公式法分
解因式是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为： ．
16．（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）已知 ， 则 的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，先把 分解因式，再整体代入求值即可；
熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为：617．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）已知正方形的面积是
，则正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长．
【详解】解：∵ ， ，
∴正方形的边长为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正
方形的边长．
18．（2023上·山东济南·八年级校考期中）分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因数m，然后再运用平方差公式因式分解即可；灵活运用提取公因式法和公式法因式分
解成为解答本题的关键．
【详解】解： ．
故答案为 ．
三、解答题
19．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）因式分解下列各题：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）（1）因式分解： ；
（2）利用因式分解计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了因式分解．掌握各类分解方法是解题关键．
（1）综合利用提公因式法和公式法即可求解；
（2）将原式化为 ，即可利用提公因式法求解．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
21．（2023上·四川内江·八年级校考期中）分解因式
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解；
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
22．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用提取公因式因式分解即可；
（2）先运用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解解题即可．
【详解】（1））原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】本题考查分解因式，掌握先提取公因式，然后再运用公式分解因式，分解的每个因式都不能再分
解是解题的关键．23．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接提取公因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
24．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)(4) （十字相乘法）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解．选择合适的方法进行因式分解是解题的关键．
（1）直接提公因式即可；
（2）利用公式法进行因式分解即可；
（3）综合提公因式、公式法进行因式分解即可；
（4）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解； ．
25．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）直接利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
26．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正
整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为 ，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？
第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来： ， ， ， ，
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为 ， ，其中 ，且 为整数．
则 ．
(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都 是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；
(2)继续探究，他们发现 ， ，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想： ，且
为整数）均为智慧数请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．
【答案】(1)奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8
(2)见解析
(3)第2023个智慧数是2700，2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）
【分析】（1）由小明的探究可得， ，且为整数）是除1外，所有的奇数．根据探究可求得11、
15的智慧分解；
（2）借助小明的探究思路，可证猜想；
（3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数．
【详解】（1）解： ，且 为整数），
智慧数是除1外所有的奇数，
，
，
故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8；
（2）证明：设 ，且 为整数，
， ，
，
除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
且 为整数）均为智慧数；
（3）解：据探究得，智慧数是奇数时 ，且 为整数，智慧数是4的倍数时， 且 为整数，
正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，
，
，
第2023个智慧数是2700，
能被4整除，
．
【点睛】本题考查了对因式分解的推理，掌握对因式分解的反推是本题的关键．
