文档内容
第 15 讲 因式分解 （9 个知识点+9 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是
两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
知识点2．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．知识点3．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商
即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
知识点4．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形
式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
知识点5．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
知识点6．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因
式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
知识点7．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，
1 2 1 2
把常数项c分解成两个因数c ，c 的积c •c ，并使a c +a c 正好是一
1 2 1 2 1 2 2 1
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 1 2 2
知识点8．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ）
知识点9．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
题型强化
题型一．因式分解的意义
1．（2023秋•石河子校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A． B．
C． D．
2．（2024春•双流区期末）请你写出一个整式 ，使得多项式 能因式分解，这个整式 可以是
．
3．（2023秋•腾冲市校级月考）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式 等于整式 与整式 之积，则称整式 和整式 为整式 的因式．
如：①因为 ，所以 和 是 的因式．
②若 是 的因式，则求常数 的值的过程如下：
解： 是 的因式，
存在一个整式 ，使得 ．
当 时， ，此时 ．
将 代入 得， ，解得 ．（1） 是 的因式吗？ （填“是”或“不是” ；
（2）若整式 是 的因式，求常数 的值．
题型二．公因式
4．（2024春•大东区期末）多项式 的公因式是
A． B． C． D．
5．（2024春•高州市期中）单项式 与 的公因式是 ．
6．（2023秋•莱芜区期中）已知： ， ， ，问多项式 、 、
是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
题型三．因式分解-提公因式法7．（2023秋•淄川区期末）计算 的结果是
A． B． C． D．
8．（2024•盱眙县校级模拟）因式分解： ．
9．（2024春•南明区校级期末）已知 ， ，求 的值．
题型四．因式分解-运用公式法
10．（2023秋•纳溪区期末）因式分解 的结果是
A． B． C． D．
11．（2024•西藏）分解因式： ．
12．（2024•鹤城区校级开学）（1）计算： ；
（2）分解因式： ．题型五．提公因式法与公式法的综合运用
13．（2023秋•大同期末）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
14．（2024秋•城关区校级月考）因式分解： ．
15．（2024秋•朝阳区校级月考）分解因式：
（1） ；
（2） ．
题型六．因式分解-分组分解法
16．（2023秋•盘山县期末）用提公因式法分解因式 时，提取的公因式是A． B． C． D．
17．（2024•吉安三模）分解因式： ．
18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ．
题型七．因式分解-十字相乘法等
19．（2024春•邵阳期末）若 ，则 ， 的值分别是
A．4，3 B．3，4 C．5，2 D．2，5
20．（2024•长沙模拟）分解因式： ．
21．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；（3）求证：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于1的数．
题型八．实数范围内分解因式
22．（2023秋•渝中区校级期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是
A． B． C． D．
23．（2024秋•杨浦区校级月考）在实数范围内分解因式： ．
24．（2023秋•环翠区期末）把下列各式分解因式．
（1） ；
（2） ；
（3） （实数范围内）；
（4） ．
题型九．因式分解的应用
25．（2024•温江区校级自主招生）当 为自然数时， 一定能被下列哪个数整除
A．5 B．6 C．7 D．826．（2024•温江区校级自主招生）已知 ，则 ．
27．（2024秋•沈丘县校级月考）已知：整式 ， ， 为任意有理数．
（1） 的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当 是整数时， 的值一定能被4整除．
分层练习
一、单选题
1．因式分解：x2﹣4y2＝（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x+2y）（2x﹣y） D．（2x+y）（x﹣2y）
2．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（ ）
A．(x+1)(x－1)=x2－1 B．2x2－y2=(2x+y)(x－y)C．a2+2a+1=a(a+2)+1 D．－a2+4a－4=－(a－2)2
7．下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A．4x2+y2 B．－4x2－y2 C．－4x2+y2 D．－4x+y2
8．已知ab＝2，a﹣2b＝3，则4ab2﹣2a2b的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
9．下列分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列变形，属于因式分解的有（ ）
①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16；④x2+x＝x
（x+1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．因式分解： ．
12．因式分解： ．
13．多项式 在有理数范围内分解因式为 ．
14．如果 ， ，则多项式 的值是 ．
15．多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k= ，m= ．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如， ，则16
是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有 ．
17．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分
解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定： 、例如18可以分解成
1×18，2×9，3×6这三种，这时就有 ．给出下列关于F(n)的说法：(1) ；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有 ．
18．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅
洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样
的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如 ， 等．下列几个命题中：
（1） 是“回文数”；
（2）所有两位数中，有 个“回文数”；所有三位数中，有 个“回文数”；
（3）任意四位数的“回文数”是 的倍数；
（4）如果一个“回文数” 是另外一个正整数 的平方，则称 为“平方回数”．若 是一个千位数字为
1的四位数的“回文数”，若 ，且s是一个“平方回数”，则 ．
其中，真命题有 ．（填序号）
三、解答题
19．计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1
20．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径
为 ，长方形草坪的长为 ．
(1)利用因式分解表示草坪的面积；
(2)当 ， 时，求草坪的面积．（ 取3.14）21．父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且 ，请你求出父亲和儿子今年各
多少岁？
22．分解因式．
(1) ；
(2) ．
23．某养殖专业户现计划投资建养鸡场和养鸭场，两个养殖场均为正方形．已知养鸭场的面积比养鸡场的
面积大 ，两个养殖场的围墙总长为 ．请你帮助他分别算出这两个养殖场的面积．（两个养殖场
没有公共围墙）
24．仔细观察下列各式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
请你根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出第 （ 为正整数）个等式，并证明等式成立．
25．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果一个多项式
不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，
使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值
等．
例如：分解因式．
原式
例如，求代数式 的最小值．
原式．
可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
(1)分解因式： __________．
(2)当 ， 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
26．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式 变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫
做多项式 的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：(1)用多项式的配方法将 化成 的形式；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式 进行分解因式的解答过程，老师说，这位同
学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“_____”标画出来，然后写出
完整的、正确的解答过程：
解：
(3)求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
